阻尼谐振子的物理
本例通过求解无驱动力情况下的运动方程,探讨了阻尼谐振子的物理性质。本例研究了小于、过和临界阻尼的情况。
内容
运动方程的推导
解运动方程(F = 0)
欠阻尼情况( )
过阻尼情况( )
严重阻尼格( )
结论
1.运动方程的推导
考虑如下所示的具有阻尼的强制谐振子。建立与振荡器移动速度成比例的阻力模型。
定义运动方程
是质量
是阻尼系数
是弹簧常数吗
是一种驱动力
信谊x (t)米ckF (t)eq = m*diff(x,t,t) + c*diff(x,t) + k*x == F
eq (t) =
用以下公式重写方程 而且 .
信谊γomega_0Eq = subs(Eq, [c k], [m*, m*omega_0^2])
eq (t) =
把质量分开 .现在我们有了一个方便分析的方程。
Eq = collect(Eq, m)/m
eq (t) =
2.求解F = 0时的运动方程
求解运动方程dsolve
在没有外力的情况下
.采用单位位移和零速度的初始条件。
Vel = diff(x,t);Cond = [x(0) == 1, vel(0) == 0];eq = subs(eq,F,0);Sol = dsolve(eq, cond)
索尔=
研究如何通过扩展解决方案来简化解决方案。
Sol =膨胀(Sol)
索尔=
注意,每一项都有一个因子
,或
,使用收集
为了收集这些项
Sol = collect(Sol, exp(-gamma*t/2))
索尔=
这个词 出现在解的各个部分。通过引入阻尼比,改写成更简单的形式 .
将ζ代入上面的项得到:
信谊ζ;Sol = subs(Sol,...√(²- 4* 0²)...2 * omega_0 *√(ζ^ 2 - 1))
索尔=
通过代入进一步简化解 在这方面 而且 ,
Sol = subs(Sol, γ, 2*zeta*omega_0)
索尔=
我们推导了无驱动力阻尼谐振子运动的通解。接下来,我们将探讨阻尼比的三种特殊情况 动议以更简单的形式出现。这些案例被称为
欠阻尼的 ,
过阻尼 ,
临界阻尼 .
3.欠阻尼情况( )
如果 ,然后 纯粹是想象
solUnder = subs(sol,√(zeta^2-1), 1i*√(1-zeta^2)))
solUnder =
注意这些条款 在上面的方程中,回忆恒等式
把解写成 .
solUnder = coeffs(solUnder, zeta);solUnder = solUnder(1);C = exp(-omega_0 * zeta * t);solUnder = c *重写(solUnder / c,“因为”)
solUnder =
solUnder(t, omega_0,) = solUnder
solUnder(t, omega_0,) =
系统以固有频率振动 并以指数速率衰变 .
用fplot
作为函数
而且
.
Z = [0 1/4 /2 / 3/4];W = 1;T = 4*;lineStyle = {“- - -”,“——”,”:k”,“-”。};fplot (@ (t) solUnder (t w z (1)), [0, t],线型{1});持有在;为k = 2:元素个数(z) fplot (@ (t) solUnder (t w z (k), [0, t],线型{k});结束持有从;网格在;xticks (T * linspace (0, 1, 5));xticklabels ({' 0 ',“\π”,“2 \π”,“3 \π”,“4 \π”});包含('t / \omega_0');ylabel (“振幅”);LGD =传说(' 0 ',“1/4”,“1/2”,“3/4”);标题(乐金显示器,“\ζ”);标题(“欠阻尼的”);
4.过阻尼情况( )
如果 ,然后 是纯实数,解可以改写为
solOver = sol
solove =
solOver = coeffs(solOver, zeta);solOver(1)
solove =
注意这些条款 回忆一下恒等式 .
将表达式改写为 .
C = exp(-omega_0*t*zeta);solOver = c*重写(solOver / c,“cosh”)
solove =
solOver(t, omega_0,) = solOver
solOver(t, omega_0,) =
画出解,看看它衰变时没有振荡。
Z = 1 + [1/4 /2 / 3/4 1];W = 1;T = 4*;lineStyle = {“- - -”,“——”,”:k”,“-”。};fplot (@ (t) solove (t w z (1)), [0, t],线型{1});持有在;为k = 2:元素个数(z) fplot (@ (t) solove (t w z (k), [0, t],线型{k});结束持有从;网格在;xticks (T * linspace (0, 1, 5));xticklabels ({' 0 ',“\π”,“2 \π”,“3 \π”,“4 \π”});包含(“\ omega_0 t”);ylabel (“振幅”);LGD =传说(“1 + 1/4”,“1 + 1/2”,“1 + 3/4”,' 2 ');标题(乐金显示器,“\ζ”);标题(过阻尼的);
5.严重阻尼格( )
如果 ,则解简化为
solCritical(t, omega_0) = limit(sol, zeta, 1)
solCritical(t, omega_0) =
画出临界阻尼情况下的解。
W = 1;T = 4*;fplot(solCritical(t, w), [0 t]) xlabel(“\ omega_0 t”);ylabel (“x”);标题(“严重阻尼,\zeta = 1”);网格在;xticks (T * linspace (0, 1, 5));xticklabels ({' 0 ',“\π”,“2 \π”,“3 \π”,“4 \π”});
6.结论
通过用阻尼比求解表示谐振子运动的ode,研究了谐振子的不同阻尼状态 .把这三个案例画在一起进行比较和对比。
zOver =;zUnder = 1/zOver;W = 1;T = 2*;lineStyle = {“- - -”,“——”,”:k”};fplot(@(t)solOver(t, w, zOver), [0 t], lineStyle{1},“线宽”2);持有在;fplot(solCritical(t, w), [0 t], lineStyle{2},“线宽”,2) fplot(@(t)solUnder(t, w, zUnder), [0 t], lineStyle{3},“线宽”2);持有从;textColor = lines(3);(3*pi/2, 0.3,“阻尼状态”,“颜色”输入textColor (:));文本(π* 3/4,0.05,“临界阻尼”,“颜色”:输入textColor (2));Text (pi/8, -0.1,“欠阻尼”);网格在;包含(“\ omega_0 t”);ylabel (“振幅”);xticks (T * linspace (0, 1, 5));xticklabels ({' 0 ',‘\π/ 2,“\π”,‘3 \π/ 2,“2 \π”});Yticks ((1/exp(1))*[-1 0 1 2 exp(1)]);yticklabels ({“1 / e”,' 0 ',“1 / e”,2 / e的,' 1 '});LGD =传说(“\π”,' 1 ',“1 / \π”);标题(乐金显示器,“\ζ”);标题(阻尼谐振子);