矩阵旋转和变换

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这个例子展示了如何使用符号数学工具箱™和矩阵在3D中进行旋转和变换。

定义和绘制参数曲面

定义参数曲面x (u, v)，y (u, v)，z (u, v)如下。

信谊uvx = cos (u) * sin (v);y =罪(u) * (v)的罪;z = cos (v) * sin (v);

使用fsurf．

fsurf轴(x, y, z)平等的

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个类型为参数化函数曲面的对象。

创建旋转矩阵

创建3×3矩阵处方，变化中,Rz用一个角度表示平面旋转t关于x-，y- - - - - -,z分别设在。

信谊tRx = [1 0 0;0 cost - sint;0 sint cost)

Rx =
                 
                   $（ \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 因为 （ t ） & - 罪 （ t ） \\ 0 & 罪 （ t ） & 因为 （ t ） \end{array} ）$

y = [cos(t) 0sin (t);0 1 0;sin (t) 0 cost)

一=
                 
                   $（ \begin{array}{c} 因为 （ t ） & 0 & 罪 （ t ） \\ 0 & 1 & 0 \\ - 罪 （ t ） & 0 & 因为 （ t ） \end{array} ）$

Rz = [cos(t) -sin(t) 0;sint cost 0;0 0 1]

Rz =
                 
                   $（ \begin{array}{c} 因为 （ t ） & - 罪 （ t ） & 0 \\ 罪 （ t ） & 因为 （ t ） & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} ）$

在三维中绕每个轴旋转

首先，旋转表面绕x-轴逆时针45度。

xyzRx = Rx * [x, y, z];Rx45 = subs(xyzRx, t, pi/4);fsurf(Rx45(1)， Rx45(2)， Rx45(3))) title('绕x逆时针旋转\ /4 ')轴平等的

图中包含一个轴对象。坐标轴对象标题R o t t i n g空白b y空白π/ 4空白b o t u空白x,空白c o u n t e R c l o c k w i s e包含parameterizedfunctionsurface类型的一个对象。

旋转的z顺时针方向90度。

xyzRz = Rz * Rx45;Rx45Rz90 = subs(xyzRz, t， -pi/2);fsurf(Rx45Rz90(1)， Rx45Rz90(2)， Rx45Rz90(3)) title()'绕z方向顺时针旋转\ /2 ')轴平等的

图中包含一个轴对象。标题为R o ta t n空白b y空白pi / 2空白a b o u t空白z，空白c l o c k的轴对象包含一个类型参数化函数曲面的对象。

旋转的y顺时针方向45度。

xyzRy = * Rx45Rz90一块;Rx45Rz90Ry45 = subs(xyzRy, t， -pi/4);fsurf(Rx45Rz90Ry45(1)， Rx45Rz90Ry45(2)， Rx45Rz90Ry45(3)) title(中文)'绕y顺时针旋转\ /4 ')轴平等的

图中包含一个轴对象。标题为R o ta t n空白b y空白pi / 4空白a b o u t空白y，空白c l o c k的轴对象包含一个类型参数化函数曲面的对象。

规模和旋转

沿着这个面按3倍缩放z设在。你可以把表达式乘以z3,z = 3 * z．更一般的方法是创建一个缩放矩阵，然后将缩放矩阵乘以坐标向量。

S = [1 0 0;0 1 0;0 0 3];xyzScaled = S * [x;y;z]

xyzScaled =
                 
                   $（ \begin{array}{c} 因为 （ u ） 罪 （ v ） \\ 罪 （ u ） 罪 （ v ） \\ 3. 因为 （ v ） 罪 （ v ） \end{array} ）$

fsurf(xyzScaled(1)， xyzScaled(2)， xyzScaled(3)) title('沿z缩放3 ')轴平等的

图中包含一个轴对象。标题为“沿z缩放3”的axis对象包含一个参数化函数曲面的对象。

旋转缩放的表面x-，y- - - - - -,z按顺时针方向45度z,然后y,然后x．这个变换的旋转矩阵如下所示。

R = Rx *一* Rz

R =
                 
                   $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} {因为 （ t ）}^{2} & - 因为 （ t ） 罪 （ t ） & 罪 （ t ） \\ σ_{1} & {因为 （ t ）}^{2} - {罪 （ t ）}^{3.} & - 因为 （ t ） 罪 （ t ） \\ {罪 （ t ）}^{2} - {因为 （ t ）}^{2} 罪 （ t ） & σ_{1} & {因为 （ t ）}^{2} \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ 因为 （ t ） {罪 （ t ）}^{2} + 因为 （ t ） 罪 （ t ） \end{array}$

使用旋转矩阵来找到新的坐标。

xyzScaledRotated = R * xyzScaled;xyzSR45 = subs(xyzscaledrotation, t， -pi/4);

绘制表面。

fsurf(xyzSR45(1)， xyzSR45(2)， xyzSR45(3)) title('绕x, y, z顺时针旋转\pi/4 ')轴平等的

图中包含一个轴对象。坐标轴对象标题R o t t i n g空白b y空白π/ 4空白b o t u空白x, y空白,空白z n d空白,空白c l o c k w i s e包含parameterizedfunctionsurface类型的一个对象。

检查旋转矩阵的性质`R`

旋转矩阵是正交矩阵。因此，转置R也是它的逆，和的行列式R是1。

简化(R。”* R)

ans =
                 
                   $（ \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} ）$

简化(侦破(R))

ans =
                  $1$

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