什么是多分辨率分析?

信号通常由多个物理上有意义的成分组成。通常，您希望在与原始数据相同的时间尺度上单独研究这些组件中的一个或多个。多分辨率分析指的是把一个信号分解成几个分量，这些分量加在一起就能产生原来的信号。为了对数据分析有用，如何分解信号很重要。组件理想地将数据的可变性分解为物理上有意义和可解释的部分。这个词多分辨率分析通常与小波或小波包有关，但也有非小波技术也产生有用的mra。

作为您可以从MRA中获得的见解的激励示例，请考虑以下合成信号。信号以1000hz采样一秒钟。

Fs = 1e3;t = 0:1/Fs:1-1/Fs;Comp1 = cos(2*pi*200*t).*(t>0.7);Comp2 = cos(2*pi*60*t).*(t>=0.1 & t<0.3);趋势= sin(2* *1/2*t);rng默认的wgnNoise = 0.4*randn(size(t));x = comp1+comp2+trend+wgnNoise;情节(t, x)包含(“秒”) ylabel (“振幅”)标题(“合成信号”)

该信号明确地由三个主要部分组成:频率为60周期/秒的时间局部振荡，频率为200周期/秒的时间局部振荡和趋势项。这里的趋势项也是正弦的，但是频率是1/2周期/秒，所以它在1秒的间隔内只完成1/2周期。60个周期/秒或60赫兹的振荡发生在0.1到0.3秒之间，而200赫兹的振荡发生在0.7到1秒之间。

并非所有这些都能从原始数据图中立即看出，因为这些成分是混合的。

现在，从频率的角度来绘制信号。

XDFT = fft(x);N = nummel (x);XDFT = XDFT (1: nummel (XDFT)/2+1);freq = 0:Fs/N:Fs/2;情节(频率,20 * log10 (abs (xdft)))包含(“周期/秒”) ylabel (“数据库”网格)在

从频率分析中，我们更容易分辨出振荡分量的频率，但我们失去了它们的时间局域性。在这种观点下，趋势也很难想象。

为了同时获得一些时间和频率信息，我们可以使用时频分析技术，如连续小波变换(类）.

类(x, Fs)

现在你可以看到60hz和200hz分量的时间范围。然而，我们仍然没有任何有用的趋势可视化。

时频视图提供了有用的信息，但在许多情况下，您希望及时分离出信号的组成部分并单独检查它们。理想情况下，您希望这些信息在与原始数据相同的时间尺度上可用。

多分辨率分析实现了这一点。事实上，考虑多分辨率分析的一个有用方法是，它提供了一种方法，可以避免需要时频分析，同时允许您直接在时域中工作。

及时分离信号分量

现实世界的信号是不同成分的混合物。通常您只对这些组件的一个子集感兴趣。多分辨率分析允许您通过将信号分成不同的分量来缩小分析范围决议金宝搏官方网站。

提取不同分辨率的信号成分相当于分解数据在不同时间尺度上的变化，或者相当于在不同频带(不同金宝搏官方网站振荡速率)上的变化。因此，您可以同时看到不同尺度或频带的信号变化。

用小波MRA分析和绘制合成信号。信号在8个分辨率或水平上进行分析。金宝搏官方网站

Mra = modwtmra(modwt(x,8));helperMRAPlot (x, mra t“小波”，小波多分辨的，[2 3 4 9])

不解释图上的符号是什么意思，让我们利用我们对信号的知识，试着理解小波MRA向我们展示了什么。如果您从最上面的图开始，然后继续向下，直到到达原始数据的图，您会看到组件变得越来越平滑。如果你更喜欢从频率的角度来考虑数据，那么包含在分量中的频率会变得更低。回想一下，原始信号有三个主要组成部分，200hz的高频振荡，60hz的低频振荡和趋势项，都被加性噪声破坏了。

如果你看 $$\underset{}{\overset{\sim }{D}}2$$图中，你可以看到时间局域化的高频成分被隔离在那里。您可以单独观察和研究这个重要的信号特性。接下来的两幅图包含了低频振荡。这是多分辨率分析的一个重要方面，即重要的信号分量最终可能不会被隔离在一个MRA分量中，但它们很少位于两个以上。最后，我们看到 $$\mathrm{年代}8$$图中包含趋势项。为方便起见，这些组件中的轴的颜色已经更改为在MRA中突出显示它们。如果您希望在不突出显示的情况下可视化此图或后续图，请省略最后一个数字输入helperMRAPlot。

小波MRA使用固定的函数小波分离信号分量。的k小波MRA分量，表示为 $$\underset{}{\overset{\sim }{D}}k$$在前面的图中，可以看作是将信号滤波成频带的形式 $［\frac{1}{2^{k+1}\Delta t}，\frac{1}{2^k\Delta t}]$在哪里 $\Delta t$为采样周期或采样间隔。最后的平滑分量，在图中表示为 $$\mathrm{年代}l$$,在那里 $$l$$是MRA的水平，捕获了频带 $［0，\frac{1}{2^{l+1}\Delta t}]$。这种近似的准确性取决于在MRA中使用的小波。参见[5]查阅小波和小波包mra的详细描述。

然而，还有其他的MRA技术需要考虑。

的经验模态分解EMD是一种数据自适应多分辨率技术。EMD递归地从数据中提取不同的分辨率，而不使用固定的函数或过滤器。金宝搏官方网站EMD认为一个信号由a组成快叠加在a上的振荡慢一个。在快速振荡被提取后，该过程将剩余的较慢分量作为新信号，并再次将其视为叠加在较慢分量上的快速振荡。该过程将继续进行，直到达到某个停止标准。虽然EMD不使用像小波这样的固定函数来提取信息，但EMD方法在概念上非常类似于将信号分成小波的方法细节和近似然后再把近似分解成细节和近似。EMD中的MRA组成部分称为固有模态函数(货币基金组织)。参见[4]了解EMD的详细治疗方法。

绘制相同信号的EMD分析图。

[imf_emd,resid_emd] = emd(x);helperMRAPlot (x, imf_emd t“emd”，“经验模态分解”，[1 2 3 6])

虽然MRA分量的数量不同，但EMD和小波MRA产生的信号图像相似。这并非偶然。参见[2]，以了解小波变换与EMD的相似之处。

在EMD分解中，高频振荡定位于第一个固有模态函数(IMF 1)。低频振荡主要定位于IMF 2，但在IMF 3中也可以看到一些影响。IMF 6中的趋势分量与小波技术提取的趋势分量非常相似。

自适应多分辨率分析的另一种技术是变分模态分解(VMD)。与EMD一样，VMD试图从信号中提取固有模态函数或振荡模态，而不使用固定函数进行分析。但是EMD和VMD以非常不同的方式决定模式。EMD递归地对时域信号进行处理，逐步提取低频的imf。VMD首先在频域中识别信号峰值，并同时提取所有模态。参见[1来治疗VMD。

[imf_vmd,resid_vmd] = vmd(x);helperMRAPlot (x, imf_vmd t“vmd”，“变分模态分解”，[2 4 5])

需要注意的关键是，与小波和EMD分解类似，VMD将感兴趣的三个分量分离为完全独立的模态或少量相邻模态。所有这三种技术都允许您在与原始信号相同的时间尺度上可视化信号成分。

有一种数据自适应技术，它实际上是基于数据的频率内容构建小波滤波器。这个技巧就是经验小波变换(易)3.］.对EMD的主要批评之一是它的定义是纯粹的算法。因此，它不容易接受数学分析。另一方面，EWT实际上是基于被分析信号的频率内容构建Meyer小波。因此，EWT的结果适用于数学分析，因为分析中使用的过滤器对用户是可用的。使用EWT重复合成信号的分析。

[mra_ewt,cfs,wfb,info] = ewt(x)，“MaxNumPeaks”5);helperMRAPlot (x, mra_ewt t“易”，“经验小波变换”，[1 2 3 5])

与之前的EMD和小波MRA技术类似，EWT将振荡分量和趋势分离为几个本征模态函数。然而，与EMD相反，用于执行分析的过滤器及其通带信息可供用户使用。

Nf = length(x)/2+1;cf = mean(info.FilterBank.Passbands,2);f = 0:Fs/length(x):Fs-Fs/length(x);CLF ax = newplot;情节(ax, f (1: Nf), wfb (1: Nf,:)) ax。XTick = sort(cf.*Fs);斧子。XTickLabel = ax.XTick;包含(“赫兹”网格)在标题(“经验迈耶小波”)

EWT技术的另一个优点是分析系数保留了原始信号的能量。非小波自适应技术具有这种特性，但在非小波自适应技术中没有这种特性。

EWTEnergy = sum(vecnorm(cfs,2).^2)

ewtenenergy = 875.5768

sigEnergy = norm(x,2)^2

sigEnergy = 875.5768

对于真实世界中有用的分量分离的例子，考虑地震仪(垂直加速度， $$\text{纳米}/{\text{年代}}^2$$)，由澳大利亚霍巴特塔斯马尼亚大学于1995年1月16日20:56:51(格林尼治标准时间)开始记录，每隔1秒持续51分钟。

负载KobeTimeTableT = kobe schedule . T;kobe; kobe;图图(T,kobe)“神户地震地震仪”) ylabel (垂直加速度(nm/s^2))包含(“时间”)轴紧网格在

获得并绘制数据的小波MRA。

mrakkobe = modwtmra(modwt(kobe,8));图helperMRAPlot(科比,mraKobe T“小波”，“小波MRA神户地震”[4 - 5])

该图显示了MRA分量中一次波分量和延迟二次波分量的分离 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}4$和 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}5$。地震波的分量以不同的速度传播，主波(纵波)比次波(横波)传播得快。MRA技术可以使您在原始时间尺度上孤立地研究这些组件。

重构MRA信号

将信号分成几个分量的目的通常是去除某些分量或减轻它们对信号的影响。MRA技术的关键是重建原始信号的能力。

首先，让我们证明所有这些多分辨率技术允许您从组件中完美地重建信号。

Sigrec_wavelet = sum(mra);Sigrec_emd = sum(imf_emd,2)+resid_emd;Sigrec_vmd = sum(imf_vmd,2)+resid_vmd;图subplot(3,1,1) plot(t,sigrec_wavelet);标题(“小波重建”);集(gca),“XTickLabel”[]);ylabel (“振幅”);次要情节(3、1、2);情节(t, sigrec_emd);标题(“EMD重建”);集(gca),“XTickLabel”[]);ylabel (“振幅”);次要情节(3、1,3)情节(t, sigrec_vmd);标题(“VMD重建”);ylabel (“振幅”);包含(“时间”);

每种方法在逐样本基础上的最大重构误差约为 $10^{-12}$或者更小，说明它们是完美的重建方法。由于MRA分量的总和重建了原始信号，因此包括或排除一部分分量可以产生有用的近似值是理所当然的。

回到合成信号的原始小波MRA，假设你对趋势项不感兴趣。由于趋势项位于最后一个MRA分量中，因此只需从重建中排除该分量即可。

sigWOtrend = sum(mra(1:end-1，:));图plot(t,sigWOtrend) xlabel(“时间(s)”) ylabel (“振幅”)标题(“趋势项删除”)

要删除其他组件，可以使用创建逻辑向量假不希望包含的组件中的值。在这里，我们去除趋势和最高频率分量以及第一个MRA分量(看起来很大程度上是噪声)。绘制实际的第二信号分量(60 Hz)与重建进行比较。

Include = true(size(mra,1)，1);Include ([1 2 9]) = false;Ts = sum(mra(include，:));情节(t, comp2“b”)举行在情节(t, t,“r”)标题(“除去趋势项和最高频率分量”)包含(“时间(s)”) ylabel (“振幅”)传说(《组件2》，“部分重建”) xlim([0.0 0.4])

在前面的示例中，我们将趋势项视为要删除的有害组件。在许多应用程序中，趋势可能是感兴趣的主要组成部分。让我们将三个示例mra提取的趋势项可视化。

图绘制(t)的趋势,“线宽”, 2)在情节(t, mra(最终,:)imf_vmd(:,结束)imf_emd(:,结束)mra_ewt(:,结束)])网格在传奇(“趋势”，“小波”，“VMD”，“EMD”，“易”) ylabel (“振幅”)包含(“时间(s)”)标题(“三个mra的趋势”)

值得注意的是，小波技术的趋势更平滑，捕捉得也更准确。EMD找到了一个平滑的趋势项，但它相对于真实的趋势幅度发生了移位，而VMD技术似乎天生就比小波和EMD技术更倾向于寻找振荡。这方面的含义将在MRA技术-优点和缺点部分。

利用MRA检测瞬态变化

在前面的例子中，强调了多分辨率分析在检测数据中的振荡成分和总体趋势中的作用。然而，这些并不是可以使用多分辨率分析分析的唯一信号特征。MRA还可以帮助定位和检测信号中的瞬态特征，如脉冲事件，或某些成分可变性的减少或增加。局限于某些尺度或频带的变率变化往往表明产生数据的过程发生了重大变化。这些变化通常在MRA组件中比在原始数据中更容易可视化。

为了说明这一点，请考虑1947年第一季度至2011年第四季度的季度连锁加权美国实际国内生产总值(GDP)数据。季度样本对应的采样频率为4个样本/年。垂直的黑线标志着“大缓和”的开始，这意味着美国从20世纪80年代中期开始的一段宏观经济波动性下降的时期。请注意，从原始数据中很难看出这一点。

负载GDPData图(年，实际gdp)持有在Plot([年(146)年(146)]，[-0.06 0.14]，“k”)标题(“GDP数据”)包含(“年”)举行从

得到GDP数据的小波MRA。绘制出最精细分辨率的MRA分量，标记出大缓和期。由于小波MRA是使用固定滤波器获得的，因此我们可以将最佳尺度MRA分量与每年1周期到每年2周期的频率联系起来。以两个季度为周期振荡的分量的频率为每年2个周期。在这种情况下，分辨率最高的MRA组件捕获相邻两个季度之间的GDP变化，以及季度与季度之间的变化。

Mra = modwtmra(实际gdp，“db2”));图plot(year,mra(1，:)) hold在地块([年(146)年(146)]，[-0.015 0.015]，“k”)标题(“小波MRA -季度间变化”)包含(“年”)举行从

可变性的减少，或者用经济术语来说，波动性的减少，在分辨率最高的MRA成分中比在原始数据中更明显。检测方差变化的技术，如MATLABfindchangepts(信号处理工具箱)通常在MRA组件上比在原始数据上工作得更好。

MRA技术-优点和缺点

在这个例子中，我们讨论了用于多分辨率分析的小波和数据自适应技术。各种技术的优缺点是什么?换句话说，对于哪些应用程序，我可以选择其中一个而不是另一个?让我们从小波开始。本例中的小波技术使用固定滤波器来获得MRA。这意味着小波MRA有一个定义良好的数学解释，我们可以预测MRA的行为。我们还能够将MRA中的事件与数据中的特定时间尺度联系起来，就像在GDP示例中所做的那样。缺点是小波变换将信号分成多个倍频带(每个分量的中心频率减少1/2)，因此在高中心频率处的带宽比低频率处的带宽大得多。这意味着两个紧密间隔的高频振荡可以很容易地用小波技术在相同的MRA分量中结束。

重复第一个合成示例，但将两个振荡分量移动到彼此的一个八度内。

Fs = 1e3;t = 0:1/Fs:1-1/Fs;Comp1 = cos(2*pi*150*t).*(t>=0.1 & t<0.3);Comp2 = cos(2*pi*200*t).*(t>0.7);趋势= sin(2* *1/2*t);rng默认的;wgnNoise = 0.4*randn(size(t));x = comp1+comp2+trend+wgnNoise;情节(t, x)包含(“秒”) ylabel (“振幅”)

重复并绘制小波MRA。

Mra = modwtmra(modwt(x,8));helperMRAPlot (x, mra t“小波”，小波多分辨的, 9 [2])

现在我们可以看到 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}2$包含150hz和200hz分量。如果使用EMD重复此分析，将看到相同的结果。

现在让我们使用VMD。

[imf_vmd，~，info_vmd] = vmd(x);helperMRAPlot (x, imf_vmd t“vmd”，“VMD”，[1 2 3 5]);

VMD能够分离这两个组件。高频振荡局限于IMF 1，而第二个分量则分布在两个相邻的IMF上。如果你看一下VMD模式的估计中心频率，该技术已经将前两个分量定位在200和150 Hz左右。第三个IMF的中心频率接近150 Hz，这就是为什么我们在两个MRA组件中看到第二个组件。

info_vmd。CentralFrequencies * Fs

ans =5×1202.7204 153.3278 148.8022 84.2802 0.2667

VMD之所以能够做到这一点，是因为它首先通过查看数据的频域分析来确定候选的imf中心频率。

虽然小波MRA不能分离两个高频成分，但有一个额外的小波包MRA可以。

WPT = modwptdetails(x,3);helperMRAPlot (x,翻转(wpt), t,“小波”，“小波包MRA”，[5 6 8]);

现在你看到这两个振荡是分开的 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}5$和 $\underset{}{\overset{\sim }{D}}6$。从这个例子中我们可以得出一个一般的规则。如果初始小波或EMD分解显示在同一分量中具有明显不同振荡速率的分量，则考虑VMD或小波包MRA。如果您怀疑您的数据具有频率接近的高频分量，VMD或小波包方法通常比小波或EMD方法更好。

回想一下提取平滑趋势的问题。重复小波MRA和EMD。

Mra = modwtmra(modwt(x,8));helperMRAPlot (x, mra t“小波”，小波多分辨的, 9 [2])

Imf_emd = emd(x);helperMRAPlot (x, imf_emd t“EMD”，“经验模态分解”，[1 2 6])

小波和EMD技术提取的趋势比VMD和小波包技术提取的趋势更接近真实趋势。VMD本质上偏向于寻找窄带振荡分量。这是VMD在检测紧密间隔振荡时的优势，但在提取数据中的平滑趋势时存在缺点。当分解超过几个层次时，小波包mra也是如此。这就引出了第二个一般性建议。如果您对描述数据中的平滑趋势以进行识别或删除感兴趣，请尝试小波或EMD技术。

像我们在GDP数据中看到的那样，如何检测瞬时变化呢?让我们用VMD重复一下GDP分析。

[imf_vmd，~，vmd_info] = vmd(realgdp);图subplot(2,1,1) plot(年，实际gdp) title(实际国内生产总值的);持有在图([年(146)年(146)]，[-0.1 0.15]，“k”)举行从次要情节(2,1,2)情节(一年,imf_vmd (: 1));标题(“首个VMD IMF”);包含(“年”)举行在图([年(146)年(146)]，[-0.02 0.02]，“k”)举行从

虽然从20世纪80年代中期开始，最高频率的VMD分量似乎也显示出变异性的一些减少，但它不像小波MRA那样明显。由于VMD技术倾向于寻找振荡，因此在第一个VMD IMF中存在大量的振铃，这掩盖了波动率的变化。

使用EMD重复此分析。

Imf_emd = emd(实际gdp);图subplot(2,1,1) plot(年，实际gdp) title(实际国内生产总值的);持有在图([年(146)年(146)]，[-0.1 0.15]，“k”)举行从次要情节(2,1,2)情节(一年,imf_emd (: 1));标题(“首个EMD基金”)包含(“年”)举行在图([年(146)年(146)]，[-0.06 0.05]，“k”)举行从

EMD技术在寻找波动率(方差)的变化时不太有用。在这种情况下，小波MRA中使用的固定函数比数据自适应技术更有利。

这就引出了我们最后的一般规则。如果你对检测信号的瞬态变化感兴趣，比如脉冲事件是变异性的减少或增加，可以尝试小波技术。

结论

此示例展示了小波、小波包、经验模态分解、经验小波和变分模态分解等多分辨率分解技术如何允许您在与原始数据相同的时间尺度上相对隔离地研究信号成分。每种技术都在许多应用中证明了自己的强大功能。这个例子给出了一些经验法则来帮助您入门，但这些法则不应被视为绝对的。下表概述了这里介绍的MRA技术的属性以及一些一般的经验法则。两个加号表示特定的强度，一个加号表示该技术是适用的，但不是特定的强度。对于二元性质，如分析中的能量保存，复选标记表示该技术具有此性质，“x”表示不存在该性质。

与信号多分辨率分析仪，您可以对信号执行多分辨率分析，获得各种MRA组件的度量，进行部分重建实验，并生成MATLAB脚本以在命令行重现分析。

参考文献

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