好的,我将解释傅里叶级数,在10分钟内,我做不到。需要两个,也许3、会话看到足够的例子实在使用这个主意。我从我们所要找的。我们有一个函数。我们想把它写成余弦和正弦。所以这些我们的基函数,余弦和正弦。
和n和n b系数,我们必须寻找。告诉我们有多少余弦nx的大函数f (x)。注意,余弦n = 0开始,因为0的余弦是1。所以有一个a0总和。但没有b0,因为n = 0的正弦将是零,我们什么都没有得到。
我们正在寻找一个n b和n。真的,我想告诉你,与此同时,复杂的形式系数cn。现在n从负无穷到正无穷。这真的是一个公式的形式更美丽,因为cn的工作,而在这里,我将需要一个单独的公式n和bn。
好的。这是自然,当函数是真实的,但最终,离散傅里叶变换,快速傅里叶变换,复杂的情况下会赢。当然,每个人都看到e的点,由欧拉公式nx余弦和正弦nx的组合。所以,我可以用这些,或者我可以用余弦和正弦。
好的。那么,你如何找到这些数字吗?关键是正交性。所以这是第一个在傅里叶级数,中心思想是正交的概念。现在这是什么意思?这意味着垂直。和一个矢量,第二个向量,我们有一个想法的垂直意味着什么。它们之间的90度角。我们检查的点积,或内积,任何你喜欢的名字——两个向量之间应该是0。
好的。但这里我们有函数——像余弦函数。这是一个余弦函数,这是一个不同的余弦。这是两个不同的基函数——比如,cos 7 x和cos 12 x。系数a7和a12会告诉我们多少cos 7 x的函数。
你看,我们分离到频率的函数。我们正在调查纯振荡,纯粹的谐波。,我们预计,可能,降低谐波平滑的cos x,因为2 x,因为3 x,有大部分的能量。和高次谐波,余弦12 x, cos 100 x,可能这些都是迅速交替,这些含有噪声,高频。快速变化的函数将出现在高频率。
好的。这个问题的答案是什么积分,cos 7 x乘以cos 12 x dx,π-π范围?正交性,答案是0。这是至关重要的。这就是可以分离出a7和a12得到它们。让我告诉你怎么做。
所以我要利用这一点,这是90度角的函数版本。所以,你看,这有点像一个点的产品。好吧,我记住,点积是类似c1 d1 + c2 d2 = 0,如果我有一个向量c1 c2向量d1和d2。点积,这将是0如果向量正交的。在这里,而不是添加,我将因为我有功能。所以就点积的意义——一个函数乘以另一个函数的积分为0。
好的。现在我将使用。好的,我将如何使用这个吗?我要看我想要的。这是我的目标。我将方程两边同时乘以cos kx。然后我会积分。美是,当我乘cos kx,我整合,除了我想要的一切都为零。顺便说一下,所有的正弦* cos kx集成为0。所有的正交正弦余弦。 And all the cosines will be orthogonal to all the other cosines. So let me show you what I get.
所以我用f (x), cos kx,我将从π-π。好吗?右边,这是我从π-π,大笔所有这些术语,0到无穷大,n因为nx,等等,包括正弦但我甚至不把它们,因为它们会被这种集成,乘以cos kx dx。我所做的只是把公式f (x) =,两边乘以cos kx,和集成。
,现在的正交性回报,因为这乘以这个,当我整合为0,只有一个例外。当n = k,然后我做得到积分。唯一我是正义与发展党,cos kx, dx的两倍。仅存的k = n这个过程。然后这个积分余弦平方是π,这是正义与发展党乘以π。看,我发现什么是正义与发展党。我发现傅里叶余弦系数k。我只是除以π。
所以我可以除以π为ak得到这个公式?正义与发展党是1 /π。从-ππ的积分函数,乘以cos kx dx。这就是公式。告诉我这个系数。我只能做与正交性摧毁一个学期。现在,如果我想sin系数,汉堡王,这将是相同的公式,除了是正弦。
如果我想要复杂系数,ck,原来预计会相同的公式——也许这是2π,1除以2π,这成为一个e - ikx。在一个复杂的情况下,复杂的共轭e - ikx出现。这是真正的点积,函数的内积,cos。
好的。让我做一些例子。也许我应该写我刚才提到的正弦公式。所以bk是1除以π的积分,积分函数,乘以sin kx dx。还有一个例外。A0有稍微不同的公式,π2π的变化。我很抱歉。当k的积分是0或1,从π-π,得到2π。a0是1除以2π- f (x)的积分时候k是零cos -这是1 dx。有一个简单的意思。 That's the average of f of x.
好的。所以基函数是1 k时零。当k = 0时,我的余弦函数只是一个,我得到的积分函数乘以1除以2π。
我们可以只做一个例子吗?所以我想要一个函数。在这个视频为什么不取一个简单的,但非常重要的是,函数——δ函数。所以我打算用这些公式在δ函数。
让我画一个小δ函数的照片。我只-π-π,δ函数,正如我们所知,是0,这是无限的,再次飙升,0。我想把它的原因是,这是偶函数。这是一个x - x之间的函数是对称的。
在这种情况下,将没有正弦。正弦函数是奇数。从-ππ的积分奇函数给出了0。奇怪的意味着当你交叉x = 0 - x大于0的结果。所以我的观点是,这是偶函数,δx是一样的δ- x,而只有cos。好。sin系数0自动下降,当然,积分会表现出来。但我们看到它之前积分。
好了我准备δ函数。所以我要写δx,我们记得δ函数,余弦函数的组合。好的。这是δ函数-π-π。好的。我们的一个n公式是什么?哦,你还记得我们有一个特别的公式a0, 1/2π倍积分,从π-π,我们的函数,这是δ,乘以基函数,n = 0,基函数是1 dx。
好的,我们知道这个问题的答案。我们可以把δ函数。一个关键的δ函数的积分,它总是1——如果我们交叉x = 0,我们会的。所以这个积分是1所以我得到1/2π。
其他的系数?这是1 /π,现在。从积分的π-π* cos kxdx我所有的功能。你知道我在做什么。我用公式的系数。我的公式表示函数,不管它是什么,在这个例子中,δ函数,乘以cos,集成和π除以因素。
好的。当然,我们可以做这个积分。因为当你把一个δ函数,乘以另一功能,所有的操作都是在x = 0。在x = 0时,这个函数是1。我不在乎它是什么,它只是1。这是一样的集成δx * 1,这给了我们,间隔1δ函数。这积分是一个,所以我得到1 /π。好。
好的。现在,你要我写出来的系列δ函数?看起来很不寻常。这是告诉我们一些很显著。它告诉我们,这些系数是相同的。所有的频率,谐波,在等量的δ函数。通常情况下,我们会看到一个大的下降系数ak,但是δ函数,所以奇异,所有曾一度飙升,没有放弃,没有衰减系数,他们只是常数。
好的。所以我说δ函数是常数项,1/2pi,然后1 /π* cos (x), cos (2 x,等等。好的。所有频率是相同的。我会停止与这里的一个例子。所以关键是正交性,系数的公式,这个例子。谢谢你！
