混合整数线性规划算法
混合整数线性规划的定义
一个混合整数线性规划(MILP)是一个问题
线性目标函数,fTx,在那里f是一个列向量常量,x是未知的列向量
范围和线性约束,但是没有非线性约束(定义,请参阅写约束)
限制一些组件x有整数值
在数学方面,鉴于向量f,磅,乌兰巴托,矩阵一个和Aeq,相应的向量b和说真的,一组指标intcon
,找一个向量x来解决
intlinprog算法
算法概述
intlinprog
使用此解决混合整数线性规划基本策略。intlinprog
可以解决问题的阶段。如果解决问题阶段,intlinprog
不执行后期。
线性规划预处理
根据混合整数线性规划的定义,有矩阵一个和Aeq和相应的向量b和说真的编码一组线性不等式和线性等式
这些线性约束限制的解决方案x。
通常,可以减少问题的变量(组件的数量x),减少线性约束。在执行这些削减可以花时间解决者,他们通常更低的整体解决方案,和可以解决大问题。数值算法可以使方案更加稳定。此外,这些算法有时会发现一个不可行的问题。
预处理步骤旨在消除冗余的变量和约束,提高模型的扩展和约束矩阵的稀疏,加强变量的取值范围,检测模型的原始和双不可行性。
线性规划
最初的放松问题是同样的目标和约束的线性规划问题混合整数线性规划的定义,但没有整数约束。调用xLP放松限制问题的解决方案x与整数约束的原始问题的解决方案。很明显,
fTxLP≤fTx,
因为xLP减少相同的功能,但更少的限制。
根节点初始放松LP (LP)和所有生成的LP的松弛和算法解决了使用线性规划解决方案技术。
混合整数规划预处理
在整数程序预处理,intlinprog
分析了线性不等式* x≤b
随着完整性约束来确定:
问题是不可行的。
一些边界可以收紧。
一些不平等是多余的,所以可以忽略或删除。
一些不平等可以加强。
一些整数变量可以固定。
的IntegerPreprocess
选项允许您选择intlinprog
需要几个步骤,需要所有人,或几乎没有。如果你有一个x0
参数,intlinprog
在预处理使用该值。
混合整数规划预处理的主要目的是简化随后的和计算。预处理包括快速preexamining并消除一些徒劳的子问题候选人和否则分析。
整数预处理的详细信息,请参阅Savelsbergh[10]。
减少代
削减额外的线性不等式约束intlinprog
增加了问题。这些不平等试图限制LP的可行域的松弛,这样他们的解决方案更接近整数。金宝搏官方网站你控制削减的类型intlinprog
使用与CutGeneration
选择。
“基本”
削减包括:
整数的削减
Gomory削减
集团削减
包括削减
流覆盖削减
此外,如果问题是纯粹的整数(所有变量都是整数值)intlinprog
还使用以下削减:
强Chvatal-Gomory削减
Zero-half削减
“中间”
削减包括所有“基本”
削减,加上:
简单lift-and-project削减
简单pivot-and-reduce削减
Reduce-and-split削减
“高级”
削减包括所有“中间”
除了削减reduce-and-split削减,加上:
强Chvatal-Gomory削减
Zero-half削减
对于纯整数问题,“中间”
使用最切的类型,因为它使用reduce-and-split削减“高级”
没有。
另一个选择,CutMaxIterations
,指定一个上限的次数intlinprog
迭代生成减少。
细节将代算法(也称为剖切面方法),看到Cornuejols[5]削减小团体,Atamturk Nemhauser, Savelsbergh[3]。
启发式寻找可行的解决方案金宝搏官方网站
得到目标函数上界,和程序必须找到可行点。解决一个LP期间放松和可以整数可行,这可以提供一种改进的原始MILP上界。某些技术找到可行的分速度和之前或期间。intlinprog
使用这些技术在根节点和一些和迭代。这些技术是启发式的,也就是说,它们的算法可以成功,但也会失败。
启发式可以开始启发式,帮助解决者找到最初的或新的integer-feasible解决方案。或启发式可以改进启发式integer-feasible点开始,试图找到一个更好的integer-feasible点,意味着一个较低的目标函数值。的intlinprog
改进启发式“rin”
,“rss”
,2-opt 1-opt和指导潜水。
设置intlinprog
启发式使用“启发式”
选择。的选项是:
选项 | 描述 |
---|---|
“基本” (默认) |
与不同的参数解算器运行舍入启发式两次,分两次潜水启发式与不同的参数,然后运行 |
“中间” |
用不同的参数解算器运行舍入启发式两次,然后用不同的参数运行两次潜水启发式。如果有一个integer-feasible解决方案,然后求解程序运行 |
“高级” |
用不同的参数解算器运行舍入启发式两次,然后用不同的参数运行两次潜水启发式。如果有一个integer-feasible解决方案,然后求解程序运行 |
“rin” 或同等“rins-diving” |
|
“rss” 或同等“rss-diving” |
|
“圆” |
|
“round-diving” |
解算器以类似的方式工作 |
“潜水” |
潜水启发式通常选择一个变量应该是整数值,为当前的解决方案是分数。然后启发式介绍部队整数值的变量的绑定,并解决相关的放松LP。选择变量绑定的方法之间的主要区别是潜水启发式。贝特看到[4],3.1节。 |
“没有” |
|
的主要区别“中间”
和“高级”
是,“高级”
运行启发式和迭代期间更频繁。
除了前面的表,以下启发式运行时启发式
选择是“基本”
,“中间”
,或“高级”
。
子轮——这种启发式方法运行时LP算法解决了一个放松。启发式将遍历每个部分整数变量试图转移到相邻的整数而不影响可行性对其他约束。详情,请参阅Hendel[7]。
1-opt——这种启发式方法运行一算法发现一个新的integer-feasible解决方案。启发式穿过每一个整数变量试图转移到相邻的整数不影响可行性对其他约束,同时降低目标函数值。
2-opt——这种启发式方法运行一算法发现一个新的integer-feasible解决方案。2-opt发现所有成对的整数变量影响相同的约束,这意味着他们有非零项的同一行
一个
或Aeq
约束矩阵。对于每一对,2-opt integer-feasible解决方案和变量的值对向上或向下移动使用所有四种可能的举措(down-up向上,上下,当当你),寻找一个可行的邻国解决方案,有一个更好的目标函数值。算法测试每一对整数变量通过计算最大大小相同(级)的每个变量的变化对满足约束条件和目标函数值也有所改善。
在启发式的开始阶段,intlinprog
运行微不足道的启发式,除非启发式
是“没有”
或者你提供一个初始integer-feasible点x0
论点。可行性的简单启发式检查以下几点:
所有的零
上界
下界(如果非零)
“锁”点
定义的“锁”的观点是只有有限的上界和下界的所有变量的问题。每个变量的“锁”点是它的上限或下限,选择如下。为每一个变量j
,计算相应的积极的条目的数量线性约束矩阵(:,j)
和数量减去相应的消极的条目。如果结果是正的,使用该变量的下限,磅(j)
。否则,使用该变量的上界,乌兰巴托(j)
。“锁”点试图满足线性不等式约束的最大数量为每个变量,但不一定是可行的。
每次启发式完成一个可行的解决方案后,intlinprog
输出函数和情节函数调用。看到intlinprog输出函数和情节函数的语法。
如果你有一个x0
参数,intlinprog
使用价值的“rin”
和指导潜水启发式,直到找到一个更好的integer-feasible点。所以当你提供x0
通过设置,您可以获得良好的结果“启发式”
选项“rins-diving”
或另一个设置使用“rin”
。
分支界限法
和方法构造一系列子问题,尝试的MILP收敛到一个解决方案。子问题给一个序列上、下界的解决方案fTx。第一个上界是任何可行的解决方案,第一个下界是放松的问题解决方案。上界的讨论,请参阅启发式寻找可行的解决方案金宝搏官方网站。
在解释线性规划,任何解决线性规划松弛问题的目标函数值低于MILP解决方案。同时,任何可行点x有限元分析满足
fTx有限元分析≥fTx,
因为fTx至少在所有可行点。
在这种背景下,节点LP相同的目标函数,边界,和线性约束作为最初的问题,但没有整数约束,和特定的线性约束条件或边界的变化。的根节点最初的问题是没有整数约束,没有改变线性约束或限制,意思是根节点初始放松LP。
从边界开始,和分支方法构造新子问题的根节点。分支一步是采取启发式的,根据几个规则之一。每个规则是基于分裂问题的想法通过限制一个变量小于或等于整数J,或大于或等于J + 1。这两个子问题时出现的一个条目xLP,对应于一个整数中指定intcon,不是一个整数。在这里,xLP是一种放松的问题的解决方案。以J为变量的地板(四舍五入),和J + 1的上限(围捕了)。由此产生的两个问题解决方案,是大于或等于金宝搏官方网站fTxLP,因为他们有更多的限制。因此,这个过程可能提高下界。
和方法的性能取决于规则选择变量分裂(分支规则)。该算法使用这些规则,你可以设置的BranchRule
选择:
“maxpscost”
——选择最大的部分变量pseudocost。“strongpscost”
——类似于“maxpscost”
的,而是pseudocost被初始化为1
为每一个变量,变量的解算器试图分支只有在pseudocost更可靠的估计。获得更可靠的估计,解决以下(见Achterberg,科赫,马丁[1])。订单所有潜在的分支变量(那些目前分数但应该是整数)的当前pseudocost-based分数。
运行两个放松的线性程序基于当前分支变量,从得分最高的变量(如果变量尚未用于分支计算)。解算器使用这两个解决方案来更新当前分支pseudoc金宝搏官方网站osts变量。解算器可以停止这个过程就节省时间在选择分支。
继续选择变量列表中,直到当前最高pseudocost-based分数不会改变
k
连续变量,k
内部是一个选择的价值,通常5 - 10。在变量pseudocost-based得分最高的分支。解算器可能已经放松的线性计算程序基于这个变量在早些时候pseudocost估计过程。
因为额外的线性规划解决方案,每一次迭代金宝搏官方网站
“strongpscost”
比默认分支需要更长的时间“maxpscost”
。然而,通常和迭代的数量减少,因此“strongpscost”
整体方法可以节省时间。“可靠性”
——类似于“strongpscost”
,而是跑步放松线性程序只对未初始化pseudocost分支,“可靠性”
运行程序k2
*为每个变量,在那里k2
是一个小整数,如4或8。因此,“可靠性”
甚至慢分支,但潜在的减少和迭代,相比“strongpscost”
。“mostfractional”
——选择小数部分最接近的变量1/2
。“maxfun”
——选择相应的绝对值最大的变量在目标向量f
。
算法分支后,有两个新的节点来探索。该算法选择哪个节点探索可用在所有使用这些规则之一:
“minobj”
——选择最低的节点目标函数值。“mininfeas”
——选择节点的最小整数之和不可行性。这意味着每integer-infeasible组件x(我在节点,添加的小p我- - - - - -和p我+,在那里p我- - - - - -=x(我)——⌊x(我)⌋
p我+= 1 -p我- - - - - -。“simplebestproj”
——选择的节点最佳投影。
intlinprog
跳过某些子问题的分析,考虑信息从原始目标函数等问题的最大公约数(GCD)。
和过程仍在继续,系统生成子问题来分析和丢弃那些不会改善目标的上限或下限,直到其中一个停止条件满足:
该算法超过
MaxTime
选择。较低的区别和目标函数上界小于
AbsoluteGapTolerance
或RelativeGapTolerance
公差。探索节点的数量超过了
MaxNodes
选择。的数量超过了整数可行点
MaxFeasiblePoints
选择。
引用
[1]Achterberg, T。,T。Koch and A. Martin.分支规则重新审视。行动研究快报33岁,2005年,页42-54。可以在https://www-m9.ma.tum.de/downloads/felix-klein/20B/AchterbergKochMartin-BranchingRulesRevisited.pdf
。
[2]安徒生,e D。,一个ndersen, K. D.Presolving线性规划。数学规划71年,第245 - 221页,1995年。
[3]Atamturk,。,G. L. Nemhauser, M. W. P. Savelsbergh.冲突图解决整数规划问题。121年欧洲运筹学杂志,2000,pp。40-55。
贝特[4],T。原始的启发式混合整数规划。Technischen柏林大学,2006年9月。可以在https://www.zib.de/groetschel/students/Diplom-Berthold.pdf
。
[5]Cornuejols G。有效的混合整数线性规划的不平等。数学规划B卷。112年,3-44,2008页。
[6]丹娜,E。,Rothberg, E., Le Pape, C.探索松弛诱导社区改善MIP的解决方案。金宝搏官方网站数学规划,卷102,问题1,第90 - 71页,2005年。
[7]Hendel G。新舍入和传播启发式混合整数规划。在柏林科技大学学士论文,2011年。PDF可以在https://opus4.kobv.de/opus4-zib/files/1332/bachelor_thesis_main.pdf。
[8]Meszaros C。,Suhl, U. H.线性和二次规划的先进的预处理技术。或频谱,25(4),575 - 595年,2003页。
[9]Nemhauser, g·l·沃尔西,l。整数和组合优化。Wiley-Interscience,纽约,1999年。
[10]Savelsbergh, m . w . P。预处理和探测技术的混合整数规划问题。ORSA j .计算,6卷,第4号,第454 - 445页,1994年。
[11]沃尔西,洛杉矶。整数规划。Wiley-Interscience,纽约,1998年。