单位在物理计算gydF4y2Ba

这个例子展示了如何使用单位在物理计算。计算的终端速度下降伞兵在SI和帝国单位。解决伞兵的运动,考虑重力和阻力。gydF4y2Ba

介绍gydF4y2Ba

想象一个伞兵跳飞机。假设只有两个力伞兵:重力和降落伞的反对阻力。阻力正比于速度的平方的伞兵。gydF4y2Ba

合力作用于伞兵可以表示为gydF4y2Ba

$质量gydF4y2Ba \cdotgydF4y2Ba 加速度gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 拖gydF4y2Ba 力gydF4y2Ba -gydF4y2Ba 引力gydF4y2Ba 力gydF4y2Ba$ ,gydF4y2Ba

$米gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} vgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba =gydF4y2Ba {cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba} {vgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba} -gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ggydF4y2Ba$ ,gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba

$米gydF4y2Ba$ 伞兵的质量吗gydF4y2Ba
ggydF4y2Ba是重力加速度gydF4y2Ba
$vgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba$ 伞兵的速度吗gydF4y2Ba
${cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba}$ 是拖常数gydF4y2Ba

定义和求解运动方程gydF4y2Ba

定义描述运动方程的微分方程。gydF4y2Ba

信谊gydF4y2BaggydF4y2Ba米gydF4y2Ba重金属镉gydF4y2Ba信谊gydF4y2Bav (t)gydF4y2Ba情商= m * diff (v (t) t) + m * g = =重金属镉* v (t) ^ 2gydF4y2Ba

情商=gydF4y2Ba
                  
                    $米gydF4y2Ba \frac{\partialgydF4y2Ba}{\partialgydF4y2Ba tgydF4y2Ba} vgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ggydF4y2Ba 米gydF4y2Ba =gydF4y2Ba {cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba} {vgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}$

假设立即打开降落伞gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$ 这样的方程gydF4y2Ba情商gydF4y2Ba所有的值是有效的吗gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba \geqgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$ 。解决微分方程分析使用gydF4y2BadsolvegydF4y2Ba与初始条件gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba (gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba)gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$ 。解决方案是伞兵的速度作为时间的函数。gydF4y2Ba

速度=简化(dsolve (eq, v (0) = = 0))gydF4y2Ba

速度=gydF4y2Ba
                  
                    $- - - - - -gydF4y2Ba \frac{\sqrt{ggydF4y2Ba} \sqrt{米gydF4y2Ba} 双曲正切gydF4y2Ba (gydF4y2Ba \frac{\sqrt{{cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba}} \sqrt{ggydF4y2Ba} tgydF4y2Ba}{\sqrt{米gydF4y2Ba}})gydF4y2Ba}{\sqrt{{cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba}}}$

找到单位拖常数gydF4y2Ba

找到的SI单位拖常数gydF4y2Ba ${cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba}$ 。gydF4y2Ba

力的SI单位是牛顿gydF4y2Ba $(gydF4y2Ba NgydF4y2Ba)gydF4y2Ba$ 。的基本单位,牛顿gydF4y2Ba $(gydF4y2Ba \frac{公斤gydF4y2Ba \cdotgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba}{{年代gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}})gydF4y2Ba$ 。因为这些是等价的,他们有一个单位转换系数1。gydF4y2Ba

u = symunit;unitConversionFactor (u。N, u.kg * u.m /美国^ 2)gydF4y2Ba

ans =gydF4y2Ba
                   $1gydF4y2Ba$

拖拽力gydF4y2Ba ${cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba} {vgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}$ 必须有相同的单位在牛顿gydF4y2Ba $(gydF4y2Ba NgydF4y2Ba)gydF4y2Ba$ 随着重力gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba ggydF4y2Ba$ 。利用量纲分析,解出的单位gydF4y2Ba ${cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba}$ 。gydF4y2Ba

信谊gydF4y2Badrag_units_SIgydF4y2Badrag_units_SI =简化(解决(drag_units_SI * (u。米/美国)^ 2 = =联合国))gydF4y2Ba

drag_units_SI =gydF4y2Ba
                  
                    $\frac{公斤gydF4y2Ba “公斤-物理单位的质量。”gydF4y2Ba}{米gydF4y2Ba “米-物理长度单位。”gydF4y2Ba}$

估计终端速度gydF4y2Ba

描述伞兵的运动通过定义以下值。gydF4y2Ba

伞兵的质量gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 70年gydF4y2Ba 公斤gydF4y2Ba$
重力加速度gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba =gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba 81年gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba /gydF4y2Ba {年代gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}$
阻力系数gydF4y2Ba ${cgydF4y2Ba}_{dgydF4y2Ba} =gydF4y2Ba 40gydF4y2Ba 公斤gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba$

把这些值代入速度方程和简化的结果。gydF4y2Ba

vel_SI =潜艇(速度,[g、m、重金属镉],[9.81 * u.m / u。s ^ 2, 70 * u。公斤,40*drag_units_SI])

vel_SI =gydF4y2Ba
                  
                    $- - - - - -gydF4y2Ba \frac{双曲正切gydF4y2Ba (gydF4y2Ba \frac{tgydF4y2Ba \sqrt{40gydF4y2Ba \frac{公斤gydF4y2Ba “公斤-物理单位的质量。”gydF4y2Ba}{米gydF4y2Ba “米-物理长度单位。”gydF4y2Ba}} \sqrt{\frac{981年gydF4y2Ba}{One hundred.gydF4y2Ba} \frac{米gydF4y2Ba “米-物理长度单位。”gydF4y2Ba}{{年代gydF4y2Ba “第二物理单位的时间。”gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}}}}{\sqrt{70年gydF4y2Ba 公斤gydF4y2Ba “公斤-物理单位的质量。”gydF4y2Ba}})gydF4y2Ba \sqrt{70年gydF4y2Ba 公斤gydF4y2Ba “公斤-物理单位的质量。”gydF4y2Ba} \sqrt{\frac{981年gydF4y2Ba}{One hundred.gydF4y2Ba} \frac{米gydF4y2Ba “米-物理长度单位。”gydF4y2Ba}{{年代gydF4y2Ba “第二物理单位的时间。”gydF4y2Ba}^{2gydF4y2Ba}}}}{\sqrt{40gydF4y2Ba \frac{公斤gydF4y2Ba “公斤-物理单位的质量。”gydF4y2Ba}{米gydF4y2Ba “米-物理长度单位。”gydF4y2Ba}}}$

vel_SI =简化(vel_SI)gydF4y2Ba

vel_SI =gydF4y2Ba
                  
                    $- - - - - -gydF4y2Ba \frac{3gydF4y2Ba \sqrt{763年gydF4y2Ba} 双曲正切gydF4y2Ba (gydF4y2Ba \frac{3gydF4y2Ba \sqrt{763年gydF4y2Ba} tgydF4y2Ba}{35gydF4y2Ba} \frac{1gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba “第二物理单位的时间。”gydF4y2Ba})gydF4y2Ba}{20.gydF4y2Ba} \frac{米gydF4y2Ba “米-物理长度单位。”gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba “第二物理单位的时间。”gydF4y2Ba}$

计算一个数值逼近速度的3位有效数字。gydF4y2Ba

数字(3)vel_SI = vpa (vel_SI)gydF4y2Ba

vel_SI =gydF4y2Ba
                  
                    $- - - - - -gydF4y2Ba 4.14gydF4y2Ba 双曲正切gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 2.37gydF4y2Ba tgydF4y2Ba \frac{1gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba “第二物理单位的时间。”gydF4y2Ba})gydF4y2Ba \frac{米gydF4y2Ba “米-物理长度单位。”gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba “第二物理单位的时间。”gydF4y2Ba}$

伞兵趋于一个恒定的速度,当重力平衡的阻力。这被称为终端速度,它发生在降落伞的阻力抵消重力(没有进一步加速)。找到终端速度的极限gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba ⟶gydF4y2Ba \inftygydF4y2Ba$ 。gydF4y2Ba

vel_term_SI =限制(vel_SI t正)gydF4y2Ba

vel_term_SI =gydF4y2Ba
                  
                    $- - - - - -gydF4y2Ba 4.14gydF4y2Ba \frac{米gydF4y2Ba “米-物理长度单位。”gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba “第二物理单位的时间。”gydF4y2Ba}$

速度转换成英制单位gydF4y2Ba

最后,国际标准单位的速度函数转换成英制单位。gydF4y2Ba

vel_Imperial =重写(vel_SI u.ft)gydF4y2Ba

vel_Imperial =gydF4y2Ba
                  
                    $- - - - - -gydF4y2Ba 13.6gydF4y2Ba 双曲正切gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 2.37gydF4y2Ba tgydF4y2Ba \frac{1gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba “第二物理单位的时间。”gydF4y2Ba})gydF4y2Ba \frac{英国《金融时报》gydF4y2Ba “脚-物理长度单位。”gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba “第二物理单位的时间。”gydF4y2Ba}$

将终端速度。gydF4y2Ba

vel_term_Imperial =重写(vel_term_SI u.ft)gydF4y2Ba

vel_term_Imperial =gydF4y2Ba
                  
                    $- - - - - -gydF4y2Ba 13.6gydF4y2Ba \frac{英国《金融时报》gydF4y2Ba “脚-物理长度单位。”gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba “第二物理单位的时间。”gydF4y2Ba}$

随着时间的推移图速度gydF4y2Ba

作为时间的函数绘制速度,表达时间gydF4y2BatgydF4y2Ba在几秒钟内和替换gydF4y2BatgydF4y2Ba通过gydF4y2BaTgydF4y2Ba年代,gydF4y2BaTgydF4y2Ba是一个无量纲符号变量。gydF4y2Ba

信谊gydF4y2BaTgydF4y2Bavel_SI =潜艇(vel_SI, t, t *美国)gydF4y2Ba

vel_SI =gydF4y2Ba
                  
                    $- - - - - -gydF4y2Ba 4.14gydF4y2Ba 双曲正切gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 2.37gydF4y2Ba TgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \frac{米gydF4y2Ba “米-物理长度单位。”gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba “第二物理单位的时间。”gydF4y2Ba}$

vel_Imperial =重写(vel_SI u.ft)gydF4y2Ba

vel_Imperial =gydF4y2Ba
                  
                    $- - - - - -gydF4y2Ba 13.6gydF4y2Ba 双曲正切gydF4y2Ba (gydF4y2Ba 2.37gydF4y2Ba TgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \frac{英国《金融时报》gydF4y2Ba “脚-物理长度单位。”gydF4y2Ba}{年代gydF4y2Ba “第二物理单位的时间。”gydF4y2Ba}$

通过使用单独的表达单位gydF4y2BaseparateUnitsgydF4y2Ba。情节表达式使用gydF4y2BafplotgydF4y2Ba。单位转换为字符串用作情节标签使用gydF4y2Basymunit2strgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

[data_SI, units_SI] = separateUnits (vel_SI);[data_Imperial, units_Imperial] = separateUnits (vel_Imperial);gydF4y2Ba

伞兵的速度接近稳态时gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba >gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba$ 。显示终端速度的速度方法通过绘制的速度范围gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba \leqgydF4y2Ba TgydF4y2Ba \leqgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba$ 。gydF4y2Ba

次要情节(1、2、1)fplot (data_SI[0 2])标题(gydF4y2Ba“国际标准单位速度”gydF4y2Ba)包含(gydF4y2Ba在年代”gydF4y2Ba)ylabel ([gydF4y2Ba“速度”gydF4y2Basymunit2str (units_SI)])次要情节(1、2、2)fplot (data_Imperial[0 2])标题(gydF4y2Ba“帝国单位速度”gydF4y2Ba)包含(gydF4y2Ba在年代”gydF4y2Ba)ylabel ([gydF4y2Ba“速度”gydF4y2Basymunit2str (units_Imperial)))gydF4y2Ba

图包含2轴对象。坐标轴对象1标题速度在国际标准单位,包含时间年代,ylabel速度在m / s包含functionline类型的一个对象。坐标轴对象2标题速度在英制单位,包含时间年代,ylabel英尺/秒速度包含functionline类型的一个对象。gydF4y2Ba

另请参阅gydF4y2Ba

功能gydF4y2Ba

symunitgydF4y2Ba|gydF4y2BaunitConversionFactorgydF4y2Ba|gydF4y2Ba重写gydF4y2Ba|gydF4y2BaseparateUnitsgydF4y2Ba