解微分代数方程(拓扑)- MATLAB和Simulink MathWorks联合王国金宝appgydF4y2Ba

解微分代数方程(拓扑)gydF4y2Ba

微分代数方程是什么?gydF4y2Ba

微分代数方程是一种微分方程在一个或多个因变量的导数不存在的方程。变量出现在方程没有他们的导数叫做gydF4y2Ba代数gydF4y2Ba,代数变量的存在意味着你不能写出方程的显式形式gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba ”gydF4y2Ba =gydF4y2Ba fgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba)gydF4y2Ba$ 。相反,你可以解决拓扑与这些形式:gydF4y2Ba

的gydF4y2Baode15sgydF4y2Ba和gydF4y2Baode23tgydF4y2Ba解决可以解决索引1线性隐式单一的质量矩阵的问题gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ”gydF4y2Ba =gydF4y2Ba fgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba)gydF4y2Ba$ ,包括半显式的拓扑形式gydF4y2Ba

$\begin{matrix} ygydF4y2Ba ”gydF4y2Ba =gydF4y2Ba fgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ggydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba,gydF4y2Ba zgydF4y2Ba)gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba \end{matrix}$

在这种形式,代数变量的存在导致单一的质量矩阵,因为有一个或多个主对角线上的0。gydF4y2Ba

$米gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ”gydF4y2Ba =gydF4y2Ba (gydF4y2Ba \begin{matrix} ygydF4y2Ba {”gydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} & 0gydF4y2Ba & \dotsgydF4y2Ba & 0gydF4y2Ba \\ 0gydF4y2Ba & ygydF4y2Ba {”gydF4y2Ba}_{2gydF4y2Ba} & 0gydF4y2Ba & ⋮gydF4y2Ba \\ ⋮gydF4y2Ba & 0gydF4y2Ba & ⋱gydF4y2Ba & 0gydF4y2Ba \\ 0gydF4y2Ba & \dotsgydF4y2Ba & 0gydF4y2Ba & 0gydF4y2Ba \end{matrix})gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba$

默认情况下,解决自动测试质量矩阵的奇异性检测DAE系统。如果你提前知道奇点,那么你可以设置gydF4y2BaMassSingulargydF4y2Ba选择gydF4y2BaodesetgydF4y2Ba来gydF4y2Ba“是的”gydF4y2Ba。拓扑,您还可以提供与初始条件的猜解算器gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba {”gydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}$ 使用gydF4y2BaInitialSlopegydF4y2Ba的属性gydF4y2BaodesetgydF4y2Ba。这是除了指定初始条件gydF4y2Ba ${ygydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}$ 在调用解算器。gydF4y2Ba
的gydF4y2Baode15igydF4y2Ba解算器可以解决更多的通用拓扑完全隐式形式gydF4y2Ba

$fgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba,gydF4y2Ba ygydF4y2Ba ”gydF4y2Ba)gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba$

在完全隐式形式,代数变量的存在导致单一的雅可比矩阵。这是因为至少一列的矩阵是保证包含所有零,因为该变量的导数不出现在方程。gydF4y2Ba

$JgydF4y2Ba =gydF4y2Ba \partialgydF4y2Ba fgydF4y2Ba /gydF4y2Ba \partialgydF4y2Ba ygydF4y2Ba ”gydF4y2Ba =gydF4y2Ba (gydF4y2Ba \begin{matrix} \frac{\partialgydF4y2Ba {fgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba}}{\partialgydF4y2Ba ygydF4y2Ba {”gydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba}} & \dotsgydF4y2Ba & \frac{\partialgydF4y2Ba {fgydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba}}{\partialgydF4y2Ba ygydF4y2Ba {”gydF4y2Ba}_{ngydF4y2Ba}} \\ ⋮gydF4y2Ba & ⋱gydF4y2Ba & ⋮gydF4y2Ba \\ \frac{\partialgydF4y2Ba {fgydF4y2Ba}_{米gydF4y2Ba}}{\partialgydF4y2Ba ygydF4y2Ba {”gydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba}} & \dotsgydF4y2Ba & \frac{\partialgydF4y2Ba {fgydF4y2Ba}_{米gydF4y2Ba}}{\partialgydF4y2Ba ygydF4y2Ba {”gydF4y2Ba}_{ngydF4y2Ba}} \end{matrix})gydF4y2Ba$

的gydF4y2Baode15igydF4y2Ba解算器要求您指定的初始条件gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba {”gydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}$ 和gydF4y2Ba ${ygydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}$ 。同时,与其他解决的颂歌,gydF4y2Baode15igydF4y2Ba需要编码的函数方程接受额外的输入:gydF4y2Baodefun (t y yp)gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

拓扑出现在各种各样的系统,因为物理守恒定律通常形式gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ygydF4y2Ba +gydF4y2Ba zgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba$ 。如果gydF4y2BaxgydF4y2Ba,gydF4y2Bax 'gydF4y2Ba,gydF4y2BaygydF4y2Ba,gydF4y2Bay 'gydF4y2Ba在方程中显式定义,那么这种守恒方程就足以解决gydF4y2BazgydF4y2Ba没有一个表达式gydF4y2Baz”gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

一致的初始条件gydF4y2Ba

当你解决DAE时,您可以指定初始条件为gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba {”gydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}$ 和gydF4y2Ba ${ygydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}$ 。的gydF4y2Baode15igydF4y2Ba解算器需要指定两个初始条件作为输入参数。为gydF4y2Baode15sgydF4y2Ba和gydF4y2Baode23tgydF4y2Ba解决,初始条件gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba {”gydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}$ 是可选的(但可以指定使用吗gydF4y2BaInitialSlopegydF4y2Ba选择gydF4y2BaodesetgydF4y2Ba)。在这两种情况下,您所指定的初始条件可能不同意你要解的方程组。初始条件,与另一个被称为冲突gydF4y2Ba不一致的gydF4y2Ba。解算器的初始条件不同的治疗:gydF4y2Ba

ode15sgydF4y2Ba和gydF4y2Baode23tgydF4y2Ba——如果你不指定一个初始条件gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba {”gydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}$ ,然后求解程序自动计算基于您提供的初始条件一致的初始条件gydF4y2Ba ${ygydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}$ 。如果你指定一个初始条件不一致gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba {”gydF4y2Ba}_{0gydF4y2Ba}$ 解决,那么将值作为猜测,试图计算值接近的猜测一致,并继续解决这个问题。gydF4y2Ba
ode15igydF4y2Ba——初始条件你供应解决者必须是一致的,和gydF4y2Baode15igydF4y2Ba不一致性检查所提供的值。辅助函数gydF4y2BadecicgydF4y2Ba计算的初始条件。gydF4y2Ba

微分指数gydF4y2Ba

拓扑的特点gydF4y2Ba微分指数gydF4y2Ba,这是一个衡量的奇点。通过微分方程可以消除代数变量,如果你这样做的次数足够多,那么方程以制度的形式明确的常微分方程。微分系统的拓扑指数衍生品的数量你必须表达明确的常微分方程的系统作为等效系统。因此,常微分方程微分指数0。gydF4y2Ba

一个索引1 DAE的一个例子gydF4y2Ba

$ygydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba =gydF4y2Ba kgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba$

对于这个方程,可以采取一个导数得到显式的歌唱形式gydF4y2Ba

$ygydF4y2Ba ”gydF4y2Ba =gydF4y2Ba kgydF4y2Ba ”gydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba$

一个索引2 DAE的一个例子gydF4y2Ba

$\begin{array}{l} ygydF4y2Ba {”gydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} =gydF4y2Ba {ygydF4y2Ba}_{2gydF4y2Ba} \\ 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba kgydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba -gydF4y2Ba {ygydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} 。gydF4y2Ba \end{array}$

这些方程需要重写两个衍生品在显式的歌唱形式gydF4y2Ba

$\begin{array}{l} ygydF4y2Ba {”gydF4y2Ba}_{1gydF4y2Ba} =gydF4y2Ba kgydF4y2Ba ”gydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba \\ ygydF4y2Ba {”gydF4y2Ba}_{2gydF4y2Ba} =gydF4y2Ba kgydF4y2Ba ”gydF4y2Ba ”gydF4y2Ba (gydF4y2Ba tgydF4y2Ba)gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba \end{array}$

的gydF4y2Baode15sgydF4y2Ba和gydF4y2Baode23tgydF4y2Ba只解决解决拓扑指数1。如果你的指数方程2或更高版本,那么您需要重写方程的等效系统索引1拓扑。它总是可能的衍生品和重写DAE系统的等效系统索引1拓扑。请注意,如果你代数方程替换他们的衍生品,那么你可能已经删除了一些限制。如果方程不再包括原来的约束,那么数值解可以漂移。gydF4y2Ba

如果你有符号数学工具箱™,然后看到gydF4y2Ba解微分代数方程(拓扑)gydF4y2Ba(符号数学工具箱)gydF4y2Ba为更多的信息。gydF4y2Ba

实施NonnegativitygydF4y2Ba

大多数的选项gydF4y2BaodesetgydF4y2BaDAE解决像预期的那样工作gydF4y2Baode15sgydF4y2Ba,gydF4y2Baode23tgydF4y2Ba,gydF4y2Baode15igydF4y2Ba。然而,与使用是一个例外gydF4y2Ba非负gydF4y2Ba选择。的gydF4y2Ba非负gydF4y2Ba选项不支持隐式动力学(金宝appgydF4y2Baode15sgydF4y2Ba,gydF4y2Baode23tgydF4y2Ba,gydF4y2Baode23tbgydF4y2Ba质量矩阵)应用于问题。因此,您不能使用这个选项nonnegativity约束DAE问题,它必然有一个单一的质量矩阵。更多细节,请参阅gydF4y2Ba[1]gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

解决罗伯逊问题半显式的微分代数方程(拓扑)gydF4y2Ba

打开脚本gydF4y2Ba

这个例子引出系统的常微分方程作为微分代数方程组(拓扑)。罗伯逊问题中发现gydF4y2Bahb1ode.mgydF4y2Ba是一个典型的测试问题解决刚性常微分方程的程序。方程组gydF4y2Ba

$数组$ $ \开始{}{cl} y ' _1 & # 38; = -0.04 y_1 + 10 ^ 4 y_2y_3 \ \ y ' _2 & # 38; = 0.04 y_1 & # xA; 10 ^ 4 y_2y_3 - (3 \ * 10 ^ 7) y_2 y ^ 2 \ \ ' _3 & # 38; = (3 \ * # xA; 10 ^ 7) y_2 ^ 2。\{数组}$ $gydF4y2Ba$

hb1odegydF4y2Ba解决了这个系统的常微分方程和初始条件稳定状态gydF4y2Ba y_1 = 1美元gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba y_2 = 0美元gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba y_3 = 0美元gydF4y2Ba 。但方程也满足线性守恒定律,gydF4y2Ba

$ $ y ' _1 + y ' _2 + y ' _3 = 0。$ $gydF4y2Ba

的解决方案和初始条件,守恒定律gydF4y2Ba

$ $ y_1 + y_2 + y_3 = 1, $ $gydF4y2Ba

系统方程可以写成一个系统的拓扑通过守恒定律来确定的gydF4y2Ba y_3美元gydF4y2Ba 。这引出了DAE系统问题gydF4y2Ba

$数组$ $ \开始{}{cl} y ' _1 & # 38; = -0.04 y_1 + 10 ^ 4 y_2y_3 \ \ y ' _2 & # 38; = 0.04 y_1 & # xA; 10 ^ 4 y_2y_3 - (3 \ * 10 ^ 7) y_2 ^ 2 \ \ 0 & # 38; = y_1 + y_2 + y_3 - 1。\{数组}$ $gydF4y2Ba$

这个系统的微分指数是1,因为只有单一的导数gydF4y2Ba y_3美元gydF4y2Ba 应这一个系统的常微分方程。因此,解决系统之前不需要进一步的转换。gydF4y2Ba

这个函数gydF4y2BarobertsdaegydF4y2Ba编码这DAE系统。保存gydF4y2Barobertsdae.mgydF4y2Ba你当前的文件夹中运行的例子。gydF4y2Ba

函数gydF4y2Ba= robertsdae (t、y) = [-0.04 * y (1) + 1 e4 * y (2)。* y y (1) - (3) 0.04 * 1 e4 * y (2)。* y (3) - 3 e7 * y (2)。y ^ 2 y (1) + (2) + y (3) - 1];gydF4y2Ba

罗伯逊的完整的示例代码配方有问题gydF4y2Bahb1dae.mgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

解决DAE系统使用gydF4y2Baode15sgydF4y2Ba。一致的初始条件为gydF4y2Bay0gydF4y2Ba根据守恒定律是显而易见的。使用gydF4y2BaodesetgydF4y2Ba设置选项:gydF4y2Ba

使用一个常数质量矩阵来表示方程组的左边。gydF4y2Ba

$$ $ \离开(\{数组}{c}开始y ' _1 \ \ y ' _2 \ \ 0 \结束数组{}\右)= M y ' & # xA; \ rightarrow M = \离开(\开始{数组}{ccc} 1 & # 38岁;0 & # 38;\ \ 0 & # 38;1 & # 38岁;\ \ 0 & # 38;0 & # 38;& # xA; 0 \{数组}\右)$ $gydF4y2Ba$

设置相对误差公差gydF4y2Ba1的军医gydF4y2Ba。gydF4y2Ba
用一个绝对的宽容gydF4y2Ba1平台以及gydF4y2Ba第二个解决方案组件,因为规模急剧变化的其他组件。gydF4y2Ba
离开gydF4y2Ba“MassSingular”gydF4y2Ba选项的默认值gydF4y2Ba“也许”gydF4y2Ba测试DAE的自动检测。gydF4y2Ba

y0 = [1;0;0);tspan = [0 4 * logspace (6,6)];M = [1 0 0;0 1 0;0 0 0];选择= odeset (gydF4y2Ba“质量”gydF4y2Ba米,gydF4y2Ba“RelTol”gydF4y2Ba1的军医,gydF4y2Ba“AbsTol”gydF4y2Ba,(1)e-6 1平台以及1 e-6]);[t、y] = ode15s (@robertsdae tspan, y0,选项);gydF4y2Ba

策划解决方案。gydF4y2Ba

y (: 2) = 1 e4 * y (:, 2);semilogx (t、y);ylabel (gydF4y2Ba' 1 e4 * y (:, 2)”gydF4y2Ba);标题(gydF4y2Ba守恒律,”罗伯逊DAE问题解决ODE15S”gydF4y2Ba);gydF4y2Ba

引用gydF4y2Ba

[1]Shampine L.F.,S. Thompson, J.A. Kierzenka, and G.D. Byrne. “Non-Negative Solutions of ODEs.”应用数学和计算gydF4y2Ba170年,没有。1(2005年11月):556 - 569。gydF4y2Bahttps://doi.org/10.1016/j.amc.2004.12.011gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

另请参阅gydF4y2Ba

ode15sgydF4y2Ba|gydF4y2Baode23tgydF4y2Ba|gydF4y2Baode15igydF4y2Ba|gydF4y2BaodesetgydF4y2Ba

外部网站gydF4y2Ba

解决索引1在MATLAB和Simulink拓扑金宝appgydF4y2Ba