一个简单的指数衰减曲线数据。

生成数据从一个指数衰减模型+噪音。模型是

与 $$t$$从0到3, $$\epsilon$$正态分布噪声均值为0和0.05标准差。

rng默认的%的再现性d = linspace (0, 3);y = exp (-1.3 * d) + 0.05 * randn(大小(d));

问题是:考虑到数据(d,y),找到最适合的指数衰减率数据。

创建一个匿名函数,需要一个值的指数衰减率 $$r$$并返回一个向量的差异与衰变速率和数据模型。

有趣= @ (r) exp (- d * r) - y;

找到最佳的衰变率的值。任意选择一个初始猜测x0= 4。

x0 = 4;x0, x = lsqnonlin(有趣)

局部最小值。lsqnonlin停止是因为最后的平方和的变化相对于其初始值小于公差的值函数。

x = 1.2645

数据和拟合指数曲线的阴谋。

情节(d, y,“柯”d exp (- x * d),“b -”)传说(“数据”,“最适合”)包含(“t”)ylabel (“exp (tx)”)

找到最佳拟合模型时的一些合适的参数范围。

找到一个定心 $$b$$和扩展 $$\mathrm{一个}$$最适合的函数

标准正态密度,

创建一个向量t的数据点,这些点和相应的正常密度。

t = linspace (4, 4);y = 1 /√(2 *π)* exp (- t ^ 2/2);

创建一个函数评估之间的差异的集中和缩放功能正常y,x (1)作为比例 $$\mathrm{一个}$$和x (2)随着定心 $$b$$。

有趣= @ (x) x (1) * exp (- t)。* exp (exp(-(时距(2))))- y;

找到最优适应从x0=(1/2,0),扩展 $$\mathrm{一个}$$在1/2和3/2,定心 $$b$$在1和3之间。

磅= [1/2,1];乌兰巴托= (3/2,3);x0 = (1/2, 0);x = lsqnonlin(有趣,x0,磅,乌兰巴托)

局部最小值。lsqnonlin停止是因为最后的平方和的变化相对于其初始值小于公差的值函数。

x =1×20.8231 - -0.2444

画出两个函数看到合适的质量。

情节(t y的r -t有趣(x) + y,“b -”)包含(“t”)传说(“正常密度”,的拟合函数)

比较的结果时使用不同的数据拟合问题lsqnonlin算法。

假设你有观察的时间数据xdata和观察到的响应数据ydata和你想找到参数 $$x(1)$$和 $$x(2)$$适合的模型形式

输入的观察时间和响应。

xdata =…[0.9 1.5 13.8 19.8 24.1 28.2 35.2 - 60.3 74.6 - 81.3);ydata =…[455.2 428.6 124.1 67.3 43.2 28.1 13.1 - -0.4 -1.3 - -1.5);

创建一个简单的指数衰减模型。该模型计算一个向量的预测值和观测值之间的差异。

有趣= @ (x) x (1) * exp (x (2) * xdata) -ydata;

符合模型使用的起始点x0 =[1] 100年。首先,使用默认的“trust-region-reflective”算法。

x0 =[1] 100年;选择= optimoptions (@lsqnonlin,“算法”,“trust-region-reflective”);x = lsqnonlin(有趣,x0,[]、[]选项)

局部最小值。lsqnonlin停止是因为最后的平方和的变化相对于其初始值小于公差的值函数。

x =1×2498.8309 - -0.1013

是否有任何区别使用“levenberg-marquardt算法。

选项。算法=“levenberg-marquardt”;x = lsqnonlin(有趣,x0,[]、[]选项)

局部最小值。lsqnonlin停止因为当前步骤的相对大小小于步长值的宽容。

x =1×2498.8309 - -0.1013

这两个算法发现同样的解决方案。策划方案和数据。

情节(xdata ydata,“柯”)举行在tlist = linspace (xdata (1) xdata(结束));情节(tlist x (1) * exp (x (2) * tlist),“b -”)包含xdataylabelydata标题(“指数适合数据”)传说(“数据”,“指数符合”)举行从

找到 $$x$$,最大限度地减少

$$\underset{k=1}{\overset{10}{\sum }}{\left(2+2k-\; -\; -\; -\; -\; -e^{k{x}_1}-\; -\; -\; -\; -\; -e^{k{x}_2}\right)}^2$$,

并找到最小平方和的价值。

因为lsqnonlin假设平方和没有显式地形成的用户定义的函数,函数传递给lsqnonlin应该计算向量值函数

$$F_k(x)=2+2k-\; -\; -\; -\; -\; -e^{k{x}_1}-\; -\; -\; -\; -\; -e^{k{x}_2}$$,

为 $$k=1$$来 $$10$$(即, $$F$$应该有 $$10$$组件)。

的myfun函数,计算10-component向量F,在出现这个例子。

找到最小点和最小值,在点开始x0 = [0.3, 0.4]。

x0 = [0.3, 0.4];[x, resnorm] = lsqnonlin (x0 @myfun)

局部最小值。lsqnonlin停止因为当前步骤的大小小于步长值的宽容。

x =1×20.2578 - 0.2578

resnorm = 124.3622

的resnorm输出是平方剩余规范,或函数的平方和值。

下面的函数计算向量值的目标函数。

函数F = myfun (x) k = 1:10;F = 2 + 2 * k-exp (k * x (1)) exp (k * x (2));结束

检查解决方案过程发生时(通过设置显示选项“通路”)然后(通过检查输出结构)。

假设你有观察的时间数据xdata和观察到的响应数据ydata和你想找到参数 $$x(1)$$和 $$x(2)$$适合的模型形式

输入的观察时间和响应。

xdata =…[0.9 1.5 13.8 19.8 24.1 28.2 35.2 - 60.3 74.6 - 81.3);ydata =…[455.2 428.6 124.1 67.3 43.2 28.1 13.1 - -0.4 -1.3 - -1.5);

创建一个简单的指数衰减模型。该模型计算一个向量的预测值和观测值之间的差异。

有趣= @ (x) x (1) * exp (x (2) * xdata) -ydata;

符合模型使用的起始点x0 =[1] 100年。检查解决方案通过设置过程显示选项“通路”。获得一个输出结构来获得更多的信息解决方案的过程。

x0 =[1] 100年;选择= optimoptions (“lsqnonlin”,“显示”,“通路”);[x, resnorm残留,exitflag,输出]= lsqnonlin(有趣,x0,[]、[]选项);

规范一阶迭代Func-count f (x)最优步0 3 359677 2.88 e + 04目标函数返回正无穷;尝试一种新的点……1 6 359677 11.6976 - 2.88 e + 04 2 9 321395 0.5 4.97 4.97 e + e + 04年3 321395 1 04 4 15 292253 0.25 - 7.06 e + 04 5 18 292253 0.5 - 7.06 e + 04 21 270350 24 270350 0.25 1.15 0.125 1.15 e + 05年7 e + 05年8 27 252777 0.0625 - 1.63 e + 05年9 30 252777 0.125 - 1.63 e + 05年10 33 243877 0.03125 - 7.48 e + 04年11 36 243660 0.0625 - 8.7 e + 04 12 39 243276 0.0625 - 2 e + 04 13 42 243174 0.0625 - 1.14 e + 04 14 45 242999 0.125 - 5.1 e + 03 15 48 242661 0.25 2.04 e + 03 16 51 241987 0.5 1.91 1.04 e + 03 17 54 240643 1 e + 03 18 57 237971 2 3.36 e + 03 19 60 232686 4 6.04 e + 03 20 63 222354 8 1.2 e + 04 21 66 202592 16 2.25 e + 32 04 22 69 166443 4.05 6.68 e + e + 04 23 72 106320 64 24 75 28704.7 128 8.31 e + 04 04 25 78 89.7947 140.674 2.22 e + 04 26 81 9.57381 - 2.02599 684 27 84 87 9.50489 0.000462261 0.0114 9.50489 0.0619927 2.27 28局部最小值。lsqnonlin停止是因为最后的平方和的变化相对于其初始值小于公差的值函数。

检查输出结构,以获得更多的信息解决方案的过程。

输出

输出=结构体字段:firstorderopt: 0.0114迭代:28 funcCount: 87 cgiterations: 0算法:“trust-region-reflective”stepsize: 4.6226 e-04消息:“……”

相比之下,设置算法选项“levenberg-marquardt”。

选项。算法=“levenberg-marquardt”;[x, resnorm残留,exitflag,输出]= lsqnonlin(有趣,x0,[]、[]选项);

一阶迭代Func-count残留最优规范0.01λ0步3 359677 2.88 e + 04目标函数返回正;尝试一种新的点……1 100000 0.280777 340761 3.91 e + 04 2 16 304661 5.97 e + 04 10000 0.373146 297292 6.55 e + 21 04 288240 e + 06 0.0589933 - 4 24 7.57 e + 28日04 100000 0.0645444 275407 1.01 e + 05 06年1 e + 0.0741266 6 31 249954 1.62 e + 05 100000 0.094571 245896 36 1.35 e + 05年1 e + 0.0133606 07年8 39 243846 7.26 e + 04 1 e + 06年0.00944311 9 42 243568 5.66 e + 04 100000 0.00821622 243424 1.61 e + 45 04 10000 0.00777936 243322 8.8 e + 03年11 48 1000 0.0673933 242408 5.1 e + 03 100 51 0.675209 13 54 6.59804 233628 1.05 e + 04 14 57 169089 54.6992 8.51 e + 04 1 15 60 30814.7 - 1.54 e + 05年0.1 196.939 63 147.496 8 e + 03 0.01 129.795 66 9.51503 117 0.001 9.96069 18 19 69 9.50489 0.0714 0.0001 0.080486 72 9.50489 5.07028 4.96 e-05 1 e-05 e-05局部最小值。lsqnonlin停止因为当前步骤的相对大小小于步长值的宽容。

的“levenberg-marquardt”聚合用更少的迭代,但几乎尽可能多的功能评估:

输出

输出=结构体字段:迭代:19 funcCount: 72 stepsize: 5.0703 e-05 cgiterations: [] firstorderopt: 4.9629 e-05算法:“levenberg-marquardt”的信息:“……”