这个方法[4]解决了约束优化问题 $$Pl（P我）＝\underset{Pj，j\ne 我}{\mathrm{马克斯}}lH（P1，\mathrm{.．.}，P我，\mathrm{．．}，Pn）$$通过积分从拉格朗日方程导出的微分方程

$$\begin{array}{c}-{\nabla }_{\stackrel{\to }{p}}l（\stackrel{\to }{p}（c））+\lambda （c）{\stackrel{\to }{e}}_{我}＝0\\ \stackrel{\to }{p}{（}_c＝c\end{array}$$

在这里, $${\stackrel{\to }{e}}_{我}$$是我^th标准单位向量，拉格朗日乘子是 $$\lambda （c）$$,c＝P我．

换句话说，该方法不是逐点优化，而是求解定义轮廓似然曲线的微分方程，如下所示。

$$（\begin{array}{cc}-{\nabla }_{\stackrel{\to }{p}}^{2}l（\stackrel{\to }{p}（c））& {\stackrel{\to }{e}}_{我}\\ \pm {\stackrel{\to }{e}}_{我}^T& 0\end{array}）（\begin{array}{c}\stackrel{\dot{}}{\stackrel{\to }{p}}（c）\\ \stackrel{\dot{}}{\lambda }（c）\end{array}）＝（\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}）$$

在这里, $$\stackrel{\dot{}}{\stackrel{\to }{p}}（c）＝\frac{\partial \stackrel{\to }{p}（c）}{\partial c}，\stackrel{\dot{}}{\lambda }（c）＝\frac{\partial \lambda （c）}{\partial c}，\mathrm{一个}nd-{\nabla }_{\stackrel{\to }{p}}^{2}l（\stackrel{\to }{p}（c））$$为对数似然函数的Hessian。

建议使用黑森矩阵的有限差分逼近。然而，使用有限差分的数值计算黑森矩阵可能是昂贵的计算。为了降低计算成本，Chen和jenrich[4]提出了一个近似的版本，该版本基于的假设，即二阶充分Karush-Kuhn-Tucker条件必须在轮廓似然曲线域的每一点上都具有严格的不等式，如附录中的假设2所述[4]．换句话说，在轮廓似然曲线上的每一点上，其余参数必须是可估计的。

如果这个假设成立，那么黑森矩阵可以用单位矩阵代替我如下:

$$（\begin{array}{cc}-我& {\stackrel{\to }{e}}_{我}\\ \pm {\stackrel{\to }{e}}_{我}^T& 0\end{array}）（\begin{array}{c}\stackrel{\dot{}}{\stackrel{\to }{p}}（c）\\ \stackrel{\dot{}}{\lambda }（c）\end{array}）＝（\begin{array}{c}-\gamma {\nabla }_{\stackrel{\to }{p}}l（\stackrel{\to }{p}（c））\\ 1\end{array}）$$

在这里, $${\nabla }_{\stackrel{\to }{p}}l（\stackrel{\to }{p}（c））$$对数似然和的梯度是γ是一个修正因子，以确保微分方程的解停留在轮廓似然曲线的路径上。

如果γ过小，轮廓似然曲线的近似值可能变得不准确，从而导致对轮廓似然置信区间的低估。设置γ为较大的值可确保准确的结果，但可能需要ode15s采用更小的步骤，这增加了计算成本。

当满足下列条件之一时，算法停止准则为:

如果置信区间小于宽容对于在原始拟合中定义的参数界，函数将估计状态设置为限制．如果所有置信区间都离参数边界更远宽容时，该函数将状态设置为成功．否则，设置为可尊敬的．