分化

这个例子展示了如何使用symbol Math Toolbox™分析地查找和计算导数。在这个例子中，你会找到f(x)的一阶和二阶导数，并用这些导数来找到局部的极大值，极小值和拐点。

第一个衍生品：找到当地的最小值和最大值

计算表达式的第一个导数有助于您找到该表达式的本地最小值和最大值。在创建符号表达式之前，请声明符号变量：

信谊X

默认情况下，结果包含虚拟金宝搏官方网站组件的解决方案。在这里，仅考虑实际值X通过假设X是真实的：

假设(x,“真实”的）

例如，创建一个有理表达式(即，分子和分母是多项式表达式的分数)。

F = (3*x^3 + 17*x^2 + 6*x + 1)/(2*x^3 - x + 3)

f =
                 
                   $\frac{3. X^{3.} + 17. X^{2} + 6. X + 1}{2 X^{3.} - X + 3.}$

绘制这个表达式可以看出，该表达式有水平和垂直的渐近线，局部最小值在-1和0之间，局部最大值在1和2之间:

fplot (f)网格

图中包含一个坐标轴。轴包含类型函数线的对象。

为了求水平渐近线，计算的极限F为X接近正无穷大和负无穷大。水平渐近线是y = 3/2：

Lim_left = limit(f, x， -inf)

lim_left =
                 
                   $\frac{3.}{2}$

Lim_right = limit(f, x, inf)

lim_right =
                 
                   $\frac{3.}{2}$

将这条水平渐近线添加到绘图中:

持有在情节(xlim [lim_right lim_right),“线型”那“-”。那“颜色”)

图中包含一个坐标轴。轴包含两个类型为functionline, line的对象。

找到垂直渐近的F，找到的极点F：

Pole_pos = pole (f, x)

POLE_POS =.
                 
                   $- \frac{1}{6. {(\frac{3.}{4.} - \frac{\sqrt{241.} \sqrt{432}}{432})}^{1 / 3.}} - {(\frac{3.}{4.} - \frac{\sqrt{241.} \sqrt{432}}{432})}^{1 / 3.}$

用数值逼近精确解双功能:

双（POLE_POS）

ANS = -1.2896.

现在求局部极小值和极大值F．如果一个点是局部极值(无论是极小值还是极大值)，表达式在该点的一阶导数等于零。求导数F使用差：

g = diff（f，x）

g =
                 
                   $\frac{9. X^{2} + 34. X + 6.}{2 X^{3.} - X + 3.} - \frac{(6. X^{2} - 1) (3. X^{3.} + 17. X^{2} + 6. X + 1)}{{(2 X^{3.} - X + 3.)}^{2}}$

求的局部极值F，解方程g == 0.：

解(g, x)

g0 =
                 
                   $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} \frac{\sqrt{σ_{2}}}{6. {σ_{3.}}^{1 / 6.}} - σ_{1} - \frac{15.}{68} \\ \frac{\sqrt{σ_{2}}}{6. {σ_{3.}}^{1 / 6.}} + σ_{1} - \frac{15.}{68} \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} = \frac{\sqrt{\frac{337491 \sqrt{6.} \sqrt{\frac{3. \sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{9826} + \frac{2198209}{9826}}}{39304} + \frac{2841 {σ_{3.}}^{1 / 3.} \sqrt{σ_{2}}}{578} - 9. {σ_{3.}}^{2 / 3.} \sqrt{σ_{2}} - \frac{361. \sqrt{σ_{2}}}{289}}}{6. {σ_{3.}}^{1 / 6.} {σ_{2}}^{1 / 4.}} \\ σ_{2} = \frac{2841 {σ_{3.}}^{1 / 3.}}{1156} + 9. {σ_{3.}}^{2 / 3.} + \frac{361.}{289} \\ σ_{3.} = \frac{\sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{176868} + \frac{2198209}{530604} \end{array}$

用数值逼近精确解双功能:

双(g0)

ans =2×1-0.1892 - 1.2860

表达式F有一个地方最大x = 1.286.和地方最低限度x = -0.189．使用以下点处获取函数值subs：

f0 =潜艇(f, x, g0)

F0 =
                 
                   $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} \frac{3. σ_{2} - 17. {(σ_{5.} - σ_{6.} + \frac{15.}{68})}^{2} - σ_{4.} + σ_{1} + \frac{11.}{34.}}{σ_{6.} + 2 σ_{2} - σ_{5.} - \frac{219}{68}} \\ - \frac{σ_{4.} + 17. {(σ_{6.} + σ_{5.} - \frac{15.}{68})}^{2} + 3. σ_{3.} + σ_{1} - \frac{11.}{34.}}{σ_{6.} - 2 σ_{3.} + σ_{5.} - \frac{219}{68}} \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} = \frac{σ_{7.}}{{σ_{9.}}^{1 / 6.} {σ_{8.}}^{1 / 4.}} \\ σ_{2} = {(σ_{5.} - σ_{6.} + \frac{15.}{68})}^{3.} \\ σ_{3.} = {(σ_{6.} + σ_{5.} - \frac{15.}{68})}^{3.} \\ σ_{4.} = \frac{\sqrt{σ_{8.}}}{{σ_{9.}}^{1 / 6.}} \\ σ_{5.} = \frac{σ_{7.}}{6. {σ_{9.}}^{1 / 6.} {σ_{8.}}^{1 / 4.}} \\ σ_{6.} = \frac{\sqrt{σ_{8.}}}{6. {σ_{9.}}^{1 / 6.}} \\ σ_{7.} = \sqrt{\frac{337491 \sqrt{6.} \sqrt{\frac{3. \sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{9826} + \frac{2198209}{9826}}}{39304} + \frac{2841 {σ_{9.}}^{1 / 3.} \sqrt{σ_{8.}}}{578} - 9. {σ_{9.}}^{2 / 3.} \sqrt{σ_{8.}} - \frac{361. \sqrt{σ_{8.}}}{289}} \\ σ_{8.} = \frac{2841 {σ_{9.}}^{1 / 3.}}{1156} + 9. {σ_{9.}}^{2 / 3.} + \frac{361.}{289} \\ σ_{9.} = \frac{\sqrt{3.} \sqrt{178939632355}}{176868} + \frac{2198209}{530604} \end{array}$

用数值逼近精确解双变量上的函数f0：

双(f0)

ans =2×10.1427 - 7.2410

将点标记添加到极值的图形：

情节(g0 f0,'行'）

图中包含一个坐标轴。轴包含3个类型为functionline, line的对象。

二阶导数:寻找拐点

计算第二衍生物让您发现表达的拐点。计算第二或高阶导数的最有效方法是使用指定衍生花顺序的参数：

H = Diff（F，X，2）

h =
                 
                   $\begin{array}{l} \frac{18. X + 34.}{σ_{1}} - \frac{2 (6. X^{2} - 1) (9. X^{2} + 34. X + 6.)}{{σ_{1}}^{2}} - \frac{12. X σ_{2}}{{σ_{1}}^{2}} + \frac{2 {(6. X^{2} - 1)}^{2} σ_{2}}{{σ_{1}}^{3.}} \\ 在哪里 \\ σ_{1} = 2 X^{3.} - X + 3. \\ σ_{2} = 3. X^{3.} + 17. X^{2} + 6. X + 1 \end{array}$

现在把结果简化一下:

h =简化(h)

h =
                 
                   $\frac{2 (68 X^{6.} + 90 X^{5.} + 18. X^{4.} - 699 X^{3.} - 249. X^{2} + 63 X + 172)}{{(2 X^{3.} - X + 3.)}^{3.}}$

找到拐点F，解方程h = 0．这里，使用数值求解器vpasolve计算解的浮点近似:金宝搏官方网站

h0 = vpasolve（h，x）

h0 =
                 
                   $（ \begin{array}{c} 0.57871842655441748319601085860196 \\ 1.8651543689917122385037075917613 \\ - 1.4228127856020972275345064554049 - 1.8180342567480118987898749770461 一世 \\ - 1.4228127856020972275345064554049 + 1.8180342567480118987898749770461 一世 \\ - 0.46088831805332057449182335801198 + 0.47672261854520359440077796751805 一世 \\ - 0.46088831805332057449182335801198 - 0.47672261854520359440077796751805 一世 \end{array} ）$

表达式F有两个拐点：x = 1.865和x = 0.579．请注意,vpasolve还返回复杂的解决方案。金宝搏官方网站丢弃：

H0（imag（h0）〜= 0）= []

h0 =
                 
                   $（ \begin{array}{c} 0.57871842655441748319601085860196 \\ 1.8651543689917122385037075917613 \end{array} ）$

在图中添加显示拐点的标记:

绘图（H0，船只（f，x，h0），‘* k”)举行从

图中包含一个坐标轴。轴包含4个类型为functionline, line的对象。

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