积分

开立真实脚本

这个例子说明了如何使用符号数学工具箱™计算定积分。

定积分

表明定积分 $\int_{一个}^{b} F （ X ） d X$ 对于 $F （ X ） = 小号一世 ñ （ X ）$ 上 $[\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{2}]$ 是0。

SYMSXINT（的sin（x），PI / 2,3 * PI / 2）

ANS =
                  $0$

在最大值与最小值定积分

为了最大限度地提高 $F （一个） = \int_{- 一个}^{一个} 罪（一个 X ）罪（ X / 一个） d X$ 对于 $一个 \geq 0$ 首先，定义符号变量和假设 $一个 \geq 0$ ：

SYMS一个X假定（一> = 0）;

然后，定义函数最大化：

F = INT（SIN（A * X）*的sin（x / a）中，X，-a，一）

F =
                 
                   ${\begin{array}{cl} 1 - \frac{罪 （ 2 ）}{2} & 如果 一个 = 1 \\ \frac{2 一个 (罪 （ {一个}^{2} ） COS （ 1 ） - {一个}^{2} COS （ {一个}^{2} ） 罪 （ 1 ）)}{{一个}^{4} - 1} & 如果 一个 \neq 1 \end{array}$

请注意这里的特殊情况 $一个 = 1$ 。为了使计算更简单，使用assumeAlso忽略这种可能性（后来检查 $一个 = 1$ 是不是最大）：

assumeAlso（一〜= 1）;F = INT（SIN（A * X）*的sin（x / a）中，X，-a，一）

F =
                 
                   $\frac{2 一个 (罪 （ {一个}^{2} ） COS （ 1 ） - {一个}^{2} COS （ {一个}^{2} ） 罪 （ 1 ）)}{{一个}^{4} - 1}$

创建的曲线 $F$ 要检查它的形状：

fplot（F，[0 10]）

用DIFF找到的衍生 $F$ 关于 $一个$ ：

FA = DIFF（F，A）

FA =
                 
                   $\begin{array}{l} \frac{2 σ_{1}}{{一个}^{4} - 1} + \frac{2 一个 (2 一个 COS （ {一个}^{2} ） COS （ 1 ） - 2 一个 COS （ {一个}^{2} ） 罪 （ 1 ） + 2 {一个}^{3} 罪 （ {一个}^{2} ） 罪 （ 1 ）)}{{一个}^{4} - 1} - \frac{8 {一个}^{4} σ_{1}}{{({一个}^{4} - 1)}^{2}} \\ 哪里 \\ σ_{1} = 罪 （ {一个}^{2} ） COS （ 1 ） - {一个}^{2} COS （ {一个}^{2} ） 罪 （ 1 ） \end{array}$

的零 $F 一个$ 是的局部极值 $F$ ：

保持上fplot（FA，[0 10]）格上

最大的是1和2之间使用vpasolve找到的零的近似值 $F 一个$ 在此区间：

a_max = vpasolve（FA，一个，[1,2]）

a_max =
                  $1.5782881585233198075558845180583$

用潜艇获得积分的最大值：

F_max =潜艇（F，A，a_max）

F_max =
                  $0.36730152527504169588661811770092 COS （ 1 ） + 1.2020566879911789986062956284113 罪 （ 1 ）$

结果仍然包含确切的数字 $罪（ 1 ）$ 和 $COS （ 1 ）$ 。用VPA通过数值近似来替换这些：

VPA（F_max）

ANS =
                  $1.2099496860938456039155811226054$

检查排除的情况下， $一个 = 1$ 不会导致一个更大的值：

VPA（INT（的sin（x）*的sin（x）中，x，-1,1））

ANS =
                  $0.54535128658715915230199006704413$

多重积分

在高维区域数值积分具有特殊的功能：

integral2（@（X，Y）X ^ 2-Y。^ 2,0,1,0,1）

ANS = 4.0127e-19

有对高维符号积分没有这样的特殊功能。使用嵌套的一维的积分，而不是：

SYMSXÿINT（INT（X ^ 2-Y ^ 2，Y，0,1）中，x，0,1）

ANS =
                  $0$

线积分

定义矢量场F在3D空间中：

SYMSXÿžF（X，Y，Z）= [X ^ 2 * Y * Z，X * Y，2 * Y * Z];

下一步，将一个曲线：

SYMSŤUX（T）= SIN（T）;UY（T）= T ^ 2-T;UZ（T）= T;

的线积分F沿曲线ü被定义为 $\int F \cdot d ü = \int F （ ü X （ Ť ）， ü ÿ （ Ť ）， ü ž （ Ť ）） \cdot \frac{d ü}{d Ť} d Ť$ ，其中 $\cdot$ 在右手侧表示标量积。

用这个定义来计算的线积分 $Ť$ 从 $[0 ， 1]$

F_int = INT（F（UX，UY，UZ）*差异（[UX; UY; UZ]，T），T，0,1）

F_int =
                 
                   $\frac{19 COS （ 1 ）}{4} - \frac{COS （ 3 ）}{108} - 12 罪 （ 1 ） + \frac{罪 （ 3 ）}{27} + \frac{395}{54}$

得到这个确切的结果的数值近似：

VPA（F_int）

ANS =
                  $- 0.20200778585035447453044423341349$

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