使用拉普拉斯变换解微分方程

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解微分方程,利用拉普拉斯变换在符号数学工具箱™工作流。拉普拉斯变换的简单的例子,请参阅拉普拉斯和ilaplace。

定义:拉普拉斯变换

一个函数的拉普拉斯变换 $f (t)$ 是

$F (年代) = \int_{0}^{\infty} f (t) e^{- - - - - - ts} dt 。$

概念:使用象征性的工作流

象征性的工作流控制计算自然符号形式而不是数字形式。这种方法将帮助您理解您的解决方案的属性和使用的符号值。你用数字代替符号变量只有当你需要或者你不能继续象征性的数值结果。有关详细信息,请参见选择数字或符号算术。通常,这些步骤是:

申报的方程。
解决方程。
替代的价值观。
阴谋的结果。
分析的结果。

工作流程:解决RLC电路使用拉普拉斯变换

申报的方程

您可以使用拉普拉斯变换解微分方程和初始条件。例如,您可以解决resistance-inductor-capacitor (RLC)电路,这种电路。

在欧姆电阻: $R_{1}, R_{2}, R_{3}$
在安培电流: $我_{1}, 我_{2}, 我_{3}$
电感在亨利: $l$
法拉电容: $C$
交流电压源电压: $E (t)$
在库仑电容器充电: $问 (t)$

应用基尔霍夫电压和电流法,得到以下方程。

$\begin{array}{l} 我_{1} = 我_{2} + 我_{3} \\ l \frac{迪_{1}}{dt} + 我_{1} R_{1} + 我_{2} R_{2} = 0 \\ E (t) + 我_{2} R_{2} - - - - - - \frac{问}{C} - - - - - - 我_{3} R_{3} = 0 \end{array}$

替代的关系 $我_{3} = d 问 / d t$ (这是电容充电)的速度上面的方程RLC电路的微分方程。

$\begin{array}{l} \frac{迪_{1}}{dt} - - - - - - \frac{R_{2}}{l} \frac{dQ}{dt} = - - - - - - \frac{R_{1} + R_{2}}{l} 我_{1} \\ \frac{dQ}{dt} = \frac{1}{R_{2} + R_{3}} (E (t) - - - - - - \frac{问}{C}) + \frac{R_{2}}{R_{2} + R_{3}} 我_{1} \end{array}$

声明的变量。因为物理量有积极的价值观,设置相应的假设变量。让 $E (t)$ 是一个交流电压1 V。

信谊lCI1 (t)问(t)年代R =符号(‘R % d’3 [1]);假设([t L C R] > 0) E (t) = 1 * sin (t);% V交流电压= 1

声明的微分方程。

dI1 = diff (I1, t);dQ = diff (Q, t);eqn1 = dI1 - (R (2) / L) * dQ = = - (R (1) + (2)) / L * I1

eqn1 (t) =
                 
                   $\frac{\partial}{\partial t} 我_{1} (t) - - - - - - \frac{R_{2} \frac{\partial}{\partial t} 问 (t)}{l} = - - - - - - \frac{我_{1} (t) (R_{1} + R_{2})}{l}$

eqn2 = dQ = = (1 / (R (2) + (3)) * (q / C)) + R (2) / (R (2) + (3)) * I1

eqn2 (t) =
                 
                   $\frac{\partial}{\partial t} 问 (t) = \frac{罪 (t) - - - - - - \frac{问 (t)}{C}}{R_{2} + R_{3}} + \frac{R_{2} 我_{1} (t)}{R_{2} + R_{3}}$

解决方程

计算的拉普拉斯变换eqn1和eqn2。

eqn1LT =拉普拉斯(eqn1 t s)

eqn1LT =
                 
                   $年代 拉普拉斯 (我_{1} (t), t, 年代) - - - - - - 我_{1} (0) + \frac{R_{2} (问 (0) - - - - - - 年代 拉普拉斯 (问 (t), t, 年代))}{l} = - - - - - - \frac{(R_{1} + R_{2}) 拉普拉斯 (我_{1} (t), t, 年代)}{l}$

eqn2LT =拉普拉斯(eqn2 t s)

eqn2LT =
                 
                   $年代 拉普拉斯 (问 (t), t, 年代) - - - - - - 问 (0) = \frac{R_{2} 拉普拉斯 (我_{1} (t), t, 年代)}{R_{2} + R_{3}} + \frac{\frac{C}{{年代}^{2} + 1} - - - - - - 拉普拉斯 (问 (t), t, 年代)}{C (R_{2} + R_{3})}$

这个函数解决解决只有象征性的变量。因此,使用解决,第一个替代拉普拉斯(I1 (t), t, s)和拉普拉斯(Q (t), t, s)与变量I1_LT和Q_LT。

信谊I1_LTQ_LTeqn1LT =潜艇(eqn1LT,拉普拉斯(I1, t, s)拉普拉斯(Q, t, s)], [I1_LT Q_LT])

eqn1LT =
                 
                   $我_{1, LT} 年代 - - - - - - 我_{1} (0) + \frac{R_{2} (问 (0) - - - - - - 问_{LT} 年代)}{l} = - - - - - - \frac{我_{1, LT} (R_{1} + R_{2})}{l}$

eqn2LT =潜艇(eqn2LT,拉普拉斯(I1, t, s)拉普拉斯(Q, t, s)], [I1_LT Q_LT])

eqn2LT =
                 
                   $问_{LT} 年代 - - - - - - 问 (0) = \frac{我_{1, LT} R_{2}}{R_{2} + R_{3}} - - - - - - \frac{问_{LT} - - - - - - \frac{C}{{年代}^{2} + 1}}{C (R_{2} + R_{3})}$

解的方程为I1_LT和Q_LT。

命令= [eqn1LT eqn2LT];var = [I1_LT Q_LT];[I1_LT, Q_LT] =解决(方程式,var)

I1_LT =
                 
                   $\frac{l 我_{1} (0) - - - - - - R_{2} 问 (0) + C R_{2} 年代 + l {年代}^{2} 我_{1} (0) - - - - - - R_{2} {年代}^{2} 问 (0) + C l R_{2} {年代}^{3} 我_{1} (0) + C l R_{3} {年代}^{3} 我_{1} (0) + C l R_{2} 年代 我_{1} (0) + C l R_{3} 年代 我_{1} (0)}{({年代}^{2} + 1) (R_{1} + R_{2} + l 年代 + C l R_{2} {年代}^{2} + C l R_{3} {年代}^{2} + C R_{1} R_{2} 年代 + C R_{1} R_{3} 年代 + C R_{2} R_{3} 年代)}$

Q_LT =
                 
                   $\frac{C (R_{1} + R_{2} + l 年代 + l R_{2} 我_{1} (0) + R_{1} R_{2} 问 (0) + R_{1} R_{3} 问 (0) + R_{2} R_{3} 问 (0) + l R_{2} {年代}^{2} 我_{1} (0) + l R_{2} {年代}^{3} 问 (0) + l R_{3} {年代}^{3} 问 (0) + R_{1} R_{2} {年代}^{2} 问 (0) + R_{1} R_{3} {年代}^{2} 问 (0) + R_{2} R_{3} {年代}^{2} 问 (0) + l R_{2} 年代 问 (0) + l R_{3} 年代 问 (0))}{({年代}^{2} + 1) (R_{1} + R_{2} + l 年代 + C l R_{2} {年代}^{2} + C l R_{3} {年代}^{2} + C R_{1} R_{2} 年代 + C R_{1} R_{3} 年代 + C R_{2} R_{3} 年代)}$

计算 $我_{1}$ 和 $问$ 通过计算拉普拉斯逆变换的I1_LT和Q_LT。简化的结果。抑制输出,因为它很长。

I1sol = ilaplace (I1_LT、s、t);Qsol = ilaplace (Q_LT、s、t);I1sol =简化(I1sol);Qsol =简化(Qsol);

替代值

策划结果之前,替代符号变量的数值电路元素。让 $R_{1} = 4 Ω$ , $R_{2} = 2 Ω$ , $R_{3} = 3 Ω$ , $C = 1 / 4 F$ , $l = 1 。 6 H$ 。假设初始电流 $我_{1} (0) = 2 一个$ 和最初的电荷 $问 (0) = 2 C$ 。

var = [Q R L C I1 (0) (0));值= (4 2 3 1.6 1/4 2 2);I1sol =潜艇(I1sol、var值)

I1sol =
                 
                   $\frac{200年 因为 (t)}{8161年} + \frac{405年 罪 (t)}{8161年} + \frac{16122年 e^{- - - - - - \frac{81年 t}{40}} (\cosh (\frac{\sqrt{1761年} t}{40}) - - - - - - \frac{742529年 \sqrt{1761年} \sinh (\frac{\sqrt{1761年} t}{40})}{14195421})}{8161年}$

Qsol =潜艇(Qsol、var值)

Qsol =
                 
                   $\frac{924年 罪 (t)}{8161年} - - - - - - \frac{1055年 因为 (t)}{8161年} + \frac{17377年 e^{- - - - - - \frac{81年 t}{40}} (\cosh (\frac{\sqrt{1761年} t}{40}) + \frac{1109425 \sqrt{1761年} \sinh (\frac{\sqrt{1761年} t}{40})}{30600897})}{8161年}$

阴谋的结果

当前的情节I1sol和电荷Qsol。显示瞬态和稳态行为通过使用两个不同的时间间隔: $0 \leq t \leq 15$ 和 $2 \leq t \leq 25$ 。

次要情节(2,2,1)fplot (I1sol, 15[0])标题(“当前”)ylabel (“I1 (t)”)包含(“t”次要情节(2,2,2)fplot (Qsol, 15[0])标题(“充电”)ylabel (“问(t)”)包含(“t”次要情节(2,2,3)fplot (I1sol, 25[2])标题(“当前”)ylabel (“I1 (t)”)包含(“t”)文本(3,-0.1,瞬态的-0.07)文本(15日,“稳定状态”次要情节(2,2,4)fplot (Qsol, 25[2])标题(“充电”)ylabel (“问(t)”)包含(“t”)文本(3,0.35,瞬态的0.22)文本(15日,“稳定状态”)

图包含4轴对象。坐标轴对象1标题包含一个functionline类型的对象。坐标轴对象2标题包含一个functionline类型的对象。坐标轴对象与当前标题3包含3 functionline类型的对象,文本。坐标轴对象4标题收取3包含functionline类型的对象,文本。

分析结果

最初,电流和电荷减少成倍增长。然而,从长远来看,他们是振荡。这些行为被称为“瞬态”和“稳定状态”。象征性的结果,您可以分析结果的属性,这是不可能的数值结果。

视觉检查I1sol和Qsol。他们是一笔。发现通过使用条款孩子们。然后,发现条款通过绘制他们的贡献[0 15]。故事情节显示瞬态和稳态条件。

I1terms =孩子(I1sol);I1terms = [I1terms {}):;Qterms =孩子(Qsol);Qterms = [Qterms {}):;图;次要情节(1、2、1)fplot (I1terms, 15 [0]) ylim([-0.5 - 2.5])标题(“目前的条件”次要情节(1、2、2)fplot (Qterms, 15 [0]) ylim([-0.5 - 2.5])标题(“收费条款”)

图包含2轴对象。坐标轴对象1与标题当前条款包含3 functionline类型的对象。坐标轴对象2与标题收费条款包含3 functionline类型的对象。

故事情节表明I1sol瞬态和稳态的术语,而Qsol有一个瞬态和两个稳态条件。从目视检查,通知I1sol和Qsol有一个术语包含吗经验值函数。假设这一项导致瞬态指数衰减。单独的瞬态和稳态条件I1sol和Qsol通过检查条款经验值使用有。

I1transient = I1terms ((I1terms,“经验”))

I1transient =
                 
                   $\frac{16122年 e^{- - - - - - \frac{81年 t}{40}} (\cosh (\frac{\sqrt{1761年} t}{40}) - - - - - - \frac{742529年 \sqrt{1761年} \sinh (\frac{\sqrt{1761年} t}{40})}{14195421})}{8161年}$

I1steadystate = I1terms (~ (I1terms“经验”))

I1steadystate =
                 
                   $(\begin{array}{c} \frac{200年 因为 (t)}{8161年} & \frac{405年 罪 (t)}{8161年} \end{array})$

同样的,单独的Qsol瞬态和稳态条件。这个结果表明符号计算如何帮助您分析您的问题。

Qtransient = Qterms ((Qterms,“经验”))

Qtransient =
                 
                   $\frac{17377年 e^{- - - - - - \frac{81年 t}{40}} (\cosh (\frac{\sqrt{1761年} t}{40}) + \frac{1109425 \sqrt{1761年} \sinh (\frac{\sqrt{1761年} t}{40})}{30600897})}{8161年}$

Qsteadystate = Qterms (~ (Qterms“经验”))

Qsteadystate =
                 
                   $(\begin{array}{c} - - - - - - \frac{1055年 因为 (t)}{8161年} & \frac{924年 罪 (t)}{8161年} \end{array})$