从系列:微分方程与线性代数
马萨诸塞州理工学院吉尔伯特斯特朗(麻省理工学院)
第二个衍生物转变为年代2Y代数问题涉及到传递函数1 / (2+ b + C)。
这是关于拉普拉斯变换的第二个视频,这个视频是关于二阶方程的。
让我记住这个计划。这就是二阶方程。我先举这个例子,函数在右边。记住,这是一个关键的例子。实际上,我们用一个特殊的字母表示解。这是一种冲动。解就是脉冲响应。我用了一个小g,所以我应该把y变成g,所以g是解,从0个初始条件开始,有一个。
那么这个计划是什么?我们希望采取每个术语的转变。我们要检查,什么是变换,三角洲函数的拉普拉斯变换?您还记得转换的定义。这是一个积分。你采取你的职能 - 无论它是什么,这里的Δ--乘以e to minus st,并集成。s等于0到无穷大。
嗯,易于在那里与三角形功能集成。它是0,除了脉冲是脉冲的,在t等于0时,在t等于0时,这是1.所以答案是1.这是禁区的良好的拉普拉斯变换。现在我想要的脉冲响应的转换。
脉冲响应来自这个方程。现在,变换每一项。所以g的变换就叫做大g,函数的变换是1。它的导数,还记得吗,有一个额外的因子s,第一个拉普拉斯变换视频中导数的变换是s乘以g (s)
和第二个衍生物,另一个。所以S平方,次要。我们并不感到惊讶地看到非常熟悉的Quadratic,其根源是两个指数S1和S2,在这里出现。我们每次都看到这一点,因为我们有恒定的系数。我们总是看到这个数量。现在我们看到了,看,转变,大写G.我划分。它恰好是传递函数。因此,将传递函数的想法连接到拉普拉斯响应的拉普拉斯变换,因为我在分母中有这个。
我已经对这个方程做了变换。我得到了小g的变换,脉冲响应。现在我准备用拉普拉斯逆变换来求G,脉冲响应。怎么找到这个拉普拉斯变换的函数呢?
现在,它是1除以一个二次项。部分分式的思想是,把它分开所以G (s)是最后一步。它是G (s)记住这个多项式有两个根,s1和s2。我把它写成1 / (s - s1)和(s - s2)
这是二次方程的两个根,两个极点,G (s)的极点,现在我想用部分分式。我想把它分成两部分。结果是1 / (s - s1) - 1 / (s - s2)事实证明,有一个因素可以使它正确。你可以检查。当你把这些,这个除以公分母,就得到这个。把它除以公分母,就得到分子,然后要消去。还行。
那么,现在我有两个简单极点。我可以把已知的g (t)写在这里。记住,这个变换的函数就是e ^ (s1 t)所有变换中最重要的是指数函数的变换,就是这个简单的极点。
现在我来求拉普拉斯逆变换。得到e ^ (s1 t)减去这个变换后的函数,等于e ^ (s2 t)仍然是常数s1 - s2。
我已经重新发现了脉冲响应。这是我与脉冲力量的等式的解决方案。并且它在恒定系数微分方程的整个主题中扮演这种重要函数的特定功能。因为你看到它是关键的事情。这是关键传递函数,这里是逆拉普拉斯变换。拉普拉斯变换就是这样。好的。这就是这个例子。
现在我只是想参加另一个功能比三角洲。好的。我可以一直拿走t的f of t,任何f的f。但让我留在例子。所以现在我要做y double prime,加上b y prime,加cy。他们都是最重要的例子。我们可以做的最好的一个是omega t的余弦。一种振荡问题,具有振荡力,频率与自然频率不同,我们也在那里阻尼。
这是标准的,弹簧质量阻尼器问题,或者RLC电路问题,当然RLC电路,非常重要。你可能记得这个解有点乱。一个解决方案有点混乱。这是非常重要的,但是——所以我会坚持到最后一步。但我可能不会走最后一步。我想让你们看的是另一个拉普拉斯逆变换的例子。
那么我们需要什么呢?我们需要它的拉普拉斯变换。我打算对每一项做拉普拉斯变换。s²+ bs + c,相乘。我改变了一切。这里我要把它的变换。好的。我怎么得到它呢?当然,这里可能有一个sin t。我真的很想同时得到它们。
我把它们都写下来。cos和sin是e ^ i t的实部和虚部,对吧?欧拉公式。E的I t次方等于cos t,实部,加上I sin t,虚部。
现在我知道了e ^ (at) e ^ (I t)的变换,它变换成,我想要1 /的实部和虚部,你们记得它是什么。还是那个简单的极点,s减去指数i。
我将同时得到cos和sin,通过一次计算,得到它的实部和虚部,1 / (s + s - I)如何处理极点呢,如果你想要实部和虚部,你很乐意在分母上得到实数并且看到实部和虚部在上面。我不喜欢它在下面。
所以我要做的是,真实和虚构的部分,我将乘以少量i omega。这是复杂数字的关键技巧。它升起了,所以学习是很好的。我乘以其共轭,S加我欧米茄加上我欧米茄。所以我乘以1。
但是你看,现在发生的是,实部和虚部,我得到了我想要的,s + I现在在分子上,我可以看到它。下面是什么?(S - I)乘以(S + I)这个非常重要的量。S方- i S,加上i S - i方,就是加上1方加上方。好的。我们已经做到了。
我已经将余弦和正弦转化为此,而且欧米茄在这方面。所以两个一次,两个变换。当然,我们可以始终如一地做,并识别,并与来自指数,Delta函数的所有特殊函数的转换,高于所有,云和余弦的幂态。这是一个简短的名单。那些是我们能做的,幸运的是,那些我们需要做的那些。
好的,所以我现在准备好放在右边 - 这是什么结果?事实证明,来自余弦,我现在不做正弦,余弦。我正在采取真实的部分。它在那个积极的平方和欧米茄平方中是较好的。你和我在一起吗?左侧,全正常。我从0个初始条件开始,否则我会看到这里的初始值。但我没有,因为他们是0。
在这里,我得到了右边的变换。好吗?然后我把它拿下来。最后,我知道y (s)等于s除以这个重要的二次项,然后是(s²+²)
好的。你看,它确实变硬了。我们从一个二次方程得到s²。我们有两个二次方程。下面有一个四次多项式。部分分式是可行的。部分分式可以简化这个,对于任何多项式,但是当你得到4次时代数很快就变糟了。但实际上,这是可以做到的。我也不打算这么做。对我来说,这最终会给出这个例子的解。 But we have other ways to get that solution. And I believe, for me at least, the other ways are simpler.
我知道解是cos t和sin t的组合,这就是我说的特解。我可以算出这些组合是什么,因为我知道正确的形式。这里,我需要处理部分分式和四次。我要临阵退缩。我不会完全退缩的。我会说这些碎片是什么样子的。但我不会算出所有的数字。还行。
所以所有这些,我把它看成一个常数除以。这个可以分解成(s - s1) (s - s2)这是两个根,就像我们上面看到的。我有一个线性的,一个线性的,一个二次的。部分分式说我可以分离出第一个线性方程,第二个线性方程,第三个二次方程,我也可以把它因式分解,但是我可以把s²+²分解成这个乘以这个,但是它带来了虚数。所以我写一个c和一个d。四个数字有待确定,或者更确切地说,还未确定。因为我就讲到这里。
我发现这部分将零解,将一个空的解决方案,因为它涉及到e的s1 t和e的s2 t。这部分,我发现逆变换的时候,它必须因为ωt和正弦ωt。这是一些组合,当我发现它的变换——
(音频)
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