好的。第三个视频是关于二阶常系数方程的稳定性。但我们会继续讨论矩阵。这是一个很特别的视频。这是我们熟悉的方程。我取a到b1,把a除掉,没问题。
所以这是一个二阶方程。但我们知道如何将其转换为两个第一阶方程。他们在这里。所以这是两个方程。那是一个2乘2个矩阵。让我读取顶级方程。它说Dy DT为0Y加上1de dt。因此,等式是一种琐碎性。DY DT等于DY DT。
第二个等式是真实的。Y Prime的衍生物是双重素数。因此,这是第二种衍生物,等于minus cy和减去b y素。那是我的等式y双重素数,当我把减号的凯旋电脑带到加电网时,我将减去b y粉末作为加b y prime。我有我的等式。因此,等式与那个相同。它只是用矢量未知的矢量。这是一个系统,两个方程的系统。
它有一个2乘2矩阵。它被称为,这个特定矩阵为0和1称为伴随矩阵。伴侣,所以这是那个的伴侣方程。
好的。因此,无论我们知道这个等式,我们都会从该等方程式中获得相同的信息。但语言更改。这真的是这个视频的重要点,只是为了告诉你语言的变化。所以这里是。对于那个问题,旧的指数,S1和S2,以及每个人都在观看这个视频的时候都记得S的Squared Plus BS Plus C等于0。因此,这总是始终是什么。
因此,具有控制一切,控制稳定性的两个根,S1和S2。现在,如果我用这种语言这样做,我不再呼叫他们S1和S2。但它们是两个数字。我所说的是特征值,一个很酷的词,半德语半英语可能,有点疯狂的词。但它建立了很好。
这些相同的数被称为矩阵的特征值。你看,这个问题中的矩阵是一样的。我们得到了和这个方程相同的信息。这些是特征值。我能告诉你你可能已经知道的事吗?每个人都写,一个希腊的,表示特征值。这里我有两个指数,这里我有两个特征值。这些数字和那些数字是一样的。它们满足同一个方程。
当我们遇到矩阵和特征值很快,我们会看到其他矩阵的特征值。我们会看到,对于这些特定的伴矩阵,特征值解出的方程和指数解出的方程是一样的,这个二次方程s²b和C = 0。
好的。稳定性,记住稳定性是指数小于0的根的实部,因为指数的实部是负的,趋于0。现在我们只是在用,这是我们以前的语言。我们的新语言是小于0的实部。
稳定的基质是特征值的实数,λ小于零。因此,我们只是真正交换了字母S和字母LAMBDA的单个高阶方程,以及两个第一阶方程。好的。我在这样做没有 - 只是将lambda连接到s,但没有告诉你lambda自己是什么。
好的。让我回忆一下。所以,我在这里更进一步。因为我已经讲过二阶方程的所有内容了。我们知道稳定的条件。条件是阻尼为正,B为正。频率的平方最好是正的。所以C应该是正的。当这个矩阵是B + C +时。
现在我只剩几分钟了。为什么我不允许任何2 × 2矩阵。我不会给你特征值的理论。但只要把它联系起来。好的。所以我想把它们联系起来。你记得同伴矩阵有一个特殊的形式0。a是0 b是1 c是负的c d是负的b。
那么关于特征值,我要说些什么呢?因为我得把它们处理好。特征值和特征向量是求解方程组的关键。你们明白我说的系统是什么意思吗?这意味着未知数,我有不止一个方程。
我的矩阵为2乘2,或3乘3,或n。我未知的Z有2或3个不同的组件。这是一个矢量。所以z是向量。矩阵乘以向量。这就是矩阵所做的。他们乘以向量。所以这是一般的画面。这是一个特别重要的案例。
所以我们可以决定稳定性。所以我将总结一下这个系统的稳定性。稳定性将是,我必须告诉你们一些关于这个系统的解决方案。记住z是一个向量。所以这里有一些解决方案。z是,原来这是关键。有一个e,你期望指数。你们现在期望的是特征值,而不是这里的值。现在我们需要一个向量。让我称之为向量x1。这就是特征向量。这是特征值。金宝搏官方网站
如果我寻找这种形式的解,把它代入方程,特征向量的关键方程就出来了。再一次,我把这个,求解的希望,带入方程。我会发现a乘以这个向量x1应该是1乘以x1。好吧,我有很多话要说。
但如果它成立,如果a乘以x1等于1乘以x1,那么当我把这个代入,方程成立。我有办法了。我有一个解决办法。当然对于二阶方程,我要找两个解。金宝搏官方网站所以完整的解也是,我可以有它是线性的。所以我总是可以乘以一个常数。然后我期待第二个,同样形式的,e的另一个特征值,就像另一个指数乘以另一个特征向量。
这是我的展示展示,即解决方案。金宝搏官方网站所以我们正在寻找一个特征值,并寻找特征向量。并且他们必须满足关键方程。当我们将其放入微分方程并使双方同意时,那么等式就会来。这就是到来的。特征值和特征向量控制方程式系统的稳定性。
这就是世界上大多数人关注的,单个方程,偶尔也会出现,但通常是一个方程组。特征值告诉我们。特征值是正的吗?在这种情况下,我们爆炸了,不稳定。特征值是负的吗,或者至少实部是负的?这是我们生活的稳定情况。好,谢谢。
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