解决使用正方形线性系统MINRES法使用默认设置，然后调整在溶液方法中使用迭代的公差和数量。

创建一个稀疏三角矩阵一个作为系数矩阵。使用的行总和一个作为矢量b对于右手边 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$使溶液 $\mathit{X}$预计将那些的向量。

N = 400;上那些=（N，1）;A = spdiags（[ -  2 * 4 *上-2 *上]， -  1：1，N，N）;B =总和（A，2）;

解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$运用MINRES法。输出显示器包括相对剩余误差的值 $\frac{\Vert \mathrm{斧头}-\mathit{b}\Vert }{\Vert \mathit{b}\Vert }$。

X = MINRES法（A，B）;

MINRES法停在迭代20而未收敛到所需的公差1E-06，因为达到迭代的最大数量。返回的迭代（数20）具有相对残留0.017。

默认MINRES法使用20次迭代和公差1E-6和算法无法收敛在那些20次迭代这个矩阵。由于残余是的量级1E-2，这是一个很好的指标，需要更多的迭代。您也可以减少耐受性使其更容易使算法收敛。

解决再次用宽容的系统1E-4和250次迭代。

X = MINRES法（A，B，1E-4250）;

MINRES法收敛在迭代200与相对残余7E-13的溶液。

检查使用具有预条件矩阵的效果MINRES法求解线性系统。

创建对称正定的，带状系数矩阵。

A = delsq（numgrid（'S'，102））;

确定b所以，真正的解决办法是全部为一向量。

B =总和（A，2）;

设置宽容和最大迭代次数。

TOL = 1E-12;麦克斯特= 100;

用MINRES法发现在所要求的公差和迭代次数的解决方案。指定六个输出返回有关求解过程的信息：

[X0，FL0，RR0，IT0，RV0，rvcg0] = MINRES法（A，B，TOL，麦克斯特）;FL0

FL0 = 1

RR0

RR0 = 0.0013

IT0

IT0 = 100

FL0是因为1MINRES法不收敛到所需容限1E-12所请求的100次迭代内。

为了具有收敛帮助，您可以指定一个预条件矩阵。以来一个是对称的，使用ichol生成预条件 $\mathit{中号}=\mathit{大号}{\mathit{大号}}^{\mathit{Ť}}$。指定'ICT'选项以使用不完全Cholesky因式分解与阈滴，并指定的对角线位移值1E-6以避免非正枢转。通过指定解决所述预处理系统大号和L”作为输入来MINRES法。

安装=结构（'类型'，'ICT'，'diagcomp'，1E-6，'droptol'，1E-14）;L = ichol（A，设置）;[X1，FL1，RR1，IT1，RV1，rvcg1] = MINRES法（A，B，TOL，麦克斯特，L，L'）;FL1

FL1 = 0

另外，rr

RR1 = 2.4539e-15

IT1

IT1 = 4

使用的ILU预处理器产生一个相对残余小于规定公差1E-12在第四次迭代。输出RV1（1）是范数（b）中，输出RV1（端部）是范数（B-A * X1）。

您可以按照进度MINRES法通过在每一次迭代绘制的相对残差。绘制每个解决方案的剩余历史与指定容忍线。

semilogy（0：长度（RV0）-1，RV0 /范数（b）中，'-o'）保持上semilogy（0：长度（RV1）-1，RV1 /范数（b）中，'-o'）YLINE（TOL，'R--'）;传说（“不预条件”，“ICHOL预调节器”，'公差'，'位置'，'东'）xlabel（“迭代次数”）ylabel（“相对残存”）

检查供应的影响MINRES法与溶液的初始猜测。

创建三对角稀疏矩阵。用每行的总和作为向量的右侧 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$因此，对于期望的解决方案 $\mathit{X}$是那些的向量。

N = 900;E =酮（N，1）;A = spdiags（[E 2 * E E]， -  1：1，N，N）;B =总和（A，2）;

用MINRES法解决 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$两次：一次用默认的初始猜测，有一次与解决方案的一个很好的初始猜测。使用200次迭代两种解决方案并指定初始猜测作为矢量与所有金宝搏官方网站元素等于0.99。

麦克斯特= 200;X1 = MINRES法（A，B，[]，麦克斯特）;

MINRES法收敛在迭代27与相对残余9.5e-07的溶液。

X0 = 0.99 *酮（尺寸（A，2），1）;X2 = MINRES法（A，B，[]，麦克斯特，[]，[]，X0）;

MINRES法收敛在迭代7与相对残余6.7e-07的溶液。

在这种情况下供给的初始猜测使MINRES法收敛更快。

X0 =零（尺寸（A，2），1）;TOL = 1E-8;麦克斯特= 100;对于K = 1：4 [X，旗，relres] = MINRES法（A，B，TOL，麦克斯特，[]，[]，X0）;X（：，K）= X;R（k）的= relres;X0 = X;结束

通过提供解决的线性系统MINRES法与函数处理，计算斧头代替系数矩阵的一个。

一个所产生的威尔金森测试矩阵画廊是一个21通过-21三对角阵。预览矩阵。

A =画廊（“威尔克”，21）

A =21×2110 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0⋮

威尔金森矩阵具有特殊的结构，这样你就可以显示操作斧头具有功能手柄。由于每一行一个乘中的元素X，只有少数的结果是非零的（对应于非零元素上tridiagonals）。而且，只有主对角线具有不等于1的表达的非零元素 $\mathrm{斧头}$变为：

$\left[\begin{array}{cccccccccc}10& 1& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 0\\ 1& 9& 1& 0& & & & & & 0\\ 0& 1& 8& 1& 0& & & & & ⋮\\ ⋮& 0& 1& 7& 1& 0& & & & \\ & & 0& 1& 6& 1& 0& & & ⋮\\ ⋮& & & 0& 1& \mathrm{五}& 1& 0& & \\ & & & & 0& 1& 4& 1& 0& ⋮\\ ⋮& & & & & 0& 1& 3& \ddots & 0\\ 0& & & & & & 0& \ddots & \ddots & 1\\ 0& 0& \cdots & & \cdots & & \cdots & 0& 1& 10\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_1\\ {\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_3\\ {\mathit{X}}_4\\ {\mathit{X}}_{\mathrm{五}}\\ ⋮\\ \\ ⋮\\ \\ {\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}10{\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+9{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_3\\ {\mathit{X}}_2+8{\mathit{X}}_3+{\mathit{X}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19}+9{\mathit{X}}_{20}+{\mathit{X}}_{21}\\ {\mathit{X}}_{20}+10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]$。

将得到的载体可被写为三个矢量的总和：

$\left[\begin{array}{c}0+10{\mathit{X}}_1+{\mathit{X}}_2\\ {\mathit{X}}_1+9{\mathit{X}}_2+{\mathit{X}}_3\\ {\mathit{X}}_2+8{\mathit{X}}_3+{\mathit{X}}_4\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{19}+9{\mathit{X}}_{20}+{\mathit{X}}_{21}\\ {\mathit{X}}_{20}+10{\mathit{X}}_{21}+0\end{array}\right]$= $\left[\begin{array}{c}0\\ {\mathit{X}}_1\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{20}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}10{\mathit{X}}_1\\ 9{\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ 10{\mathit{X}}_{21}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathit{X}}_2\\ ⋮\\ {\mathit{X}}_{21}\\ 0\end{array}\right]$。

在MATLAB®，编写创建这些矢量并将它们相加，由此得到的值的函数斧头：

功能Y = afun（X）Y = [0;X（1:20）] +...[（10：-1：0）';（1:10）']。* X +...[X（2:21）;0];结束

（此功能被保存为在实施例的端部的局部的功能。）

现在，求解线性系统 $\mathrm{斧头}=\mathit{b}$通过提供MINRES法用函数处理计算斧头。使用的公差1E-12和50次迭代。

B =酮（21.1）;TOL = 1E-12;麦克斯特= 50;X1 = MINRES法（@ afun，B，TOL，麦克斯特）

MINRES法收敛在迭代11与相对残余4.1E-16的溶液。

X1 =21×10.0910 0.0899 0.0999 0.1109 0.1241 0.1443 0.1544 0.2383 0.1309 0.5000⋮

检查afun（X1）产生的人的向量。

afun（X1）

ANS =21×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000⋮

功能Y = afun（X）Y = [0;X（1:20）] +...[（10：-1：0）';（1:10）']。* X +...[X（2:21）;0];结束