lyap

Solución de la ecuación continua de Lyapunov

Sintaxis

lyap X = lyap(A,Q) X = lyap(A,B,C) X = lyap(A,Q,[],E)

Descripción

lyapresuelve las formas generales y especiales de la ecuación de Lyapunov. Las ecuaciones de Lyapunov surgen en diferentes áreas de control, entre las que se incluyen la teoría de la estabilidad y el estudio del comportamiento de la media cuadrática de sistemas.

X = lyap(A,Q)resuelve la ecuación de Lyapunov

$A X + X A^{T} + Q = 0$

dondeAyQrepresentan matrices cuadradas de tamaños idénticos. SiQes una matriz simétrica, la soluciónXtambién es una matriz simétrica.

X = lyap(A,B,C)resuelve la ecuación de Sylvester

$A X + X B + C = 0$

Las matricesA,ByCdeben tener dimensiones compatibles, pero no es necesario que sean cuadradas.

X = lyap(A,Q,[],E)resuelve la ecuación generalizada de Lyapunov

$A X E^{T} + E X A^{T} + Q = 0$

dondeQes una matriz simétrica. Debe utilizar corchetes vacíos[]para esta función. Si introduce algún valor dentro de los corchetes, la función dará error.

Limitaciones

La ecuación continua de Lyapunov tiene una única solución si los valores propios $α_{1}, α_{2}, ..., α_{n}$ deAy $β_{1}, β_{2}, ..., β_{n}$ deBcumplen lo siguiente

$α_{i} + β_{j} \neq 0 f o r a l l p a i r s (i, j)$

Si no se cumple esta condición,lyapaparece el mensaje de error:

Solution does not exist or is not unique.

Ejemplos

Ejemplo 1

Resuelva la ecuación de Lyapunov

Resuelva la ecuación de Lyapunov

$A X + X A^{T} + Q = 0$

donde

$A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ - 3 & - 4 \end{matrix}] Q = [\begin{matrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}]$

La matrizAes estable y la matrizQes definida positiva.

A = [1 2; -3 -4]; Q = [3 1; 1 1]; X = lyap(A,Q)

Estos comandos devuelven la siguiente matrizX:

X = 6.1667 -3.8333 -3.8333 3.0000

Puede calcular los valores propios para comprobar queXes definida positiva.

eig(X)

El comando devuelve el siguiente resultado:

ans = 0.4359 8.7308

Ejemplo 2

Resuelva la ecuación de Sylvester

Resuelva la ecuación de Sylvester

$A X + X B + C = 0$

donde

$A = 5 B = [\begin{matrix} 4 & 3 \\ 4 & 3 \end{matrix}] C = [\begin{matrix} 2 & 1 \end{matrix}]$

A = 5; B = [4 3; 4 3]; C = [2 1]; X = lyap(A,B,C)

Estos comandos devuelven la siguiente matrizX:

X = -0.2000 -0.0500

Algoritmos

lyaputiliza las rutinas de SLICOT SB03MD y SG03AD para las ecuaciones de Lyapunov y las rutinas SB04MD y ZTRSYL de SLICOT y LAPACK, respectivamente, para las ecuaciones de Sylvester.

Referencias

[1]巴特尔、相对湿度和G.W.斯图尔特,t的”解决方案he Matrix Equation AX + XB = C,"Comm. of the ACM, Vol. 15, No. 9, 1972.

[2] Barraud, A.Y., “A numerical algorithm to solve A XA - X = Q,”IEEE^®Trans. Auto. Contr., AC-22, pp. 883–885, 1977.

[3] Hammarling, S.J., “Numerical solution of the stable, non-negative definite Lyapunov equation,”IMA J. Num. Anal., Vol. 2, pp. 303–325, 1982.

[4] Penzl, T., ”Numerical solution of generalized Lyapunov equations,”Advances in Comp. Math., Vol. 8, pp. 33–48, 1998.

[5] Golub, G.H., Nash, S. and Van Loan, C.F., “A Hessenberg-Schur method for the problem AX + XB = C,”IEEE Trans. Auto. Contr., AC-24, pp. 909–913, 1979.

Historial de versiones

Introducido antes de R2006a

Consulte también

covar|dlyap