夹广场各向同性板与统一的压力负荷

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这个例子展示了如何计算结构板压力载荷作用下的挠度。

偏微分方程的各向同性薄板压力加载

$\nabla^{2} (D \nabla^{2} w) = - - - - - - p,$

在哪里 $D$ 板的抗弯刚度由吗

$D = \frac{E h^{3}}{12 (1 - - - - - - ν^{2})},$

和 $E$ 弹性模量, $ν$ 泊松比, $h$ 板的厚度, $w$ 板的横向偏转, $p$ 压力负荷。

固支边界的边界条件 $w = 0$ 和 $w^{'} = 0$ ,在那里 $w^{'}$ 的导数是 $w$ 在一个正常的边界方向。

偏微分方程工具箱™不能直接解决这个四阶板方程。四阶方程转换为两个二阶偏微分方程,在那里 $v$ 是新的因变量。

$\nabla^{2} w = v$

$D \nabla^{2} v = - - - - - - p$

你不能直接指定的边界条件 $w$ 和 $w^{'}$ 在这个二阶系统。相反,指定 $w^{'}$ 是0,并定义 $v^{'}$ 这 $w$ 还对边界= 0。指定这些条件,用僵硬的“弹簧”分布沿边界。弹簧应用板的横向剪切力优势。定义剪切力沿边界由于这些弹簧 $n \cdot D \nabla v = - - - - - - k w$ ,在那里 $n$ 是正常的边界, $k$ 弹簧的刚度。这个表达式是一个广义诺伊曼边界条件支持的工具。金宝app的价值 $k$ 必须足够大,这样吗 $w$ 在边界上的所有点大约是0。它还必须足够小,以避免数值错误由于一个坏脾气的刚度矩阵。

工具箱使用因变量 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ 而不是 $w$ 和 $v$ 。重写两个二阶偏微分方程使用变量 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ :

$- - - - - - \nabla^{2} u_{1} + u_{2} = 0$

$- - - - - - D \nabla^{2} u_{2} = p$

创建一个PDE模型两个方程组。

模型= createpde (2);

创建一个广场几何和包括在模型中。

len = 10;gdm = [3 4 0 len len 0 0 0 len len) ';g = decsg (gdm,“S1 ',(“S1 ')');geometryFromEdges(模型中,g);

情节的几何边缘标签。

图pdegplot(模型,“EdgeLabels”,“上”)ylim([11])轴平等的标题(“与边缘标签显示几何”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题几何边缘标签显示包含5线类型的对象,文本。

PDE系数必须指定使用工具箱所需的格式。有关详细信息,请参见

c系数在本例中是一个张量,它可以表示为一个2×2块2×2矩阵:

$(\begin{array}{cccc} c (1) & c (2) & \cdot & \cdot \\ \cdot & c (3) & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & c (4) & c (5) \\ \cdot & \cdot & \cdot & c (6) \end{array}]$

这个矩阵进一步简化成一个列向量的六个元素。完整的2×2矩阵的条目(定义系数)和2×1向量(定义系数f)遵循直接从two-equation系统的定义。

E = 1.0 e6;%弹性模量ν= 0.3;%泊松比厚= 0.1;%板厚度总统= 2;%的外部压力D = E *厚^ 3 /(12 *(1 -ν^ 2));c = [1 0 1 0 D] ';= (0 0 1 0)';f =[0总统]';specifyCoefficients(模型,“m”0,“d”0,“c”c“一个”一个,“f”f);

定义边界条件,首先指定弹簧刚度。

k = 1 e7;

定义分布式弹簧在所有四个边。

布特= applyBoundaryCondition(模型,“纽曼”,“边缘”(1:4),…“g”[0 0],“q”,[0 0;k 0]);

生成一个网格。

generateMesh(模型);

解决模型。

res = solvepde(模型);

访问节点位置的解决方案。

u = res.NodalSolution;

绘制横向偏转。

numNodes =大小(model.Mesh.Nodes, 2);图pdeplot(模型,“XYData”u (: 1),“轮廓”,“上”)标题(“横向偏转”)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象与标题横向偏转包含12块类型的对象,线。

找到横向偏转板中心。

numNodes =大小(model.Mesh.Nodes, 2);wMax = min (u (1: numNodes, 1))

wMax = -0.2763

比较结果与偏转板中心的计算分析。

wMax = -.0138 *总统* len ^ 4 / (E *厚^ 3)

wMax = -0.2760