平滑时变扩散状态空间模型

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这个例子展示了如何从已知模型生成数据，为数据拟合扩散状态空间模型，然后平滑状态。

假设一个潜在过程包括一个AR(2)和一个MA(1)模型。有50个周期，MA(1)过程在最后25个周期中退出模型。因此，前25个周期的状态方程为

$数组$ $ \开始{}{1}& # xA;{间{1,t}} = 0.7{间{1,t - 1}} - 0.2{间{1,t - 2}} + {u_ {1, t}} \ \ & # xA;{间{2,t}} = {u_ {2, t}} + 0.6 {u_ {2, t - 1}}, & # xA; \{数组}$ $$

在过去的25个周期中，是这样的

$${间{1,t}} = 0.7{间{1,t - 1}} - 0.2{间{1,t - 2}} + {u_ {1, t}} $$

在哪里 $u_ {1, t} $美元$ 而且 $u_ {2, t}$ 为均值为0，标准差为1的高斯分布。

假设级数分别从1.5和1开始，生成50个观测值的随机序列美元间的{1,t} $ 而且间的美元$ {2,t}

T = 50;ARMdl = arima(基于“增大化现实”技术的{0.7, -0.2},“不变”0,“方差”1);amdl = arima(“马”, 0.6,“不变”0,“方差”1);X0 = [1.5 1;1.5 - 1];rng (1);x =[模拟(ARMdl,T，“Y0”x0 (: 1)),.．.模拟(MAMdl T / 2,“Y0”x0(: 2));南(T / 2, 1)];

模拟MA(1)数据的后25个值为南值。

对潜在过程进行测量

$$ {y_t} = 2 \离开({{间{1,t}} +{间{2,t}}} \右)+ {\ varepsilon _t} $$

对于前25个时段，和

${y_t} = 2{x_{1,t}} + {\varepsilon _t}$

在过去25个时期，其中 $\ varepsilon_t美元$ 为均值为0，标准差为1的高斯分布。

使用随机潜伏状态过程(x)和观测方程来生成观测值。

Y = 2*sum(x'，“omitnan”) + randn (T, 1);

潜伏过程和观测方程共同构成了一个状态空间模型。如果系数为未知参数，则状态空间模型为

$数组$ $ \开始{}{1}& # xA;左\[{\开始数组{}{* {20}{c}} & # xA;{{间{1,t}}} \ \ & # xA;{{间{2,t}}} \ \ & # xA;{{间{3 t}}} \ \ & # xA;{{间{4 t}}} & # xA;结束\{数组}}\右]左= \[{\开始数组{}{* {20}{c}} & # xA;{{\φ_1}}和{{\φ_2}}& # 38;0 & # 38;0 \ \ & # xA; 1 & # 38; 0 & # 38; 0 & # 38; 0 \ \ & # xA; 0 & # 38; 0 & # 38; 0 &{{\θ_1}}\ \ & # xA; 0 & # 38; 0 & # 38; 0 & # 38; 0 & # xA;结束\{数组}}\右]\离开[{\开始{数组}{* {20}{c}} & # xA;{{间{1,t - 1}}} \ \ & # xA;{{间{2,t - 1}}} \ \ & # xA;{{间{3 t - 1}}} \ \ & # xA;{{间{4,t - 1}}} & # xA;结束\{数组}}\右]+左\ [数组{\开始{}{* {20}{c}} & # xA; 1 & # 38; 0 \ \ & # xA; 0 & # 38; 0 \ \ & # xA; 0 & # 38; 1 \ \ & # xA; 0 & # 38; 1 & # xA;结束\{数组}}\右]\离开[{\开始{数组}{* {20}{c}} & # xA; {{u_ {1, t}}} \ \ & # xA; {{u_ {2, t}}} & # xA;结束\{数组}}\右]\ \ & # xA; {y_t} = a({间{1,t}} +{间{3 t}}) + {\ varepsilon _t} & # xA; \{数组}$ $$

在前25个时段，

$数组$ $ \开始{}{1}& # xA;左\[{\开始数组{}{* {20}{c}} & # xA;{{间{1,t}}} \ \ & # xA;{{间{2,t}}} & # xA;结束\{数组}}\右]左= \[{\开始数组{}{* {20}{c}} & # xA;{{\φ_1}}和{{\φ_2}}& # 38;0 & # 38;0 \ \ & # xA; 1 & # 38; 0 & # 38; 0 & # 38; 0 & # xA;结束\{数组}}\右]\离开[{\开始{数组}{* {20}{c}} & # xA;{{间{1,t - 1}}} \ \ & # xA;{{间{2,t - 1}}} \ \ & # xA;{{间{3 t - 1}}} \ \ & # xA;{{间{4,t - 1}}} & # xA;结束\{数组}}\右]+ \离开[{\开始{数组}{* {20}{c}} & # xA; 1 \ \ & # xA; 0 & # xA;结束\{数组}}\右]{u_ {1, t}} \ \ & # xA; b {y_t} ={间{1,t}} +{\ varepsilon _t} & # xA; \{数组}$ $$

对于第26期，和

$数组$ $ \开始{}{1}& # xA;左\[{\开始数组{}{* {20}{c}} & # xA;{{间{1,t}}} \ \ & # xA;{{间{2,t}}} & # xA;结束\{数组}}\右]左= \[{\开始数组{}{* {20}{c}} & # xA;{{\φ_1}}和{{\φ_2}}\ \ & # xA; 1 & # 38; 0 & # xA;结束\{数组}}\右]\离开[{\开始{数组}{* {20}{c}} & # xA;{{间{1,t - 1}}} \ \ & # xA;{{间{2,t - 1}}} & # xA;结束\{数组}}\右]+ \离开[{\开始{数组}{* {20}{c}} & # xA; 1 \ \ & # xA; 0 & # xA;结束\{数组}}\右]{u_ {1, t}} \ \ & # xA; b {y_t} ={间{1,t}} + {\ varepsilon _t} & # xA; \{数组}$ $$

在过去的24个时期。

写一个函数来指定参数的输入方式参数个数映射到状态空间模型矩阵、初始状态值和状态类型。

版权所有The MathWorks, Inc.函数[A,B,C,D,Mean0,Cov0,StateType] = diffuseAR2MAParamMap(params,T)时变扩散状态空间模型参数%映射函数％这个函数将向量参数映射到状态空间矩阵(A, B，% C和D)和状态类型(StateType)。从周期1到周期T/2%状态模型为AR(2)和MA(1)模型，观测模型为两种状态的和。从周期T/2 + 1到T，状态模型为只是AR(2)模型。AR(2)模型是弥漫的。A1 = {[params(1) params(2) 0 0;1 0 0 0;0 0 0参数(3);0 0 0 0]};B1 = {[10 0;0 0;0 1;0 1]};C1 = {params(4)*[1 0 1 0]};Mean0 = []; Cov0 = []; StateType = [2 2 0 0]; A2 = {[params(1) params(2) 0 0; 1 0 0 0]}; B2 = {[1; 0]}; A3 = {[params(1) params(2); 1 0]}; B3 = {[1; 0]}; C3 = {params(5)*[1 0]}; A = [repmat(A1,T/2,1);A2;repmat(A3,(T-2)/2,1)]; B = [repmat(B1,T/2,1);B2;repmat(B3,(T-2)/2,1)]; C = [repmat(C1,T/2,1);repmat(C3,T/2,1)]; D = 1;结束

将此代码保存为一个名为diffuseAR2MAParamMap在MATLAB®路径上。

通过传递函数创建弥漫状态空间模型diffuseAR2MAParamMap的函数句柄dssm．

Mdl = dssm(@(params)diffuseAR2MAParamMap(params,T));

dssm隐式地创建扩散状态空间模型。通常，您无法验证隐式创建的扩散状态空间模型。

要估计参数，请传递观察到的响应(y)估计．为未知参数指定一组任意的正初值。

Params0 = 0.1*ones(5,1);EstMdl =估计(Mdl,y,params0);

方法:最大似然(fminunc)有效样本量:48对数似然:-110.313赤池信息准则:230.626贝叶斯信息准则:240.186 | Coeff Std Err t Stat Prob --------------------------------------------------- c(1) | 0.44041 0.27687 1.59069 0.11168 c(2) | 0.03949 0.29585 0.13349 0.89380 c(3) | 0.78364 1.49222 0.52515 0.59948 c(4) | 1.64260 0.66736 2.46134 0.01384 c(5) | 1.90409 0.49374 3.85648 0.00012 | |最终状态Std Dev t Stat Prob x(1) | -0.81932 0.46706 -1.75420 0.07940 x(2) | -0.29909 0.45939 -0.65107 0.51500

EstMdl是一个dssm包含估计系数的模型。状态空间模型的似然曲面可能包含局部极大值。因此，可以尝试几个初始参数值，或者考虑使用完善．

平滑状态，通过传递得到每个周期的平滑状态协方差矩阵EstMdl以及观察到的反应光滑的．

[~, ~,输出]=光滑(EstMdl y);

输出是一个T包含平滑状态的-by-1结构数组。

转换输出到一张桌子上去。

OutputTbl = struct2table(输出);OutputTbl (1:10, 1:4)显示前四个变量的前十行

ans = 10x4 table LogLikelihood SmoothedStates SmoothedStatesCov SmoothedStateDisturb _____________ ______________ _________________ ____________________ {0x0 double} {0x0 double} {0x0 double} {0x0 double} {0x0 double} {0x0 double} {0x0 double} {0x0 double} {0x0 double} {0x0 double} {0x0 double} {0x0 double} {0x0 double} {0x0 double} {0x0 double} {0x0 double} {0x0 double} {0x0 double} {[-2.3218]} {4x1 double} {4x4 double} {2x1 double} {[-2.4464]} {4x1 double} {4x4 double} {2x1 double} {[-3.8758]} {4x1 double} {4x4 double} {2x1 double} {[- 2.8758]} {4x1 double} {4x4 double} {2x1 double} {2x1 double} {[- 2.512]} {4x1 double} {4x4 double} {2x1 double} {2x1 double} {[- 2.512]} {4x1 double} {4x4 double} {2x1 double} {2x1 double} {2x1 double} {[- 2.512]} {4x1 double} {4x4 double} {2x1 double} {2x1 double} {[-1.9016]} {4x1 double} {4x4 double}Double} {2x1 Double} {[-1.9284]} {4x1 Double} {4x4 Double} {2x1 Double} {[-2.4110]} {4x1 Double} {4x4 Double} {2x1 Double} {[-2.6502]} {4x1 Double} {4x4 Double} {2x1 Double} {2x1 Double}

表的前两行包含空单元格或零，它们对应于初始化扩散卡尔曼滤波器所需的观察值。也就是说,SwitchTime是2。

SwitchTime = 2;

从中提取平滑状态输出，并计算他们的95%个体wald型置信区间。回想一下，位置1和3是两个不同的状态。位置2和4中的状态有助于指定感兴趣的过程。

statidx = [1 3];表示感兴趣的指数smooththedstates = nan(T,numel(stateIdx));CI = nan(T,2,numel(stateIdx));为t = (SwitchTime + 1): t maxInd = size(Output(t).SmoothedStates,1);mask = statidx <= maxInd;smooththedstates (t,mask) = Output(t).SmoothedStates(statidx (mask)，1);CovX = Output(t).SmoothedStatesCov(statidx (mask)， statidx (mask));CI (t): 1) = SmoothedStates (t, 1) + 1.96 * sqrt (CovX (1,1)) * (1);如果(max (stateIdx(面具))> 1)CI (t): 2) = SmoothedStates (t, 2) + 1.96 * sqrt (CovX (2, 2)) * (1);结束结束smooththedstates (1:SwitchTime，:) = 0;CI(1:SwitchTime，:，:) = 0;

绘制每个模型的真实状态值、平滑状态和95%平滑状态置信区间。

图的阴谋(1:T, x (: 1),“b”1: T, SmoothedStates (: 1),“k”1: T, CI (:,: 1),“——r”）;标题(“AR(2)状态值”)包含(“时间”) ylabel (“国家价值”)({传奇“真实状态值”，平滑的状态值，95%置信区间的});图的阴谋(1:T, x (:, 2),“b”1: T, SmoothedStates (:, 2),“k”1: T, CI (:,:, 2),“——r”）;标题(MA(1)状态值)包含(“时间”) ylabel (“国家价值”)({传奇“真实状态值”，平滑的状态值，95%置信区间的});

另请参阅

dssm|估计|光滑的

平滑时变扩散状态空间模型

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