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投资组合优化理论

投资组合优化问题

投资组合优化问题包括：标识组合满足三个标准：

最大限度地减少风险的代理。
匹配或超过代理返回。
满足基本的可行性要求。

组合是从可行集合构成一个资产宇宙资产的点。甲图集或者指定持有或权重，在该资产宇宙每个单独的资产。该公约是在权重方面来指定组合，虽然组合优化工具，持有正常工作。

可行投资组合的集合必须是非空的、封闭的和有界的集合。风险的代理是一个函数，它表征与投资组合选择相关的可变性或损失。回报的代理是一个函数，它表征与投资组合选择相关的总收益或净收益。术语“风险”和“风险代理”以及“回报”和“回报代理”是可以互换的。马科维茨的基本见解(见<一个href="//www.tatmou.com/help/finance/bibliography.html" class="a">投资组合优化）是投资组合选择问题的目标是寻求最小的风险收益一定水平，并寻求风险一定水平的最大回报。满足这些标准的组合是有效的组合和这些组合的风险和回报的曲线形成一个称为曲线有效边界。

投资组合问题的规范

要指定一个组合优化问题，您需要满足以下条件：

投资组合回报代理(μ)
代理投资组合的风险（Σ)
一套可行的投资组合(X），称为组合集

Financial Toolbox™有三个对象来解决特定类型的投资组合优化问题:

的<一个href="//www.tatmou.com/help/finance/portfolio.html">投资组合对象支持均值-金宝app方差组合优化(参见Markowitz [46]， [47] at)<一个href="//www.tatmou.com/help/finance/bibliography.html" class="a">投资组合优化)。该对象以总或净投资组合回报作为回报代理，以投资组合回报的方差作为风险代理，并以指定约束条件的任意组合形成投资组合集。
的<一个href="//www.tatmou.com/help/finance/portfoliocvar.html">PortfolioCVaR对象实现了被称为条件值下的风险组合优化（见Rockafellar和Uryasev [48]，[49]在<一个href="//www.tatmou.com/help/finance/bibliography.html" class="a">投资组合优化），其被称为CVaR的组合优化。CVaR的投资组合优化的工作原理与相同的回报代理和投资组合集作为均值 - 方差投资组合优化，但使用有条件价值在风险证券收益的风险代理。
的<一个href="//www.tatmou.com/help/finance/portfoliomad.html">PortfolioMAD对象实现了所谓的均值-绝对偏差投资组合优化(见Konno和Yamazaki [50] at)<一个href="//www.tatmou.com/help/finance/bibliography.html" class="a">投资组合优化)，这被称为疯狂的投资组合优化。MAD投资组合优化以相同的收益代理和投资组合集作为均值-方差投资组合优化，但使用均值-绝对偏差投资组合收益作为风险代理。

返回代理

投资组合回报的代理是一个函数<年代p一个nclass="inlineequation"> $μ : X \to R$ 在组合组<年代p一个nclass="inlineequation"> $X \subset R^{n}$ 表征与投资组合的选择有关的奖励。通常情况下，对组合收益的代理有两种形式，毛保费及净投资组合的回报。这两个组合的收益形式分离无风险利率r₀所以投资组合<年代p一个nclass="inlineequation"> $x \in X$ 仅包含高风险资产。

不管资产回报的基础分布如何，一个集合年代资产回报率y<年代ub>1，...，y<年代ub>年代拥有资产收益率的平均值

$米 = \frac{1}{年代} \sum_{年代 = 1}^{年代} y_{年代},$

和(样本)资产回报的协方差

$C = \frac{1}{年代 - 1} \sum_{年代 = 1}^{年代} (y_{年代} - 米) {(y_{年代} - 米)}^{T} 。$

这些矩(或表征这些矩的替代估计器)直接用于均值-方差投资组合优化，以形成投资组合风险和回报的代理。

总投资组合的回报

总投资组合回报的投资组合<年代p一个nclass="inlineequation"> $x \in X$ 是

$μ (x) = r_{0} + {(米 - r_{0} 1)}^{T} x,$

地点:

r₀为无风险利率(标量)。

米为资产回报的平均值(n向量）。

如果投资组合的权重之和为1，无风险利率是无关紧要的。的属性投资组合对象以指定的总投资组合的回报是：

RiskFreeRate为r<年代ub>0
AssetMean为米

净投资组合回报率

净投资组合回报的投资组合<年代p一个nclass="inlineequation"> $x \in X$ 是

$μ (x) = r_{0} + {(米 - r_{0} 1)}^{T} x - b^{T} 最大 {0, x - x_{0}} - {年代}^{T} 最大 {0, x_{0} - x},$

地点:

r<年代ub>0为无风险利率(标量)。

米为资产回报的平均值(n向量）。

b是成正比的成本购买资产（n向量）。

年代为出售资产的比例成本(n向量）。

你也可以在这个模型中加入固定交易成本。虽然在这种情况下，有必要将价格纳入成本中。的属性投资组合对象以指定证券投资的净回报是：

RiskFreeRate为r₀
AssetMean为米
InitPort为x₀
BuyCost为b
SellCost为年代

风险代理

对投资组合的风险代理是一个函数<年代p一个nclass="inlineequation"> $\sum : X \to R$ 在组合组<年代p一个nclass="inlineequation"> $X \subset R^{n}$ 这体现了与投资组合选择相关的风险。

方差

投资组合的方差返回组合<年代p一个nclass="inlineequation"> $x \in X$ 是

$\sum (x) = x^{T} C x$

在哪里C为资产回报的协方差(n-通过-n正半定矩阵）。

在属性投资组合对象以指定组合收益的方差AssetCovar为C。

虽然在均值 - 方差组合优化风险代理是组合收益的方差，平方根，这是组合收益的标准差，经常报道和显示。此外，这个量通常被称为投资组合的“风险”。有关详细信息，请参阅马科维茨（<一个href="//www.tatmou.com/help/finance/bibliography.html" class="a">投资组合优化)。

有条件的价值在-风险

投资组合的有条件风险价值<年代p一个nclass="inlineequation"> $x \in X$ ，又称预期短缺，定义为

$C V 一个 R_{α} (x) = \frac{1}{1 - α} \int_{f (x, y) \geq V 一个 R_{α} (x)} f (x, y) p (y) d y,$

地点:

α的概率水平，使得0<α<1。

f (x, y)投资组合的损失函数是什么x和资产收益率y。

p (y)资产回报的概率密度函数是什么y。

VaR<年代ub>α是价值的风险投资组合x在概率水平α。

该值在风险被定义为

$V 一个 R_{α} (x) = 最小值 {γ : 公关 (f (x, Y) \leq γ] \geq α} 。$

CVaR的另一种形式是:

$C V 一个 R_{α} (x) = V 一个 R_{α} (x) + \frac{1}{1 - α} \int_{R^{n}} 最大 {0, (f (x, y) - V 一个 R_{α} (x))} p (y) d y$

概率水平的选择α通常是0.9或0.95。选择α意味着风险价值VaR<年代ub>α(x)对于投资组合x投资组合回报是否足以令投资组合回报跌至该水平以下的概率为(1- - - - - -α)。特定VaR<年代ub>α(x)对于一个投资组合x，条件值下的风险投资组合的是价值，在风险回报上述投资组合回报的预期损失。

请注意

风险价值是损失的正价值，使概率水平α表明投资组合的回报是价值在风险的负面以下的概率。

为了描述返回时，的概率分布<一个href="//www.tatmou.com/help/finance/portfoliocvar.html">PortfolioCVaR对象获取返回场景的有限样本y_年代与年代=1，...，年代。每一个y_年代是一个n包含返回每个的矢量n场景下的资产年代。这个示例的年代场景被存储为尺寸的场景矩阵年代-通过-n。然后，CVaR的投资组合优化风险代理，对于给定的投资组合<年代p一个nclass="inlineequation"> $x \in X$ 和<年代p一个nclass="inlineequation"> $α \in (0, 1)$ ，计算为

$\sum (x) = V 一个 R_{α} (x) + \frac{1}{(1 - α) 年代} \sum_{年代 = 1}^{年代} 最大 {0, - y_{年代}^{T} x - V 一个 R_{α} (x)}$

风险价值,VaR_α(x），每当CVaR的估计被估计。损失函数<年代p一个nclass="inlineequation"> $f (x, y_{年代}) = - y_{年代}^{T} x$ ，这是情景下投资组合的损失年代。

根据这一定义，VaR和CVaR的是基于给定的情景VaR和CVaR的样本估计。更好的情况下样品产生VaR和CVaR的更可靠的估计。

更多信息，请参见Rockafellar和Uryasev [48]， [49]， Cornuejols和Tutuncu， [51]<一个href="//www.tatmou.com/help/finance/bibliography.html" class="a">投资组合优化。

平均绝对偏差

平均绝对偏差（MAD）的投资组合<年代p一个nclass="inlineequation"> $x \in X$ 被定义为

$\sum (x) = \frac{1}{年代} \sum_{年代 = 1}^{年代} | {(y_{年代} - 米)}^{T} x |$

地点:

y<年代ub>年代资产回报是否具有情景年代= 1,……年代(年代收集n向量)。

f (x, y)投资组合的损失函数是什么x和资产收益率y。

米为资产回报的平均值(n向量）。

这样

$米 = \frac{1}{年代} \sum_{年代 = 1}^{年代} y_{年代}$

有关详细信息，请参阅今野和Yamazaki [50]在<一个href="//www.tatmou.com/help/finance/bibliography.html" class="a">投资组合优化。

另请参阅

投资组合