最后一节给出了充分利用LMI实验室的一些提示。它是面向那些熟悉基础知识的用户的,如指定和解决LMIs的工具.
结构化矩阵变量
相当复杂的矩阵变量结构和相互依赖关系可以指定lmivar.回忆一下,对称块对角线或矩形结构包含的类型1和2lmivar假设矩阵变量是独立的。为了描述更复杂的结构或变量之间的关联,您必须使用Type 3,并根据问题的自由标量变量(所谓的决策变量)直接指定矩阵变量的每个项。
在类型3中,每个条目被指定为0或±xn在哪里xn是nth决策变量。下面的例子说明如何指定非平凡矩阵变量结构lmivar.下面的例子显示了具有不相关和相互依赖的矩阵变量的变量结构。
指定矩阵可变结构
假设这个问题的变量包含一个3 × 3对称矩阵X和一个3 × 3对称的托普利兹矩阵,Y由:
的变量Y有三个独立的条目,因此涉及三个决策变量。自Y是独立于X,标记这些决策变量n+ 1,n+ 2,n+ 3,n是否涉及决策变量的数量X.要检索这个数字,请定义Type 1变量X.
第二个输出参数n给出到目前为止使用的决策变量的总数,在本例中是n= 6。给定这个数字,你可以定义Y。
定义Y的等价表达式使用MATLAB(R)命令托普利兹来生成矩阵。
为了确认变量,可视化决策变量的分布X和Y使用decinfo.
ans =3×31 2 4 2 3 5 4 5 6
ans =3×37 8 9 8 7 8 9 8 7
指定相互依赖矩阵变量
考虑三个矩阵变量,X,Y,Z,结构如下。
在哪里x,y,z,t是独立的标量变量。要指定这样一个三元组,首先定义两个独立变量,X和Y都是1型。
lmivar的第三个输出给出了的入口依赖性X和Y关于决策变量
使用lmivar,您现在可以指定Type 3变量的结构Z在决策变量方面
和
.
因为sX (1, 1)是指
和sY (2, 2)是指
,这个表达式定义了变量Z为:
确认这个结果,通过检查的入口依赖Z关于它的决策变量。
复数的lmi)
LMI求解器是为实值矩阵编写的,不能直接处理涉及复值矩阵的LMI问题。通过观察复厄密矩阵,复值线性矩阵矩阵可以转化为实值线性矩阵矩阵l(x)满足
l(x) < 0
当且仅当
这就提出了将复杂的lmi转化为实际lmi的系统步骤:
分解每个复矩阵变量X作为X=X1+jX2
在哪里X1和X2是真实的
分解每个复矩阵系数一个作为一个=一个1+晶澳2
在哪里一个1和一个2是真实的
求出所有的复杂矩阵乘积。下载188bet金宝搏这将产生in的仿射表达式X1,X2对于每个LMI的实部和虚部,由上述观察可以很容易地推导出一个等价的实值LMI。
对于没有外部因素的线性管理信息系统,该程序的简化版本包括替换矩阵变量的任何出现X=X1+jX2通过
和任何固定矩阵一个=1+农协2,包括真实的
例如,LMI系统的真实对应物
读取(给定分解米=米1+jM2和X=X1+jX2与米j, Xj真正的):
请注意,X = XH反过来要求
和
.因此,X1和X2应分别声明为对称和斜对称矩阵变量。
例如,假设米∊C5×5, LMI系统(方程1)将列明如下:
[X1,n1,sX1] = lmivar(1,[5 1]) [X2,n2,sX2] = lmivar(3,skewdec(5,n1)) bigX= lmivar(3,[sX1 sX2;-sX2 sX1]) % declare bigX=[X1 X2;-X2 X1]lmiterm([1 1 1 bigX],1,1) lmiterm([2 1 1 bigX],1,1) lmiterm([2 1 1 bigX],1,1
注意结构化矩阵变量的三步声明bigX,
指定X1为(实)对称矩阵变量,并保存其结构描述这位朋友以及数字n1的决策变量X1.
指定X2作为斜对称矩阵变量,使用的类型3lmivar和效用skewdec.命令skewdec (n1)根据决策变量创建一个5乘5的斜对称结构n1 +1,n1 +2,…
定义…的结构bigX在结构方面这位朋友和sX2的X1和X2.
看到结构化矩阵变量有关这种结构操作的更多细节。
指定cTmincx的目标
LMI的解算器mincx最小化形式的线性目标cTx在哪里x是决策变量的向量。然而,在大多数控制问题中,这些目标是用矩阵变量而不是用矩阵变量来表示的x.例子包括跟踪(X),X是对称矩阵变量,还是uT徐在哪里u是一个给定的向量。
这个函数defcx便于推导c的仿射函数时的向量矩阵变量.为了说明,考虑线性目标
在哪里X和P两个对称变量和x0是一个给定的向量。如果lmsisys是LMI系统的内部表示,如果x0,X,P已由
x0 = [1;1] setlmis([]) X = lmivar(1,[3 0]) P = lmivar(1,[2 1]):: lmisys = getlmis . x0 = [1;1
的c向量,
可以计算如下:
n = decnbr(lmisys) c = zeros(n,1) for j=1:n, [Xj,Pj] = defcx(lmisys,j,X,P) c(j) = trace(Xj) + x0'*Pj*x0 end
第一个命令返回问题中决策变量的数量,第二个命令维度返回c相应的行动。然后为Loop执行以下操作:
求矩阵变量的值X和P当所有条目的决策向量x为零,除了xj: = 1。该操作由函数执行defcx.除了lmisys和j的输入defcx是标识符X和P目标所涉及的变量,以及输出Xj和Pj是对应的值。
评估的客观表达式X: = Xj和P: = Pj.这个收益率jth的条目c通过定义。
在我们的例子中,结果是
其他目标也可以通过编辑以下通用框架进行类似的处理:
n = decnbr (LMI系统c = 0 (n,1) for j=1:n, [矩阵的值= defcx(LMI system,j,矩阵标识符) c (j) =客观(矩阵值)结束
可行性半径
在解决LMI问题时feasp,mincx,或gevp,限制解决方案是可能的x躺在球里
xTx<R2
在哪里R> 0被称为可行性半径.这指定了最大(欧几里得范数)的大小x避免得到非常大的范数。金宝搏官方网站这也可以加速计算和提高数值稳定性。最后,利用可行性半径界对冗余变量集问题进行了正则化。粗略地说,当一个等价问题可以用更少的变量来表述时,标量变量集是多余的。
可行性半径R是由LMI求解器的选项向量的第三项设置的。其默认值为R= 109。设置R为负值意味着“无刚性边界”,在这种情况下,在优化过程中,如果需要,可行性半径将增加。这种“灵活约束”模式可能产生大规范的解决方案。金宝搏官方网站
问题适定性问题
LMI实验室使用的LMI求解器是基于内点优化技术的。为了计算可行解,这些技术要求LMI约束系金宝搏官方网站统是严格可行的,即可行集有一个非空的内部。因此,当LMI约束可行而不可行时,这些求解器可能会遇到困难严格可行的,即LMI
l(x)≤0
解决方案金宝搏官方网站而
l(x) < 0
没有解决方案。
对于可行性问题,这个困难被自动地规避了feasp,这就重新提出了问题:
找到x这样
为:
最小化t受
在修正后的问题中,LMI约束总是严格可行的x,t和原始的LMI方程2是否可行当且仅当全局最小值t最小值的方程2满足
t最小值≤0
然而,对于可行但不是严格可行的问题,计算工作量通常较高feasp努力接近全局最优t最小值= 0,精度高。
为解决LMI问题mincx和gevp,非严格的可行性通常会导致求解器失败,并返回一个“不可行性”诊断。虽然对这一困难没有普遍的补救办法,但有时可以消除潜在的代数约束,以获得具有较少变量的严格可行问题。
另一个问题与同质可行性问题有关
一个TP + P a< 0,P> 0
虽然这个问题在技术上是适定的,但LMI优化很可能产生接近于零的解(非严格问题的平凡解)。金宝搏官方网站为了计算一个非平凡的李雅普诺夫矩阵,并且容易区分可行性和非可行性,替换约束P> 0 -P>α我α > 0。注意,这并不会因为问题的同质性而改变问题。
gevp问题中的半定B(x)
考虑广义特征值最小化问题
最小化λ受
一个(x) <λB(x),B(x) > 0,C(x) < 0。
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技术上来说,积极的B(x)对于一些x∊Rn为使问题的适定性和多项式时间内点方法的适用性所必需的。因此问题的地方
与B1(x) > 0严格可行,不能直接用gevp.一个简单的补救方法是替换约束
一个(x) <B (x)),B(x) > 0
通过
在哪里Y是一个额外的固有维对称变量。由此得到的问题等价于方程3可以直接用gevp.
效率和复杂性问题
在解释指定和解决LMIs的工具, LMI实验室中使用的面向术语的LMI描述通常比规范表示的效率更高
一个0+x1一个1+……+xN一个N< 0.
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然而,当变量项的数目几乎等于或大于这个数目时,就不再是这样了N问题中的决策变量。如果你的LMI问题有几个自由标量变量,但每个LMI有很多项,那么最好将它重写为方程4用这种形式来表示。每个标量变量xj,然后独立声明,LMI条款的形式是xj一个j.
如果米表示LMI系统的总行大小N的标量决策变量的总数,每次迭代的失败计数feasp和mincx解是成比例的
而理论保证最坏情况的迭代计数与米,实际执行的迭代数量增长缓慢米在大多数的问题。最后,虽然feasp和mincx在复杂性上是相当的,gevp通常需要更多的计算工作。确保你的LMI问题不能被解决mincx使用前gevp.
解M + PTXQ +问TXTP < 0
在许多输出反馈综合问题中,设计可分为两个步骤:
通过LMI优化计算闭环李雅普诺夫函数。
给定这个李雅普诺夫函数,通过求解这种形式的LMI,得到控制器状态空间矩阵
在哪里米,P,问是给定的矩阵X是一个非结构化米——- - - - - -n矩阵变量。
结果是一个特解Xc方程5可以通过简单的线性代数操作来计算[1].通常情况下,XC对应的是由定义的矩阵椭球中心方程5.
这个函数basiclmi返回“显式”解决方案Xc:
由于这个中心解决方案有时有很大的范数,basiclmi也提供了计算近似最小范数解的选项方程5.这是由
X = basiclmi (M, P, Q, Xmin)
涉及到LMI优化,以最小化∥X∥。