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二次约束转化为二阶锥约束

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这个例子展示了如何将二次约束转换为二阶锥约束形式。二次约束有这样的形式

x T 问 x + 2 问 T x + c ≤ 0 ．

二阶锥规划具有这种形式的约束

‖ 一个 年代 c （ 我 ） ⋅ x - b 年代 c （ 我 ） ‖ ≤ d 年代 c （ 我 ） ⋅ x - γ （ 我 ） ．

矩阵 问 必须是对称的和正半定的你转换二次约束。让 年代 的平方根 问 ,这意味着 问 ＝ 年代 ＊ 年代 ＝ 年代 T ＊ 年代 ．你可以计算 年代 使用sqrtm．假设有一个解 b 这个方程 年代 T b ＝ - - - - - - 问 ，这总是正确的 问 是正定的。计算 b 使用b = -S\q．

x T 问 x + 2 问 T x + c ＝ x T 年代 T 年代 x - 2 （ 年代 T b ） T x + c ＝ （ 年代 x - b ） T （ 年代 x - b ） - b T b + c ＝ ‖ 年代 x - b ‖ 2 + c - b T b ．

因此,如果 b T b > c ，则二次约束等效于二阶圆锥约束

  • 一个 年代 c ＝ 年代

  • b 年代 c ＝ b

  • d 年代 c ＝ 0

  • γ ＝ - b T b - c

数值例子

指定一个五元素向量f表示目标函数 f T x ．

F = [1;-2;3;-4;5];

设置二次约束矩阵问作为一个5乘5的随机正定矩阵。集问为随机5元向量，取加性常数 c ＝ - 1 ．

rng默认的%用于再现性Q = randn(5) + 3*eye(5);Q = (Q + Q')/2;%使Q对称Q = randn(5,1);C = -1;

来创建的输入coneprog，创建矩阵年代的平方根问．

S = sqrtm(Q);

创建本例第一部分中指定的二阶锥约束的其余输入。

b = -S\q;D = 0(大小(b));Gamma = -√(b'*b-c);sc = secondordercone(S,b,d,gamma);

调用coneprog解决问题。

[x,fval] = coneprog(f,sc)
找到最优解。
x =5×1-0.7194 0.2669 -0.6309 0.2543 -0.0904
Fval = -4.6148

将此结果与通过使用fmincon．编写二次约束，如匿名非线性约束函数．

X0 = randn(5,1);% fmincon的初始点nlc = @(x)x'*Q*x + 2* Q '*x + c;Nlcon = @(x)deal(nlc(x)，[]);[xfmc, fvalfmc] = fmincon (@ * x, x0 f (x) ,[],[],[],[],[],[], nlcon)
找到满足约束条件的局部最小值。优化完成是因为目标函数在可行方向上不递减，在最优性容差值范围内，约束条件满足在约束容差值范围内。
xfmc =5×1-0.7196 0.2672 -0.6312 0.2541 -0.0902
Fvalfmc = -4.6148

这两个解几乎完全金宝搏官方网站相同。

另请参阅

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