5行5列のパスカル行列のqr分解を求めます。1 .の出力引数を指定して，上三角因子のみを返します。

A = pascal(5);X = qr(A)

X =5×5-2.2361 -6.7082 -15.6525 -31.3050 -56.3489 0.3090 3.1623 11.0680 26.5631 53.1263 0.3090 -0.1744 1.8708 7.4833 19.2428 0.3090 -0.4565 0.3548 0.6325 2.8460 0.3090 -0.7387 -0.0281 -0.7490 -0.1195

Xから上三角因子Rを抽出します。

R = triu(X)

R =5×5-2.2361 -6.7082 -15.6525 -31.3050 -56.3489 0 3.1623 11.0680 26.5631 53.1263 0 0 1.8708 7.4833 19.2428 0 0 0 0 0.6325 2.8460 0 0 0 0 0 0 -0.1195

Q-less QR分解のRを完全なqr分解のR因子と比較します。

[Q1,R1] = qr(A)

Q1 =5×5-0.4472 -0.6325 0.5345 -0.3162 -0.1195 -0.4472 -0.3162 -0.2673 0.6325 0.4781 -0.4472 0.0000 -0.5345 -0.0000 -0.7171 -0.4472 0.3162 -0.2673 -0.6325 0.4781 -0.4472 0.5345 0.3162 -0.1195

R1 =5×5-2.2361 -6.7082 -15.6525 -31.3050 -56.3489 0 3.1623 11.0680 26.5631 53.1263 0 0 1.8708 7.4833 19.2428 0 0 0 0 0.6325 2.8460 0 0 0 0 0 0 -0.1195

2の出力引数を指定して，。

A =魔术(5);[Q,R] = R (A)

Q =5×5-0.5234 0.5058 0.6735 -0.1215 -0.0441 -0.7081 -0.6966 -0.0177 0.0815 -0.0800 -0.1231 0.1367 -0.3558 -0.6307 -0.6646 -0.3079 0.1911 -0.4122 -0.4247 0.7200 -0.3387 0.4514 -0.4996 0.6328 -0.1774

R =5×5-32.4808 -26.6311 -21.3973 -23.7063 -25.8615 0 19.8943 12.3234 1.9439 4.0856 00 -24.3985 -11.6316 -3.7415 000 -20.0982 -9.9739 000 0 -16.0005

マシンの精度内で $\mathit{一个}＝\mathrm{QR}$であることを検証します。

规范(q * R)

Ans = 9.5562e-15

3の出力引数を指定し，qr分解のR因子の非ゼロ要素を減らす置換行列または置換ベクトルを返します。

スパ，ス行列west0479のqr分解を計算します。3 .の出力を指定し， $\mathrm{美联社}＝\mathrm{QR}$を満たす置換行列を返します。

负载west0479A = west0479;[Q,R,P] = qr(A);

置換行列Pにいて，マシンの精度内でA* p = q * rであることを検証します。

规范(* p q * R,“摇来摇去”）

Ans = 3.5451e-10

次に，“向量”オプションを指定してpを置換ベクトルとして返します。

[Q,R,p] = Q (A, c, c, c, c, c, c, c, c, c, c)“向量”）;

置換行列pにいて，マシンの精度内でA(:，p) = Q*Rであることを検証します。

范数(A(:，p) - Q*R，“摇来摇去”）

Ans = 3.5451e-10

分解に置換行列または置換ベクトルを使用すると，置換されていない分解に比べて，スパ，ス入力に対するR因子の非ゼロ要素が少なくなります。

[Q1,R1] = qr(A);间谍(R1)

间谍(右)

この結果は，置換された分解によりR因子の非ゼロ要素が大幅に少なくなることを示しています。

係数行列のエコノミサズqr分解を使用して，線形システム $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$を解きます。

魔法(10)の最初の5列を使用して，10行5列の係数行列を作成します。線形方程式 $\mathrm{斧头}＝\mathit{b}$の右辺には，行列の行の和を使用します。この設定では，方程式 $\mathit{x}$の解は1のベクトルになるはずです。

A =魔术(10);A = A(:，1:5)

一个=10×592 99 18 15 98 80 7 14 16 4 81 88 20 22 85 87 19 21 3 86 93 25 2 9 17 24 76 83 90 23 5 82 89 91 79 6 13 95 97 10 12 94 96 78 11 18 100 77 84

b = sum(A,2)

b =10×1215 215 215 215 215 215 290 290 290 290 290 290 290

一个のエコノミサズのqr分解を計算します。次に，x(p，:) = R\(Q\b)で線形システム $\mathrm{QRx}＝\mathit{b}$を解きます。问は直交行列であるため，この方程式はx(p，:) = R\(Q'*b)と同じになります。

[Q,R,p] = qr(A,0)

Q =10×5-0.0050 -0.4775 -0.0504 0.5193 0.0399 -0.0349 -0.5001 -0.0990 -0.1954 -0.2006 -0.4384 0.1059 -0.4660 0.4464 0.0628 -0.0947 -0.4151 -0.2923 -0.2542 0.5274 -0.1246 -0.4117 -0.2812 -0.1326 -0.4130 -0.3787 0.0209 0.2702 0.4697 0.0390 -0.4085 -0.0017 0.2217 -0.2450 -0.2015 -0.0648 -0.3925 0.6939 0.0669 0.1225 -0.4683 0.0833 0.0283 -0.3038 0.5265 -0.4982 0.0867 0.0394 -0.1822 -0.4138

R =5×5-200.7112 -55.5026 -167.6040 -84.7237 -168.7997 0 -192.1053 -40.3557 -152.4040 -39.2814 00 101.3180 -89.4254 96.0172 00 0 41.0248 -14.9083 00 00 0 24.6386

p =1×53 1 5 2 4

x(p，:) = R\(Q\b)

x =5×11.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Rの対角の片対数プロットを作成し，置換された分解によって，abs(诊断接头(R))が減少するr因子が生成されることを確認します。比較のため，同じプロット内に一个の特異値をプロットします。実際には，Rの対角値は一个の特異値と似た振る舞いをします。そのため，Rの対角値は，行列一个がどの程度特異行列に近いかを判断する尺度として使用できます。

semilogy (abs(诊断接头(R)),“o”)举行在semilogy计算(一)“r-o”)传说(“R的对角线”，A的奇异值）

スパ，ス線形システムを解き，その結果から年代の列空間内にあるベクトルbの量を確認します。

10%の密度と1のベクトルを使用して,ランダムな500行20列のスパース行列を作成します。qrを使用して，行列を因子RとC = Q'*bに因数分解します。

S = sprand(500,20,0.1);B = ones(500,1);[C,R] = qr(S,b,0);

結果を使用して，x = R\Cで $\mathrm{Sx}＝\mathit{b}$を解きます。

x = R\C;

恒等式 ${为\mathit{b}为}^2＝{为\mathrm{Sx}-\mathit{b}为}^2+{为\mathit{C}为}^2$にいて考えます。

両辺をbのノルムで除算すると，年代の列空間内にあるbの量を示す新しい恒等式が得られます。

$\frac{{为\mathrm{Sx}-\mathit{b}为}^2}{{为\mathit{b}为}^2}+\frac{{为\mathit{C}为}^2}{{为\mathit{b}为}^2}＝1$

1番目の項は年代の列空間内に“ない”bの量を示し，2番目の項は年代の列空間内に“ある”bの量を示します。

t1 =范数(S*x-b)²/范数(b)²

T1 = 0.4000

t2 =范数(C)²/范数(b)²

T2 = 0.6000

qrを使用して，行列方程式 $\mathrm{Sx}＝\mathit{B}$を方形スパ，ス係数行列 $\mathit{年代}$で解きます。

スパ，ス行列west0479を読み込み，最初の200列を線形システムの方形係数行列として使用します。方程式の右辺に $\mathit{年代}$の行の和を使用します。この設定では， $\mathrm{Sx}＝\mathit{B}$の解は1のベクトルになります。

负载west0479S = west0479(:，1:200);B = sum(S,2);

2qrを使用して， $\mathrm{Sx}＝\mathit{B}$を解きます。線形システムの解はx = P*(R\C)になります。

[C,R,P] = qr(S,B);x = P*(R\C);

マシンの精度内で $\mathrm{Sx}-\mathit{B}＝0$であることを検証します。

规范(S *取向)

Ans = 9.17003 -11

メモ:上三角因子Rと置換行列Pを計算するが，直交行列问(多くの場合，qrの呼び出しで最も計算量が多い部分)の計算は行わないというときには，Bを空行列として指定します。

emptyB = 0 (size(S,1)，0);[~，R,P] = qr(S,emptyB);