高斯-拉盖尔积分点和权值

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这个例子展示了如何求解多项式方程和方程组，并使用符号数学工具箱™处理结果。

高斯求积规则用和来近似积分 $\int_{一个}^{b} f （ t ） w （ t ） d t \approx \sum_{我＝ 1}^{n} f （ x_{我} ） α_{我}$ ．在这里, $x_{我}$ 而且 $α_{我}$ 方法的参数，取决于 $n$ 但不是在 $f$ ．它们来自于权函数的选择 $w （ t ）$ ，如下。与权函数相关的是一组正交多项式。多项式的根是求值点 $x_{我}$ ．最后，重量 $α_{我}$ 确定了该方法适用于小次多项式的条件。考虑权重函数 $w （ t ）＝经验值（ - t ）$ 在间隔中 $［ 0 ， \infty ］$ ．这种情况被称为高斯-拉盖尔正交。

信谊tN = 4;W (t) = exp(-t);

假设你知道第一个 $n$ 正交多项式族的成员。在考虑正交法则的情况下，它们变成了拉盖尔多项式。

F = laguerreL(0:n-1, t)

F =
                 
                   $（ \begin{array}{c} 1 & 1 - t & \frac{t^{2}}{2} - 2 t + 1 & - \frac{t^{3.}}{6} + \frac{3. t^{2}}{2} - 3. t + 1 \end{array} ）$

让l是 $n + 1$ St多项式，它的系数还有待确定。

X = sym(“X”， [1, n+1])

X =
                  $（ \begin{array}{c} X_{1} & X_{2} & X_{3.} & X_{4} & X_{5} \end{array} ）$

L = poly2sym(X, t)

L =
                  $X_{1} t^{4} + X_{2} t^{3.} + X_{3.} t^{2} + X_{4} t + X_{5}$

表示拉盖尔多项式之间的正交关系F而且l在方程组中sys．

sys = [int(f (l) *w(t)， t, 0, inf) == 0]

sys =
                  $（ \begin{array}{c} 24 X_{1} + 6 X_{2} + 2 X_{3.} + X_{4} + X_{5} ＝ 0 & - 96 X_{1} - 18 X_{2} - 4 X_{3.} - X_{4} ＝ 0 & 144 X_{1} + 18 X_{2} + 2 X_{3.} ＝ 0 & - 96 X_{1} - 6 X_{2} ＝ 0 \end{array} ）$

加上多项式的模为1的条件。

sys = [sys, int(L^2.*w(t)， 0, inf) == 1]

sys =
                  $（ \begin{array}{c} 24 X_{1} + 6 X_{2} + 2 X_{3.} + X_{4} + X_{5} ＝ 0 & - 96 X_{1} - 18 X_{2} - 4 X_{3.} - X_{4} ＝ 0 & 144 X_{1} + 18 X_{2} + 2 X_{3.} ＝ 0 & - 96 X_{1} - 6 X_{2} ＝ 0 & 40320 {X_{1}}^{2} + 10080 X_{1} X_{2} + 1440 X_{1} X_{3.} + 240 X_{1} X_{4} + 48 X_{1} X_{5} + 720 {X_{2}}^{2} + 240 X_{2} X_{3.} + 48 X_{2} X_{4} + 12 X_{2} X_{5} + 24 {X_{3.}}^{2} + 12 X_{3.} X_{4} + 4 X_{3.} X_{5} + 2 {X_{4}}^{2} + 2 X_{4} X_{5} + {X_{5}}^{2} ＝ 1 \end{array} ）$

解出的系数l．

S = solve(sys, X)

S =带字段的结构:X1: [2x1 sym] X2: [2x1 sym] X3: [2x1 sym] X4: [2x1 sym] X5: [2x1 sym]

解决在结构数组中返回两个解。金宝搏官方网站显示解决方案。金宝搏官方网站

structfun (@display S)

ans =
                 
                   $（ \begin{array}{c} - \frac{1}{24} \\ \frac{1}{24} \end{array} ）$

ans =
                 
                   $（ \begin{array}{c} \frac{2}{3.} \\ - \frac{2}{3.} \end{array} ）$

ans =
                 
                   $（ \begin{array}{c} - 3. \\ 3. \end{array} ）$

ans =
                 
                   $（ \begin{array}{c} 4 \\ - 4 \end{array} ）$

ans =
                 
                   $（ \begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array} ）$

通过附加第一个系数为正的条件使解唯一:

sys = [sys, X(1)>0];S = solve(sys, X)

S =带字段的结构:X1: 1/24 x2: -2/3 x3: 3 x4: -4 x5: 1

将溶液代入l．

L = subs(L, S)

L =
                 
                   $\frac{t^{4}}{24} - \frac{2 t^{3.}}{3.} + 3. t^{2} - 4 t + 1$

正如预期的那样，这个多项式是|n|次拉盖尔多项式:

laguerreL (n, t)

ans =
                 
                   $\frac{t^{4}}{24} - \frac{2 t^{3.}}{3.} + 3. t^{2} - 4 t + 1$

评价要点 $x_{我}$ 是多项式的根吗l．解决l对于评估点。根用根函数。

x = solve(L)

x =
                 
                   $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} 根 （ σ_{1} ， z ， 1 ） \\ 根 （ σ_{1} ， z ， 2 ） \\ 根 （ σ_{1} ， z ， 3. ） \\ 根 （ σ_{1} ， z ， 4 ） \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 \end{array}$

解决方案的形式可能表明什么都没有金宝搏官方网站实现，但是可以对它们进行各种操作。计算浮点近似使用vpa：

vpa (x)

ans =
                 
                   $（ \begin{array}{c} 0.32254768961939231180036145910437 \\ 1.7457611011583465756868167125179 \\ 4.5366202969211279832792853849571 \\ 9.3950709123011331292335364434205 \end{array} ）$

可能会出现一些虚假的虚构部分。象征性地证明根是实数:

总(在(x,“真实”的）)

ans =4x1逻辑阵列1 1 1 1

对于阶数小于或等于4的多项式，可以使用MaxDegree以嵌套根号的形式而不是金宝搏官方网站根．然而，对这种形式的结果的后续操作将是缓慢的。

xradical = solve(L，“MaxDegree”4)

xradical =
                 
                   $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} 4 - σ_{1} - σ_{3.} \\ 4 + σ_{1} - σ_{3.} \\ σ_{3.} - σ_{2} + 4 \\ σ_{3.} + σ_{2} + 4 \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ \frac{\sqrt{96 σ_{6} σ_{4} - 3. σ_{5} σ_{4} - 288 σ_{4} - 512 \sqrt{3.} \sqrt{6} \sqrt{6 + \sqrt{3.} \sqrt{6} 我}}}{2 {(768 + 128 \sqrt{3.} \sqrt{6} 我)}^{1 / 6} {(144 σ_{6} + 9 σ_{5} + 864)}^{1 / 4}} \\ σ_{2} ＝ \frac{\sqrt{96 σ_{6} σ_{4} - 3. σ_{5} σ_{4} - 288 σ_{4} + 512 \sqrt{3.} \sqrt{6} \sqrt{6 + \sqrt{3.} \sqrt{6} 我}}}{2 {(768 + 128 \sqrt{3.} \sqrt{6} 我)}^{1 / 6} {(144 σ_{6} + 9 σ_{5} + 864)}^{1 / 4}} \\ σ_{3.} ＝ \frac{σ_{4}}{2 {(768 + 128 \sqrt{3.} \sqrt{6} 我)}^{1 / 6}} \\ σ_{4} ＝ \sqrt{16 σ_{6} + σ_{5} + 96} \\ σ_{5} ＝ {(768 + 128 \sqrt{3.} \sqrt{6} 我)}^{2 / 3.} \\ σ_{6} ＝ {(768 + 128 \sqrt{3.} \sqrt{6} 我)}^{1 / 3.} \end{array}$

权重 $α_{我}$ 是由以下条件给出的对于次小于 $n$ ，求积法则必须产生精确的结果。如果这对这些多项式的向量空间的一组基成立是充分的。这个条件导致了一个由四个变量的四个方程组成的方程组。

Y = sym(“y”， [n, 1]);Sys = sym(零(n));为k = 0: n - 1系统(k + 1) =总和(y。* ^ k) (x) = = int (t ^ k * w (t), t, 0,正);结束sys

sys =
                 
                   $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} y_{1} + y_{2} + y_{3.} + y_{4} ＝ 1 & 0 & 0 & 0 \\ y_{1} 根 （ σ_{1} ， z ， 1 ） + y_{2} 根 （ σ_{1} ， z ， 2 ） + y_{3.} 根 （ σ_{1} ， z ， 3. ） + y_{4} 根 （ σ_{1} ， z ， 4 ） ＝ 1 & 0 & 0 & 0 \\ y_{1} {根 （ σ_{1} ， z ， 1 ）}^{2} + y_{2} {根 （ σ_{1} ， z ， 2 ）}^{2} + y_{3.} {根 （ σ_{1} ， z ， 3. ）}^{2} + y_{4} {根 （ σ_{1} ， z ， 4 ）}^{2} ＝ 2 & 0 & 0 & 0 \\ y_{1} {根 （ σ_{1} ， z ， 1 ）}^{3.} + y_{2} {根 （ σ_{1} ， z ， 2 ）}^{3.} + y_{3.} {根 （ σ_{1} ， z ， 3. ）}^{3.} + y_{4} {根 （ σ_{1} ， z ， 4 ）}^{3.} ＝ 6 & 0 & 0 & 0 \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 \end{array}$

从数值和符号两方面求解方程组。解就是期望的权重向量 $α_{我}$ ．

[a1, a2, a3, a4] = vpasolve(sys, y)

a1 =
                  $0.60315410434163360163596602381808$

a2 =
                  $0.35741869243779968664149201745809$

a3 =
                  $0.03888790851500538427243816815621$

a4 =
                  $0.00053929470556132745010379056762059$

[alpha1, alpha2, alpha3, alpha4] = solve(sys, y)

α1 =
                 
                   $\begin{array}{l} - \frac{σ_{3.} σ_{2} + σ_{3.} σ_{1} + σ_{2} σ_{1} - σ_{3.} σ_{2} σ_{1} - 2 σ_{3.} - 2 σ_{2} - 2 σ_{1} + 6}{(σ_{4} - σ_{3.}) (σ_{4} σ_{2} + σ_{4} σ_{1} - σ_{2} σ_{1} - {σ_{4}}^{2})} \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ 根 （ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 ， z ， 4 ） \\ σ_{2} ＝ 根 （ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 ， z ， 3. ） \\ σ_{3.} ＝ 根 （ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 ， z ， 2 ） \\ σ_{4} ＝ 根 （ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 ， z ， 1 ） \end{array}$

alpha2 =
                 
                   $\begin{array}{l} \frac{根 （ σ_{1} ， z ， 1 ） 根 （ σ_{1} ， z ， 3. ） + 根 （ σ_{1} ， z ， 1 ） 根 （ σ_{1} ， z ， 4 ） + 根 （ σ_{1} ， z ， 3. ） 根 （ σ_{1} ， z ， 4 ） - 根 （ σ_{1} ， z ， 1 ） 根 （ σ_{1} ， z ， 3. ） 根 （ σ_{1} ， z ， 4 ） - 2 根 （ σ_{1} ， z ， 1 ） - 2 根 （ σ_{1} ， z ， 3. ） - 2 根 （ σ_{1} ， z ， 4 ） + 6}{(根 （ σ_{1} ， z ， 2 ） - 根 （ σ_{1} ， z ， 1 ）) (根 （ σ_{1} ， z ， 2 ） - 根 （ σ_{1} ， z ， 3. ）) (根 （ σ_{1} ， z ， 2 ） - 根 （ σ_{1} ， z ， 4 ）)} \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 \end{array}$

alpha3 =
                 
                   $\begin{array}{l} \frac{σ_{3.} σ_{2} + σ_{3.} σ_{1} + σ_{2} σ_{1} - σ_{3.} σ_{2} σ_{1} - 2 σ_{3.} - 2 σ_{2} - 2 σ_{1} + 6}{(σ_{4} - σ_{1}) (σ_{3.} σ_{2} - σ_{3.} σ_{4} - σ_{2} σ_{4} + {σ_{4}}^{2})} \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ 根 （ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 ， z ， 4 ） \\ σ_{2} ＝ 根 （ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 ， z ， 2 ） \\ σ_{3.} ＝ 根 （ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 ， z ， 1 ） \\ σ_{4} ＝ 根 （ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 ， z ， 3. ） \end{array}$

alpha4 =
                 
                   $\begin{array}{l} - \frac{σ_{3.} σ_{2} + σ_{3.} σ_{1} + σ_{2} σ_{1} - σ_{3.} σ_{2} σ_{1} - 2 σ_{3.} - 2 σ_{2} - 2 σ_{1} + 6}{{σ_{4}}^{2} σ_{3.} + {σ_{4}}^{2} σ_{2} + {σ_{4}}^{2} σ_{1} - {σ_{4}}^{3.} + σ_{3.} σ_{2} σ_{1} - σ_{3.} σ_{2} σ_{4} - σ_{3.} σ_{1} σ_{4} - σ_{2} σ_{1} σ_{4}} \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ 根 （ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 ， z ， 3. ） \\ σ_{2} ＝ 根 （ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 ， z ， 2 ） \\ σ_{3.} ＝ 根 （ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 ， z ， 1 ） \\ σ_{4} ＝ 根 （ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 ， z ， 4 ） \end{array}$

或者，您也可以通过只给出一个输出参数，以结构形式获得解决方案。

S = solve(sys, y)

S =带字段的结构:日元:-(根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3 + 72 * z ^ 2 - 96 * z + 24, z, 2) *根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3…y2:(根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3 + 72 * z ^ 2 - 96 * z + 24, z, 1) *根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3…y3:(根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3 + 72 * z ^ 2 - 96 * z + 24, z, 1) *根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3…y4: -(根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3 + 72 * z ^ 2 - 96 * z + 24, z, 1) *根(z z ^ ^ 4 - 16 * 3…

structfun (@double S)

ans =4×10.6032 0.3574 0.0389 0.0005

转换结构年代到一个符号数组:

Scell = struct2cell(S);alpha =转置([Scell{:}])

α=
                 
                   $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} - \frac{σ_{3.} + σ_{15} + σ_{2} - σ_{6} - σ_{12} - σ_{11} - σ_{10} + 6}{(根 （ σ_{16} ， z ， 1 ） - 根 （ σ_{16} ， z ， 2 ）) (σ_{1} + σ_{4} - σ_{2} - {根 （ σ_{16} ， z ， 1 ）}^{2})} \\ \frac{σ_{1} + σ_{4} + σ_{2} - σ_{7} - σ_{13} - σ_{11} - σ_{10} + 6}{(根 （ σ_{16} ， z ， 2 ） - 根 （ σ_{16} ， z ， 1 ）) (根 （ σ_{16} ， z ， 2 ） - 根 （ σ_{16} ， z ， 3. ）) (根 （ σ_{16} ， z ， 2 ） - 根 （ σ_{16} ， z ， 4 ）)} \\ \frac{σ_{5} + σ_{4} + σ_{15} - σ_{8} - σ_{13} - σ_{12} - σ_{10} + 6}{(根 （ σ_{16} ， z ， 3. ） - 根 （ σ_{16} ， z ， 4 ）) (σ_{5} - σ_{1} - σ_{3.} + {根 （ σ_{16} ， z ， 3. ）}^{2})} \\ - \frac{σ_{5} + σ_{1} + σ_{3.} - σ_{9} - σ_{13} - σ_{12} - σ_{11} + 6}{σ_{14} 根 （ σ_{16} ， z ， 1 ） + σ_{14} 根 （ σ_{16} ， z ， 2 ） + σ_{14} 根 （ σ_{16} ， z ， 3. ） - {根 （ σ_{16} ， z ， 4 ）}^{3.} + σ_{9} - σ_{8} - σ_{7} - σ_{6}} \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ 根 （ σ_{16} ， z ， 1 ） 根 （ σ_{16} ， z ， 3. ） \\ σ_{2} ＝ 根 （ σ_{16} ， z ， 3. ） 根 （ σ_{16} ， z ， 4 ） \\ σ_{3.} ＝ 根 （ σ_{16} ， z ， 2 ） 根 （ σ_{16} ， z ， 3. ） \\ σ_{4} ＝ 根 （ σ_{16} ， z ， 1 ） 根 （ σ_{16} ， z ， 4 ） \\ σ_{5} ＝ 根 （ σ_{16} ， z ， 1 ） 根 （ σ_{16} ， z ， 2 ） \\ σ_{6} ＝ 根 （ σ_{16} ， z ， 2 ） 根 （ σ_{16} ， z ， 3. ） 根 （ σ_{16} ， z ， 4 ） \\ σ_{7} ＝ 根 （ σ_{16} ， z ， 1 ） 根 （ σ_{16} ， z ， 3. ） 根 （ σ_{16} ， z ， 4 ） \\ σ_{8} ＝ 根 （ σ_{16} ， z ， 1 ） 根 （ σ_{16} ， z ， 2 ） 根 （ σ_{16} ， z ， 4 ） \\ σ_{9} ＝ 根 （ σ_{16} ， z ， 1 ） 根 （ σ_{16} ， z ， 2 ） 根 （ σ_{16} ， z ， 3. ） \\ σ_{10} ＝ 2 根 （ σ_{16} ， z ， 4 ） \\ σ_{11} ＝ 2 根 （ σ_{16} ， z ， 3. ） \\ σ_{12} ＝ 2 根 （ σ_{16} ， z ， 2 ） \\ σ_{13} ＝ 2 根 （ σ_{16} ， z ， 1 ） \\ σ_{14} ＝ {根 （ σ_{16} ， z ， 4 ）}^{2} \\ σ_{15} ＝ 根 （ σ_{16} ， z ， 2 ） 根 （ σ_{16} ， z ， 4 ） \\ σ_{16} ＝ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 \end{array}$

象征性的解决方案看起来很复杂。化简它，并将其转换为浮点向量:

Alpha =化简(Alpha)

α=
                 
                   $\begin{array}{l} （ \begin{array}{c} \frac{{根 （ σ_{1} ， z ， 1 ）}^{2}}{72} - \frac{29 根 （ σ_{1} ， z ， 1 ）}{144} + \frac{2}{3.} \\ \frac{{根 （ σ_{1} ， z ， 2 ）}^{2}}{72} - \frac{29 根 （ σ_{1} ， z ， 2 ）}{144} + \frac{2}{3.} \\ \frac{{根 （ σ_{1} ， z ， 3. ）}^{2}}{72} - \frac{29 根 （ σ_{1} ， z ， 3. ）}{144} + \frac{2}{3.} \\ \frac{{根 （ σ_{1} ， z ， 4 ）}^{2}}{72} - \frac{29 根 （ σ_{1} ， z ， 4 ）}{144} + \frac{2}{3.} \end{array} ） \\ 在哪里 \\ σ_{1} ＝ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 \end{array}$

vpa(α)

ans =
                 
                   $（ \begin{array}{c} 0.60315410434163360163596602381808 \\ 0.35741869243779968664149201745809 \\ 0.03888790851500538427243816815621 \\ 0.00053929470556132745010379056762059 \end{array} ）$

通过替换根的出现来增加可读性x在α缩写:

Subs (α， x, sym(“R”， [4, 1]))

ans =
                 
                   $（ \begin{array}{c} \frac{{R_{1}}^{2}}{72} - \frac{29 R_{1}}{144} + \frac{2}{3.} \\ \frac{{R_{2}}^{2}}{72} - \frac{29 R_{2}}{144} + \frac{2}{3.} \\ \frac{{R_{3.}}^{2}}{72} - \frac{29 R_{3.}}{144} + \frac{2}{3.} \\ \frac{{R_{4}}^{2}}{72} - \frac{29 R_{4}}{144} + \frac{2}{3.} \end{array} ）$

对权重求和，使它们的和等于1:

简化(sum(α))

ans =
                  $1$

获得正交规则权重的另一种方法是使用公式计算它们 $α_{我} ＝ \int_{一个}^{b} w （ t ） \prod_{j \neq 我} \frac{t - x_{j}}{x_{我} - x_{j}} d t$ ．这样做是为了 $我＝ 1$ ．它的结果与另一种方法相同:

int (w (t) * prod (t - x(2:4)。/ (x (1) - x (2:4))), t, 0,正)

ans =
                 
                   $\frac{{根 （ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 ， z ， 1 ）}^{2}}{72} - \frac{29 根 （ z^{4} - 16 z^{3.} + 72 z^{2} - 96 z + 24 ， z ， 1 ）}{144} + \frac{2}{3.}$

正交法则甚至对所有次小于或等于的多项式产生精确的结果 $2 n - 1$ ，但不是为了 $t^{2 n}$ ．

简化(总和(α。* (x) ^ (2 * n - 1))) int (t ^ 2 * n - 1) * w (t), t, 0,正))

ans =
                  $0$

简化(总和(α。* (x) ^ (2 * n))) int (t ^ (2 * n) * w (t), t, 0,正))

ans =
                  $- 576$

将求积法则应用于余弦，并与精确的结果进行比较:

vpa(总和(α。* (cos (x))))

ans =
                  $0.50249370546067059229918484198931$

Int (cos(t)*w(t)， t, 0，无穷)

ans =
                 
                   $\frac{1}{2}$

对于余弦的次幂，误差在奇次和偶次之间振荡:

误差= 0 (1,20);为k = 1:20错误(k) =双(总和(α。* (cos (x)。^ k)) int (cos (t) ^ k * w (t), t, 0,正));结束情节(真实的(错误)

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个line类型的对象。