从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,美国麻省理工学院(MIT)
线性方程组,该溶液F =COS(ωŤ)是溶液的实部F =Èiωt。这种复杂的解决方案具有幅度G(增益)。
如此复杂的数字是要来在今天的视频,让我告诉你为什么。所以,我要解决的问题。微分方程我们知道 - 一阶,线性与源术语,但现在的源项既具有余弦和正弦。和正弦波,您会注意到,有参与减1的这个虚构的平方根。所以,我会打电话给一个小C此Ÿ复杂的,因为答案是走出来一个复数而不是实数。所以一讲与余弦解决了它,而现在我们将与该组合来解决它,你可能想知道为什么。
其原因是,欧拉离开该一个角的余弦加了i次的正弦等于角度的指数,例如到第i欧米加吨美妙式后面。而关于is--我们前面看到的exponentials--当源项是指数溶液中很大一部分是指数。所以我找的这个与同一封解决了我的ωT,并得到了一些因素的资本Ÿ,我们必须找到。我们发现,通过代入方程这个,然后我们认识一下这个资本Y是。
因此,让我把在该衍生物左侧,is--所以这是仍然将是我们的复杂的解决方案。它仍然是复杂的。所以我把入公式这一点。导数将是我omega--当然,衍生指数的下跌带来的数量在那里,不管它是什么。我的ωÿe将我的ω吨。这就是我们得到的衍生物,这一点,现在应该等于一个时代的功能加上源,E到我欧米茄吨。正如我们有一个真正的,电子的ST,以前做现在的s是我的ω。而美是我们通过e划分的一切给我的ωT,然后我们得到一个简单的等式。我omega--带来一个对其他side--倍y是什么?好。 So y we now know is 1 over i omega minus a. It involves the frequency omega in the source term, and it involves the rate of growth, the constant, in the 0 order term. Good.
这是我们对资本γ表达,如果我提出,在这里,我有复杂的解决方案,但我的想法是用这个复杂的解决方案,以找到两个实solutions--这真是为什么I'm--这段视频是关于我们 -金宝搏官方网站- 使用这个复杂的源项找到两者是一个和正弦欧米茄t时的解决方案。金宝搏官方网站和诀窍be--做这将是我会take--这里是我的复杂的解决方案的方式。我要这个复杂的解决方案的实部。这将是结果。匹配的余弦值。这就是这个表情,我现在知道的实部,而这同样表达的虚部会给我正弦,输出,应对正弦项。
因此,要解决问题的一种方法,但有一个步骤,我不得不采取。如何找到这个表达式的实部?真正的部分是容易的,如果复数写有加兴业。真正的部分是一个。虚部是B,但我没有一个加方兴业。我把它以这种形式,在某种程度上,这是一个更好的形式。所以现在我必须想大约在......和y本身在分母这件事。所以,我可以通过看这个数字我omega--我欧米伽减去做法?这真是尴尬的数量,我要进入一个好的形式,并且要为复数形式,当你要乘他们是极坐标的形式。
我想把这个形式重新给我阿尔法。因此,一个正数,这个幅度和angle--所以我要画在复平面上。我想这是在这些讲座的第一次。因此,有实轴。这里的虚轴,这里是一个复杂的号码,我的ω减去。因此,在假想的方向,我欧米伽上去了,在现实的方向,我去减去。因此,这里是我的电话号码。这是达到我的欧米茄和回减去,有多少我OMEGA减去。且有角度α,和该长度是R。所以,我有这两件事情找到。 That's called putting the number into its polar form. This is its rectangular form, real, imaginary. This is its magnitude, and now what is the magnitude of that? Easy.
|与该侧高度直角三角形是欧米加。此方是减去。我用毕达哥拉斯知道这r是一个平方加上欧米茄平方的平方根。该长度squared--减号消失。该长度的平方,欧米茄squared--所以这就是河
那么,如何e将我阿尔法?什么是angle-- e将我阿尔法?我能说的最好的是我知道的角度是什么。我只能告诉你它的切线,但我只想把它作为阿尔法。Alpha是角度。这个角的正切将超过这个数字,这个数字。我会离开它的方式。所以这是一个关键的一步,用复数的第一步,并在以后的视频中,我们将完全致力于与复数工作。在这里你得到它先看看,或者你可能已经看到过。
所以,现在我由不得不鸿沟。这就是为什么我喜欢这种形式。通过它 - 除以所以现在我已经准备好for--我准备把我的复杂。ÿ络合物是这个Y,为1对i的ω减去,和e到第i欧米加吨。这就是我们所拥有的,但现在我欧米茄减去我们在这个更好的形式。我可以通过划分。如果我通过分裂,这将是1比平方根的平方加上欧米茄的平方乘以e将我alpha-- E要负我阿尔法。当我除以一个exponent--该exponent-- exponential--该指数的变化sign--倍e将我的ω吨。你是好与?因此这个数字生成这两个方面,幅值部分和角部的,然后这部分是纯粹的角度。 And that's my answer in a nicer form, and here is even better form. I combine these two. e to the i something times-- when I multiply two exponentials, I can put that as e to the i omega t minus alpha. You see that it has that factor e to the minus i alpha as well as the e to the i omega t.
现在,我已经准备好采取实部和虚部,这会给我我的两个solutions--我的两个真正的解决方案,以真正的方程式。金宝搏官方网站因此,采取实部,这就是为什么我会专注于实部T-- y为实从余弦来的原始y。欧米茄T的余弦是我从我曾在以前的演讲为正弦和余弦的组合重做的情况。现在,我们将看到更美丽。所以,我已经准备好采取的,真正的部分。
那么,这是一个真正的number-- 1比的平方加上欧米茄平方的平方根。什么是电子商务的时代我的实部的角度?e将我theta的实部theta的余弦值。实部是余弦。这就是使用Euler--总是使用欧拉。所以这是欧米茄倒计时阿尔法刚刚余弦,而这正是我们结束了与前一堂课更多的工作。该magnitude--这被称为增益。这是对于g一部分。这是G,增益。输入是余弦的大小尺寸之一。 It's increased or decreased by this factor, and then the cosine is still here. And alpha, you remember, is the time lag. The input is a pure cosine, but the output is a shifted cosine, which is also a combination of cosine and sine.
所以你已经使用复杂的numbers--也许是第一次,也许不是 - 得到很好的形式的答案。当然,如果输入的是欧米茄T的正弦,那么我将有同样的事情。这将是一个正弦波。所以,它是真正的身体重要的量是增益和相位滞后。好。所以这是第一次使用复数让我们回到一个指数,在此之后,解决方案很容易。我要terms--一些缓慢 - 更源,然后我会寻找那些适用于任何源项公式。谢谢。
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