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多变量和合理的花键

多变量样条

通过张量积构造,一元样条可以得到多元样条。例如,一个给出了b形的三变量样条

F X y Z. = σ. = 1 σ. V. = 1 V. σ. W. = 1 W. B. K. X B. V. L. y B. W. m Z. 一种 V. W.

B.英国,B.v,L.,B.W,M.单变量b样条。相应地,这个样条曲线是顺序的K.X,订单L.y,和订单mZ..类似地,张量 - 产品样条的ppffep由每个变量中的中断序列指定,并且对于由此指定的每个超矩形,一个系数阵列。此外,如在单变量的情况下,系数可以是向量,通常是2 - 向量或3载体,使得可以表示例如某些表面中的某些表面3.

一个非常不同的双变量样条曲线是薄板样条.这是表格的函数

F X = σ. j = 1 N - 3. ψ X - C j 一种 j + X 1 一种 N - 2 + X 2 一种 N - 1 + 一种 N

ψ(X) = |X|2日志|X|2薄板样条基函数,和|X|表示载体的欧几里德长度X.为方便起见,在这里表示独立变量X, 但X现在是A.向量谁的两个组件,X(1)和X(2)、发挥前面提到的两个自变量的作用Xy.相应地,这些网站Cj是ℜ2

薄板花键出现为一体化平滑样条函数,意味着薄板样条最小化

P. σ. 一世 = 1 N - 3. | y 一世 - F C 一世 2 | + 1 - P. | D. 1 D. 1 F | 2 + 2 | D. 1 D. 2 F | 2 + | D. 2 D. 2 F | 2

超过所有足够平滑的功能F.在这里,这是y一世是数据站点上给出的数据值C一世P.是平滑参数,和D.jF表示部分衍生物F关于Xj)。积分拍摄整个ℜ2.上总结限制,N-3,反映了薄板样条的3个自由度与其多项式部分相关的事实。

薄板样条在STFFORM中的功能,意味着最多的多项式术语,它们是一个固定函数的任意或散射的加权之和ψ(·-c)。这个所谓的薄板样条的基函数是特别的,因为它是径向对称的,这意味着ψ(X)只取决于欧几里德长度,|X|,X.因此,薄板样条也被称为rbfs或径向基功能。看构造和使用Stform样条了解更多信息。

理性的样条函数

一种合理的花键是表格的任何功能R.X)=S.X/W.X), 既S.W.花键,特别是W.标量值的样条,而S.通常是矢量值。

合理的花键是有吸引力的,因为可以描述各种基本几何形状,如圆锥形部分,完全作为合理样条的范围。例如,可以通过只有两件的二次合理样条来描述圆圈。

在此工具箱中,还有其他要求S.W.具有相同的形式,甚至相同的顺序,并具有相同的结或断顺序。这使得存储有理样条成为可能R.作为普通的样条曲线R.谁的价值X为向量[S.X);W.X)]。根据这两个样条是b型还是ppform,这样的表示在这里被称为rBform或这样的有理样条的rform。

很容易获得R.R..例如,如果V.是值的价值R.X, 然后v(1:结束-1)/ v(结束)是值的价值R.X.作为另一个例子,考虑到得到衍生物R.来自那些R..因为S.=WR.莱布尼茨法则告诉我们

D. m S. = σ. j = 0. m m j D. j W. D. m - j R.

在哪里D.mS.m衍生物S.

因此,如果v(:,j)包含D.j-1R.X),j= 1 ...m+ 1,然后

V. 1 结尾 - 1 m + 1 - σ. j = 1 m m j V. 结尾 j + 1 V. 1 结尾 - 1 j + 1 / V. 结尾 1

提供价值D.mR.X)。

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