平稳随机过程是许多计量时间序列模型的组成部分。然而,许多观测到的时间序列具有与平稳性假设不一致的经验特征。例如,下图显示的是1947年至2005年美国季度GDP的数据。在这个系列中有一个非常明显的上升趋势,我们应该将其纳入到该过程的任何模型中。
负载Data_GDP情节(数据)xlim([0234])标题(《美国季度GDP, 1947-2005》)
趋势平均值是一种常见的对平稳性的违背。对于具有趋势均值的非平稳序列,有两种流行的模型。
趋势平稳例平均趋势是确定的。一旦趋势被估计并从数据中去除,残差序列就是一个平稳的随机过程。
不同固定:平均趋势是随机的。差分系列D时间会产生一个平稳的随机过程。
确定性趋势和随机趋势之间的区别对过程的长期行为有重要的暗示:
具有确定性趋势的时间序列总是回归到长期趋势(冲击的影响最终被消除)。预报间隔的宽度是不变的。
具有随机趋势的时间序列永远不会从冲击中恢复到系统中(冲击的影响是永久性的)。预测区间会随着时间的推移而增长。
不幸的是,对于任何有限数量的数据,都有确定性和随机趋势同样适合数据(Hamilton, 1994)。单位根检验是一种工具,用于评估随机趋势的存在,在一个观察系列。
你可以写一个趋势平稳过程,yt,因为
地点:
是一个确定的平均趋势。
是均值为零的平稳随机过程。
在某些应用中,趋势是最重要的。时间序列分解方法着重于分解 分为不同的趋势来源(例如,长期趋势成分和季节成分)。您可以使用过滤器(移动平均)非参数分解序列,或使用回归方法参数分解序列。
给出一个估计 ,你可以探索残差级数 对于自相关,并可选地使用平稳随机过程模型对其建模。
在Box-Jenkins建模方法中[2],对非平稳时间序列进行差分,直到达到平稳。你可以写一个差分平稳过程,yt,因为
地点:
是一个Dth-degree差分算子。
是一个系数绝对可和且所有根位于单位圆外的无限次滞后算子多项式。
是一个不相关的创新过程,均值为零。
可以通过差分使之平稳的时间序列被称为集成流程。具体地说,当D差异是使一个序列静止所必需的,这个序列被称为静止序列集成的顺序D,表示我(D).过程与D≥1常被认为具有a单位根.
j·D·汉密尔顿时间序列分析.普林斯顿:普林斯顿大学出版社,1994。
[2] Box, G. E. P. G. M. Jenkins和G. C. Reinsel。时间序列分析:预测与控制.3版。恩格尔伍德悬崖,NJ: Prentice Hall, 1994。