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pchip

分段三次Hermite插值多项式(PCHIP)

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语法

p = pchip (x, y, xq)
页= pchip (x, y)

描述

例子

p= pchip (x，y，xq）返回一个包含插值值的向量p对应的查询点xq．的值p是由保持形状的分段三次插值的x和y．

例子

页= pchip (x，y）返回使用的分段多项式结构ppval以及样条函数unmkpp．

例子

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打开生活的脚本

比较产生的插值结果样条，pchip,makima对于两个不同的数据集。这些函数都执行不同形式的分段三次埃尔米特插值。每个函数计算插值函数斜率的方式都不同，当底层数据有平坦区域或波动区域时，会导致不同的行为。

比较连接平坦区域的样本数据的插值结果。创建向量x这些点上的函数值y、查询点xq．使用样条，pchip,makima．在查询点绘制内插函数值以进行比较。

x =三3;Y = [-1 -1 - 0 1 1 1];xq1 = 3: .01:3;p = pchip (x, y, xq1);s =花键(x, y, xq1);m = makima (x, y, xq1);情节(x, y,“o”xq1, p,“- - -”xq1年代,“-”。xq1, m,“——”)传说(采样点的，“pchip”，样条的，“makima”，“位置”，“东南”）

图中包含一个轴对象。轴对象包含4个类型为line的对象。这些对象代表样本点，pchip，样条，makima。

在这种情况下,pchip和makima有相似的行为，他们避免过冲，并能准确地连接平坦区域。

使用振荡样本函数进行第二次比较。

x = 0:15;y = besselj (1, x);xq2 = 0:0.01:15;p = pchip (x, y, xq2);s =花键(x, y, xq2);m = makima (x, y, xq2);情节(x, y,“o”xq2, p,“- - -”xq2年代,“-”。xq2, m,“——”)传说(采样点的，“pchip”，样条的，“makima”）

图中包含一个轴对象。轴对象包含4个类型为line的对象。这些对象代表样本点，pchip，样条，makima。

当基础函数是振荡的，样条和makima捕捉点之间的移动比pchip，它在局部极值附近急剧变平。

打开生活的脚本

创建向量x值和函数值y，然后使用pchip构造一个分段多项式结构。

x = 5;Y = [1 1 1 1 0 0 1 2 2 2];p = pchip (x, y);

使用结构ppval在几个查询点求插值值。策划的结果。

xq = 5:0.2:5;页= ppval (p, xq);情节(x, y,“o”xq, pp、“-”。) ylim ([-0.2 - 2.2])

图中包含一个轴对象。轴对象包含两个类型为line的对象。

输入参数

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采样点，指定为向量。向量x指定数据所在的点y是给定的。的元素x必须是唯一的。

数据类型:单|双

采样点上的函数值，指定为数字向量、矩阵或数组。x和y长度必须相同。

如果y是一个矩阵或数组，则最后一维中的值，y(::,…,j)，作为要匹配的值x．在这种情况下，最后一个维度y长度必须和x．

数据类型:单|双

查询点，指定为标量、向量、矩阵或数组。在xq是x-坐标的插值函数值yq计算pchip．

数据类型:单|双

输出参数

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查询点上的插值值，以标量、向量、矩阵或数组的形式返回。的大小p是否与尺寸有关y和xq：

  • 如果y是向量吗p有相同的尺寸xq．

  • 如果y数组是否有大小纽约=大小(y)，则适用以下条件:

    • 如果xq是标量还是向量大小(p)返回纽约(1:end-1)长度(xq)]．

    • 如果xq是一个数组吗大小(p)返回纽约(1:end-1)大小(xq)．

分段多项式，作为结构返回。在the中使用这个结构ppval函数对一个或多个查询点的插值多项式求值。结构有这些字段。

场 描述
形式

“页”为分段多项式
休息时间

向量的长度L + 1严格递增的元素表示每个的开始和结束l时间间隔
系数

l——- - - - - -k每一行的矩阵系数(我,:)含有一阶局部系数的k多项式的我th间隔,[休息(我),优惠(i + 1)
块

数量的碎片,l
订单

多项式的阶数
昏暗的

维度的目标

因为多项式系数系数是每个区间的局部系数，你必须减去对应的结区间的下端点才能使用传统多项式方程中的系数。换句话说，对于系数(a, b, c, d)的时间间隔(x1, x2)，对应的多项式是

f （ x ） ＝ 一个 （ x − x 1 ） 3. + b （ x − x 1 ） 2 + c （ x − x 1 ） + d ．

更多关于

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保持形状的分段三次插值

pchip使用分段三次多项式进行插值 P （ x ） 这些属性:

  • 在每个子区间 x k ≤ x ≤ x k + 1 的多项式 P （ x ） 是一个三次埃尔米特插值多项式，对给定的数据点具有指定的导数(斜率)插值点。

  • P （ x ） 篡改y,也就是说, P （ x j ） ＝ y j ，和一阶导数 d P d x 是连续的。二阶导数 d 2 P d x 2 大概不是连续的，所以跳在 x j 是有可能的。

  • 立方interpolant P （ x ） 是保持形状。斜坡在 x j 选择的方式是 P （ x ） 保持数据的形状，并尊重单调性。因此，在数据是单调的区间上，也是如此 P （ x ） ，在数据有局部极值的点上也有 P （ x ） ．

请注意

如果y是一个矩阵, P （ x ） 满足每一行的这些性质y．

提示

  • 样条构造 年代 （ x ） 以几乎相同的方式pchip构造 P （ x ） ．然而,样条选择斜率在 x j 不同的是，就是扯平 年代 ” （ x ） 连续的。这种差异有几个影响:

    • 样条产生一个平滑的结果，这样 年代 ” （ x ） 是连续的。

    • 样条如果数据包含平滑函数的值，则产生更准确的结果。

    • pchip如果数据不平滑，则无超调，振荡较小。

    • pchip更便宜的设置。

    • 这两种方法的计算成本是相同的。

参考文献

F. N.弗里奇和R. E.卡尔森。单调分段三次插值。数值分析学报．1980年第17卷，第238 - 246页。

卡哈纳，大卫，克利夫·莫勒，斯蒂芬·纳什。数值方法与软件．上鞍河，新泽西州:普伦蒂斯霍尔，1988。

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