主要内容

二次最小化，结构化的黑森

利用结构化的黑森州

这Quadprog信任区域反射方法可以解决黑森密集但结构结构的大问题。对于这些问题，Quadprog不计算h*y与黑森州H直接，就像稀疏的信任区域反射问题一样H，因为形成H将是记忆密集型的。相反，您必须提供Quadprog具有给定矩阵的函数y和有关的信息H，计算w=h*y。

在此示例中，Hessian矩阵H有结构h = b + a*a'在哪里b是一个稀疏的512 x-512对称矩阵，并且一个是由许多密集柱组成的512 x-10稀疏矩阵。为了避免通过使用的过度记忆使用情况H直接是因为H是密集的，该示例提供了Hessian倍增功能，QPBox4Mult。此功能，当通过矩阵时y，使用稀疏的矩阵一个和b计算Hessian Matrix产品w = h*y =（b + a*a'）*y。

在本示例的第一部分中，矩阵一个和b需要提供到Hessian倍增功能QPBox4Mult。您可以将一个矩阵作为第一个参数将Quadprog，将传递给Hessian倍增功能。您可以使用嵌套函数来提供第二矩阵的值。

示例的第二部分显示了如何拧紧TOLPCG公差以补偿近似预处理，而不是精确H矩阵。

步骤1：确定将H的哪一部分传递给QuadProg作为第一个参数。

任何一个一个或者b可以作为第一个论点传递给Quadprog。示例选择通过b作为第一个论点，因为这会导致更好的预处理（请参阅预处理）。

quadprog（b，f，[]，[]，[]，[]，[]，l，u，xstart，options）

步骤2：编写一个功能来计算H. Hessian-Matrix产品。下载188bet金宝搏

现在，定义一个函数runqpbox4那

  • 包含嵌套功能QPBox4Mult使用一个和b计算Hessian Matrix产品w， 在哪里w = h*y =（b + a*a'）*y。嵌套功能必须具有表单

    w = qpbox4mult（hinfo，y，...）

    前两个参数Hinfo和y是必须的。

  • 从qpbox4.mat。

  • 用途最佳选择设置Hessianmultiplyfcn函数处理指向的选项QPBox4Mult。

  • 呼叫Quadprog和b作为第一个论点。

嵌套功能的第一个参数QPBox4Mult必须与第一个论点相同Quadprog，在这种情况下是矩阵B。

第二个论点QPBox4Mult是矩阵y（的w = h*y）。因为Quadprog期望y用于形成Hessian Matrix产品，y总是一个矩阵n行，哪里n是问题中的维度数。列中的数量y可以变化。功能QPBox4Mult被嵌套以使矩阵的值一个来自外部功能。优化工具箱™软件包括runqpbox4.m文件。

函数[FVAL，EXITFLAG，输出，X] = RunQPbox4％RunQPbox4演示了具有界限的四元中的hessianmultiplyfcn'选项。问题= load（'qpbox4'）;％获取Xstart，u，l，b，a，f xstart = argears.xstart;u = Quards.u;l = QUACDER.L;B = Quarder.B;a =问题f = Quards.f;mtxmpy = @qpbox4mult;qpbox4mult嵌套函数％选择算法和hessianmultiplyfcn选项= optimoptions（@quadprog，'algorithm'，'trust-region-refrofection'，'hessianmultiplyflyfcn'，mtxmpy）; % Pass B to qpbox4mult via the H argument. Also, B will be used in % computing a preconditioner for PCG. [x, fval, exitflag, output] = quadprog(B,f,[],[],[],[],l,u,xstart,options); function W = qpbox4mult(B,Y) %QPBOX4MULT Hessian matrix product with dense structured Hessian. % W = qpbox4mult(B,Y) computes W = (B + A*A')*Y where % INPUT: % B - sparse square matrix (512 by 512) % Y - vector (or matrix) to be multiplied by B + A'*A. % VARIABLES from outer function runqpbox4: % A - sparse matrix with 512 rows and 10 columns. % % OUTPUT: % W - The product (B + A*A')*Y. % % Order multiplies to avoid forming A*A', % which is large and dense W = B*Y + A*(A'*Y); end end

步骤3：以起点调用二次最小化例程。

调用最小化的二次例程runqpbox4， 进入

[FVAL，EXITFLAG，输出] = RunQPbox4;

运行前面的代码。然后显示FVAL，，，，出口，，，，output.iterations， 和输出。

FVAL，EXITFLAG，output.Iteriations，output.Cgiterations fval = -1.0538e+03 ExitFlag = 3 Ans = 18 Ans = 30

在18次迭代（总共30个PCG迭代）之后，该功能值降低到

FVAL FVAL = -1.0538E+003

一阶最优性是

output.firstorderopt ans = 0.0043

预处理

有时Quadprog不能用H计算预处理，因为H只有隐式存在。反而，Quadprog用途b，论点通过而不是H，计算预处理。b是一个不错的选择，因为它的大小与H和近似H在某种程度上。如果b与H，，，，Quadprog将根据根据算法确定的一些对角度缩放矩阵来计算预处理。通常，这不会表现不佳。

因为预处理比H明确可用，调整TOLPCG可能需要参数到较小的值。此示例与上一个示例相同，但减少了TOLPCG从默认为0.1到0.01。

功能[FVAL，EXITFLAG，输出，X] = RunQPbox4Prec％runqpbox4prec演示了具有界限的四元中的“ hessianmultiplyfcn”选项。问题=负载（'qpbox4'）；％获得XSTART，U，L，B，A，FXstart = Quards.xstart;u = Quards.u;l = QUACDER.L;B = Quarder.B;a =问题f = Quards.f;mtxmpy = @qpbox4mult;％函数处理qpbox4mult嵌套功能％选择算法，HessianMultiplyFCN选项，并覆盖TOLPCG选项options = optimoptions（@quadprog，'算法'，，，，“信任区域反射”，，，，...'Hessianmultiplyfcn'，mtxmpy，'tolpcg'，0.01）;％通过h参数将b传递给qpbox4mult。另外，b将在％计算PCG的预处理。％a作为“选项”之后的附加参数传递[x，fval，exitflag，output] = quadprog（b，f，[]，[]，[]，[]，[]，[l，u，u，xstart，options）;功能w = qpbox4mult（b，y）％QPBox4Mult Hessian矩阵产品，具有密度结构化Hessian。％w = qpbox4mult（b，y）计算w =（b + a*a'）*y在其中％ 输入：％b-稀疏方形矩阵（512 x 512）％y -vector（或矩阵）将乘以b + a'*a。来自外部函数runqpbox4prec的％变量：％A-稀疏矩阵，带有512行和10列。％％ 输出：％W-产品（B + A*A'）*y。％％订单乘以乘以避免形成A*a'，百分比大且密集w = b*y + a*（a'*y）;结尾结尾

现在，输入

[FVAL，EXITFLAG，输出] = RunQPBox4Prec;

运行前面的代码。在18次迭代和50个PCG迭代之后，该函数值具有与5个有效数字相同的值

FVAL FVAL = -1.0538E+003

一阶最优性基本相同。

output.firstorderopt ans = 0.0043

笔记

减少TOLPCG太多可以大大增加PCG迭代的数量。

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