稳定分布是一类适用于模拟重尾和偏态的概率分布。两个独立的、同分布的稳定分布随机变量的线性组合具有与单个变量相同的分布。换句话说,如果X1,X2,......,Xn是独立的同分布稳定随机变量,那么对于每个n
的常数cn> 0和 .
稳定分布是广义中心极限定理的一个应用,它证明了独立同分布变量的归一化和的极限是稳定的。
对于稳定分布存在几种不同的参数化。统计学和机器学习工具箱™中的实现使用了<一个href="https://au.mathworks.com/help/stats/stable-distribution.html" class="intrnllnk">[2]一个>.在这种情况下,是一个随机变量X具有稳定的分布 如果它的特征函数是:
稳定的分布使用以下参数。
参数 | 描述 | 金宝app |
---|---|---|
α |
第一个形状参数 | 0 <α≤2 |
bet |
第二个形状参数 | -1≤β≤1 |
gam |
尺度参数 | 0 <γ<∞ |
三角洲 |
位置参数 | -∞<Δ<∞ |
第一形状参数α描述了分布的尾部。该软件使用直接集成方法计算稳定分布的密度。如在解释的那样<一个href="https://au.mathworks.com/help/stats/stable-distribution.html" class="intrnllnk">[1]一个>,当α参数接近1或0时,PDF和CDF的精确计算存在数值困难。如果α接近1(具体地说, ),然后将软件舍入α至1.如果α接近0,则密度可能不准确。
第二个形状参数β描述了分布的偏度。如果β= 0,则分布是对称的。如果β> 0,则分布是右偏态的。如果β< 0,然后分配留下偏斜。当α小时,β的偏斜性很大。随着α增加,β的效果降低。
大多数稳定分布系列的成员没有明确的概率密度函数(PDF)。相反,PDF在特征函数方面描述<一个href="https://au.mathworks.com/help/stats/stable-distribution.html" class="intrnllnk">[2]一个>.
一些特殊情况的稳定分布,如正常,Cauchy和Lévy分布,具有闭合形状的密度函数。看<一个href="https://au.mathworks.com/help/stats/stable-distribution.html" class="intrnllnk">与其他发行版的关系一个>为更多的信息。
使用<一个href="https://au.mathworks.com/help/stats/prob.normaldistribution.pdf.html">pdf
计算稳定分布的概率密度函数。该软件使用直接积分法计算pdf。如在解释的那样<一个href="https://au.mathworks.com/help/stats/stable-distribution.html" class="intrnllnk">[1]一个>当α参数接近1或0时,可以精确计算PDF的数值困难。如果α接近1(具体而言,
),然后将软件舍入α至1.如果α接近0,则密度可能不准确。
下图比较了不同稳定分布的概率密度函数
pd1 = makedist (“稳定”,“α”2,“β”0,'gam', 1“δ”, 0);pd2 = makedist(“稳定”,“α”, 1“β”0,'gam', 1“δ”, 0);pd3 = makedist(“稳定”,“α”,0.5,“β”0,'gam', 1“δ”, 0);
计算每个分布的PDF。
x = 5: .1:5;pdf1 = pdf(pd1,x);pdf2 = pdf(pd2,x);pdf3 = pdf(pd3,x);
在同一个图上绘制所有三个pdf函数,以便进行视觉比较。
图绘制(x, pdf1“b -”);持有在绘图(x,pdf2,r -。);情节(x, pdf3,“k——”);标题(比较稳定分布PDF图中的Alpha参数) 传奇(“\α= 2”,“\α= 1”,‘\α= 0.5,'地点','西北') 抓住从
这个情节说明了
下图比较了稳定分布的概率密度函数与不同的概率密度函数
pd1 = makedist (“稳定”,“α”,0.5,“β”0,'gam', 1“δ”, 0);pd2 = makedist(“稳定”,“α”,0.5,“β”,0.5,'gam', 1“δ”, 0);pd3 = makedist(“稳定”,“α”,0.5,“β”, 1'gam', 1“δ”, 0);
计算每个分布的PDF。
x = 5: .1:5;pdf1 = pdf(pd1,x);pdf2 = pdf(pd2,x);pdf3 = pdf(pd3,x);
在同一个图上绘制所有三个pdf函数,以便进行视觉比较。
图绘制(x, pdf1“b -”);持有在绘图(x,pdf2,r -。);情节(x, pdf3,“k——”);标题(“比较稳定分布PDF图中的Beta参数”) 传奇('\ beta = 0',‘\β= 0.5,“\β= 1”,'地点','西北') 抓住从
使用<一个href="https://au.mathworks.com/help/stats/prob.normaldistribution.random.html">随机
从稳定的分布生成随机数。该软件使用所提出的方法生成用于稳定分布的随机数<一个href="https://au.mathworks.com/help/stats/stable-distribution.html" class="intrnllnk">[3]一个>
大多数稳定分布系列的成员没有明确的累积分配功能(CDF)。相反,在特征函数方面描述了CDF<一个href="https://au.mathworks.com/help/stats/stable-distribution.html" class="intrnllnk">[2]一个>.
使用<一个href="https://au.mathworks.com/help/stats/prob.normaldistribution.cdf.html">提供
计算稳定分布的累积分布函数。软件使用直接集成方法计算CDF。如在解释的那样<一个href="https://au.mathworks.com/help/stats/stable-distribution.html" class="intrnllnk">[1]一个>当α参数接近1或0时,在CDF准确计算CDF时,存在数值困难。如果α接近1(具体而言,
),然后将软件舍入α至1.如果α接近0,则密度可能不准确。
下图比较了不同稳定分布的累积分布函数
pd1 = makedist (“稳定”,“α”2,“β”0,'gam', 1“δ”, 0);pd2 = makedist(“稳定”,“α”, 1“β”0,'gam', 1“δ”, 0);pd3 = makedist(“稳定”,“α”,0.5,“β”0,'gam', 1“δ”, 0);
计算每个分布的cdf。
x = 5: .1:5;cdf1 = cdf (pd1 x);cdf2 = cdf (pd2 x);cdf3 = cdf (pd3 x);
在同一图形上绘制所有三个CDF功能以进行视觉比较。
图绘图(x,cdf1,“b -”);持有在情节(x, cdf2,r -。);绘图(x,cdf3,“k——”);标题(比较稳定分布CDF图中的Alpha参数) 传奇(“\α= 2”,“\α= 1”,‘\α= 0.5,'地点','西北') 抓住从
这个情节说明了
下一个曲线比较了累积分布函数,用于不同的稳定分布
pd1 = makedist (“稳定”,“α”,0.5,“β”0,'gam', 1“δ”, 0);pd2 = makedist(“稳定”,“α”,0.5,“β”,0.5,'gam', 1“δ”, 0);pd3 = makedist(“稳定”,“α”,0.5,“β”, 1'gam', 1“δ”, 0);
计算每个分布的cdf。
x = 5: .1:5;cdf1 = cdf (pd1 x);cdf2 = cdf (pd2 x);cdf3 = cdf (pd3 x);
在同一个图上绘制所有三个pdf函数,以便进行视觉比较。
图绘图(x,cdf1,“b -”);持有在情节(x, cdf2,r -。);绘图(x,cdf3,“k——”);标题('比较稳定分布CDF Plots中的Beta参数') 传奇('\ beta = 0',‘\β= 0.5,“\β= 1”,'地点','西北') 抓住从
的值没有定义稳定分布的均值α≤1.为α> 1,则稳定分布的均值为
使用<一个href="https://au.mathworks.com/help/stats/prob.normaldistribution.mean.html">的意思是
计算稳定分布的平均值。
的值的稳定分布的方差是未定义的α< 2.为α= 2,稳定分布的方差是
使用<一个href="https://au.mathworks.com/help/stats/prob.normaldistribution.var.html">var
来计算稳定分布的方差。
稳定的分布有三种特殊情况:正常分布,Cauchy分布和levy分布。这些分布值是值得注意的,因为它们具有闭合形式的概率密度函数。
正态分布或高斯分布是稳定分布的一种特殊情况。的稳定分布α= 2对应于正态分布。换句话说,
μ为平均值σ是正态分布的标准差。
虽然β当α= 2,正态分布通常与β= 0.
正常分布的概率密度函数是
正态分布的密度图是对称的,呈钟形曲线。
Cauchy分布是一种特殊的稳定分配案例α= 1和β= 0.换句话说,
其中,γ为柯西分布的尺度参数,δ为柯西分布的位置参数。
柯西分布的概率密度函数是
Cauchy分布密度的曲线是对称的并且具有钟形曲线,但尾部比正常分布的密度更重。
Lévy分布是一个特殊情况的稳定分布α= 0.5和β= 1.换句话说,
式中,γ为Lévy分布的尺度参数,δ为位置参数。
Lévy分布的概率密度函数是
Lévy分布的密度图是高度倾斜的,并且有严重的尾部。
以下绘图比较标准正常,Cauchy和Lévy分布的概率密度函数。
为标准正态分布、Cauchy分布和Lévy分布创建一个概率分布对象。
pd_norm = makedist (“稳定”,“α”2,“β”0,'gam'1 /√(2)“δ”, 0);pd_cauchy = makedist (“稳定”,“α”, 1“β”0,'gam', 1“δ”, 0);pd_levy = makedist(“稳定”,“α”,0.5,“β”, 1'gam', 1“δ”, 0);
计算每个分布的PDF。
x = 5: .1:5;pdf_norm = pdf(pd_norm,x);pdf_cauchy = pdf(pd_cauchy,x);pdf_levy = pdf(pd_levy,x);
在同一个图上绘制所有三个pdf函数,以便进行视觉比较。
图绘图(x,pdf_norm,“b -”);持有在情节(x, pdf_cauchy,“r”。);情节(x, pdf_levy,“k——”);标题(“比较稳定分布pdf图”) 传奇(“正常”,“柯西”,“税”,'地点','西北') 抓住从
[1] Nolan, John P. <稳定密度和分布函数的数值计算>统计信息:随机模型.第13卷第4期,1997年,第759-774页。
[2] Nolan,John P.单变量稳定分布:重型数据的模型.施普林格国际出版,2020。<一个href="https://doi.org/10.1007/978-3-030-52915-4" target="_blank">https://doi.org/10.1007/978-3-030-52915-4一个>.
[3] Weron, A.和R. Weron“Lévy α稳定变量和过程的计算机模拟。”物理学讲义.1995年第457卷,第379-392页。