的切平面和法线隐式曲面

自从R2021b

这个例子展示了如何找到的切平面和法线的隐式曲面。(这个例子使用符号矩阵变量symmatrix数据类型)紧凑的数学符号。

一个表面可以隐式地定义,如球体 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ 。一般来说,一个隐式定义的表面表达的方程 $f (x, y, z) = k$ 。这个例子中发现的切平面和法线的球体半径 $R = \sqrt{14}$ 。

创建一个符号矩阵变量 $r$ 来表示 $⟨ x, y, z ⟩$ 坐标。球面函数定义为 $f (r) = r \cdot r$ 。

清晰;关闭所有;clc信谊r3 [1]矩阵f = r *。”

f =
                  $r r^{T}$

隐式方程 $f (r) = 14$ 代表一个球体。转换的方程信谊数据类型使用symmatrix2sym。通过绘制方程fimplicit3函数。

feqn = symmatrix2sym (f = = 14)

feqn =
                  ${r_{1, 1}}^{2} + {r_{1, 2}}^{2} + {r_{1, 3}}^{2} = 14$

fimplicit3 (feqn)轴平等的轴([6 6 6 6 6 6])

图包含一个坐标轴对象。坐标轴implicitfunctionsurface类型的对象包含一个对象。

接下来,找到点的切平面和法线 $r_{0} = ⟨ x_{0}, y_{0}, z_{0} ⟩$ 。

梯度向量的回忆 $f$ 是 $\nabla f (r) = ⟨ f_{x} (r), f_{y} (r), f_{z} (r) ⟩$ 。点切平面的方程 $r_{0}$ 然后由 $f_{x} (r_{0}) (x - - - - - - x_{0}) + f_{y} (r_{0}) (y - - - - - - y_{0}) + f_{z} (r_{0}) (z - - - - - - z_{0}) = 0$ 。在紧凑的数学符号,切平面方程可以写成 $\nabla f (r_{0}) \cdot (r - - - - - - r_{0}) = 0$ 。

找到的梯度 $f (r)$ 使用梯度函数。请注意,结果是一个3×1符号矩阵变量。

fgrad =梯度(f, r)

fgrad =
                  $2 r^{T}$

大小(fgrad)

ans =1×23个1

定义切平面的方程。使用潜艇函数来评估点的梯度 $r_{0} = ⟨ 1, - - - - - - 2, 3 ⟩$ 。

r0 = (2, 1, 3);fplane = (r-r0) *潜艇(fgrad r r0)

fplane =
                 
                   $\begin{array}{l} 2 (- - - - - - Σ_{1} + r) {Σ_{1}}^{T} \\ 在哪里 \\ Σ_{1} = (\begin{array}{c} - - - - - - 2 & 1 & 3 \end{array}) \end{array}$

情节点 $r_{0}$ 使用plot3,情节切平面使用fimplicit3。

持有在plot3 (r0 (1)、r0 (2)、r0 (3),“罗”MarkerSize = 10, MarkerFaceColor =“r”)fimplicit3 (symmatrix2sym (fplane = = 0))

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含3 implicitfunctionsurface类型的对象。一个或多个行显示的值只使用标记

点的法线方程 $r_{0}$ 是由 $n (t) = ⟨ x_{0}, y_{0}, z_{0} ⟩ + t ⟨ f_{x} (r_{0}), f_{y} (r_{0}), f_{z} (r_{0}) ⟩$ 。在紧凑的数学符号,方程可以写成 $n (t) = r_{0} + t \nabla f (r_{0})$ 。

定义为法线方程。

信谊tn = r0 + t *潜艇(fgrad r r0)。”

n =
                 
                   $\begin{array}{l} Σ_{1} + 2 t Σ_{1} \\ 在哪里 \\ Σ_{1} = (\begin{array}{c} - - - - - - 2 & 1 & 3 \end{array}) \end{array}$

法线方程转换为信谊数据类型使用symmatrix2sym。提取参数曲线 $x (t)$ , $y (t)$ , $z (t)$ 法线的索引n。绘制法线使用fplot3。

n = symmatrix2sym (n)

n =
                  $(\begin{array}{c} - - - - - - 4 t - - - - - - 2 & 2 t + 1 & 6 t + 3 \end{array})$

fplot3 (n (1), (2)、n (3), (0 - 1),的r - >)

图包含一个坐标轴对象。坐标轴对象包含4 implicitfunctionsurface类型的对象,线,parameterizedfunctionline。一个或多个行显示的值只使用标记