在这个工作流程中使用符号数学工具箱™中的拉普拉斯变换来解微分方程。关于拉普拉斯变换的简单例子,请看拉普拉斯
和ilaplace
.
一个函数的拉普拉斯变换 是
符号工作流以自然的符号形式而不是数字形式进行计算。这种方法可以帮助您理解解决方案的属性并使用精确的符号值。只有在需要数字结果或无法按符号继续时,才用数字代替符号变量。有关详细信息,请参见选择数字或符号算术.通常,步骤是:
申报的方程。
解决方程。
替代的价值观。
阴谋的结果。
分析的结果。
你可以用拉普拉斯变换来解有初始条件的微分方程。例如,你可以解决电阻-电感-电容(RLC)电路,例如这个电路。
在欧姆电阻:
在安培电流:
电感在亨利:
法拉电容:
交流电压源(伏特):
电容电荷库仑:
应用基尔霍夫电压和电流定律得到下列方程。
替代的关系 (这是电容器被充电的速率)到上面的方程,得到RLC电路的微分方程。
声明的变量。因为物理量是正的,所以在变量上设置相应的假设。让 为1v的交流电压。
信谊lCI1 (t)问(t)年代R =符号(‘R % d’3 [1]);设([t L C R] > 0) E(t) = 1*sin(t);%交流电压= 1 V
声明微分方程。
dI1 = diff (I1, t);dQ = diff (Q, t);eqn1 = dI1 -(R(2)/L)*dQ = -(R(1)+R(2))/L*I1
eqn1 (t) =
eqn2 = dQ = = (1 / (R (2) + (3)) * (q / C)) + R (2) / (R (2) + (3)) * I1
eqn2 (t) =
计算拉普拉斯变换eqn1
和eqn2
.
eqn1LT =拉普拉斯(eqn1 t s)
eqn1LT =
eqn2LT =拉普拉斯(eqn2 t s)
eqn2LT =
这个函数解决
只解决符号变量。因此,使用解决
,第一个替代拉普拉斯(I1 (t), t, s)
和拉普拉斯(Q (t), t, s)
与变量I1_LT
和Q_LT
.
信谊I1_LTQ_LTeqn1LT = subs(eqn1LT,[拉普拉斯(I1,t,s)拉普拉斯(Q,t,s)],[I1_LT Q_LT])
eqn1LT =
eqn2LT = subs(eqn2LT,[拉普拉斯(I1,t,s)拉普拉斯(Q,t,s)],[I1_LT Q_LT])
eqn2LT =
解方程I1_LT
和Q_LT
.
eqns = [eqn1LT];vars = [I1_LT Q_LT];[I1_LT, Q_LT] = solve(eqns,vars)
I1_LT =
Q_LT =
计算
和
通过计算拉普拉斯逆变换I1_LT
和Q_LT
.简化的结果。抑制输出,因为它很长。
I1sol = ilaplace (I1_LT、s、t);Qsol = ilaplace (Q_LT、s、t);I1sol =简化(I1sol);Qsol =简化(Qsol);
在绘制结果之前,用电路元件的数值代替符号变量。让 , , , , .假设初始电流为 初始电荷是 .
var = [R L C I1(0) Q(0)];值= [4 2 3 1.6 1/4 2 2];I1sol =潜艇(I1sol、var值)
I1sol =
Qsol =潜艇(Qsol、var值)
Qsol =
当前的情节I1sol
和电荷Qsol
.通过使用两个不同的时间间隔来显示瞬态和稳态行为:
和
.
subplot(2,2,1) fplot(I1sol,[0 15]) title(“当前”) ylabel (“I1 (t)”)包含(“t”) subplot(2,2,2) fplot(Qsol,[0 15]) title(“充电”) ylabel (“问(t)”)包含(“t”) subplot(2,2,3) fplot(I1sol,[2 25]) title(“当前”) ylabel (“I1 (t)”)包含(“t”)文本(3,-0.1,瞬态的-0.07)文本(15日,“稳定状态”) subplot(2,2,4) fplot(Qsol,[2 25]) title(“充电”) ylabel (“问(t)”)包含(“t”)文本(3,0.35,瞬态的0.22)文本(15日,“稳定状态”)
起初,电流和电荷呈指数下降。然而,从长期来看,它们是振荡的。这些行为分别称为“暂态”和“稳态”。对于符号结果,您可以分析结果的属性,这在数值结果中是不可能的。
视觉检查I1sol
和Qsol
.它们是项的和。通过使用找到术语孩子们
.然后,把这些项画出来,求出它们的作用[0 15]
.图中显示了瞬态和稳态项。
I1terms =孩子(I1sol);I1terms = [I1terms {}):;Qterms =孩子(Qsol);Qterms = [Qterms {}):;图;subplot(1,2,1) fplot(I1terms,[0 15]) ylim([-0.5 2.5]) title(“目前的条件”fplot(Qterms,[0 15]) ylim([-0.5 2.5]) title(“收费条款”)
图表显示I1sol
有瞬态和稳态项,而Qsol
有一个瞬态和两个稳态项。从目视检查,注意I1sol
和Qsol
有一个术语包含经验值
函数。假设这一项引起了瞬时指数衰减。中分离瞬态和稳态项I1sol
和Qsol
通过检查经验值
使用有
.
I1transient = I1terms ((I1terms,“经验”))
I1transient =
I1steadystate = I1terms (~ (I1terms“经验”))
I1steadystate =
同样的,单独的Qsol
转化为瞬态和稳态项。这个结果演示了符号计算如何帮助您分析问题。
Qtransient = Qterms ((Qterms,“经验”))
Qtransient =
Qsteadystate = Qterms (~ (Qterms“经验”))
Qsteadystate =