好吗?我想讲一个稍微不同的方式来解决线性一阶方程。如果你看看方程,我举个例子。这是最好的。你注意到从我们最喜欢的方程有什么不同呢?是2 t的变化。利率随时间增加,随着时间的推移改变。所以我们仍然还有一个线性方程,y,但系数是不同的。我们有一个变系数2 t。
如果我们认为这里的应用经济,银行,这将是猖獗的通货膨胀,利率2 t攀登,攀登,直到永远。但我们要看到,这是一类方程,我们可以解决。好的。和新方法叫做一个积分因子。这是一个神奇的因素,使得方程简单。这是另一个很好的方式来解决所有的问题,我们已经处理到目前为止,加上这个新的。
这个因素是什么?好吧,对于这个2 t的问题,正确的因素是e - t方。为什么是正确的因素?这个因素我要乘的方程,使其简单。这是正确的选择,原因是这个的导数——你还记得如何求导链式法则?
导数是相同的e - t的平方,同样的我,*指数的导数。和它的导数指数是- 2 t。- t方变得- 2 t。这是那个小设备,给了我们一个积分因子,使方程简单。
现在我要看这个方程。我想看看我的导数乘以y。而不是仅仅dy dt,让我看看我的导数乘以y。所以我在这里有一个产品。必须用乘法法则。这将是我,所以我dy dt。好的。dy dt是——我们可以dy dt的方程,I乘以2泰+ q t的。现在我要加上dI dt y。好。
这是导数的乘法法则,我倍y +我y的导数。但现在看来。我们知道dI dt - 2 ti。所以dI dt,现在我使用的关键事实,这是- 2泰伊。看,泰伊- 2泰伊取消2。所以现在我有一个漂亮的方程。Iy的导数是智商。Iy的导数是智商。我可以整合双方。这就是关键。这是关键。
如果我把左边——所以我移动这个积分导数——当然,导数是函数的积分,在时间t, Iy Iy在时间t - 0时刻,y为0。因为注意到我在t = 0——我能提到我在0 = 1。当t = 0时,我e的0次方,也就是1。这样我的0 = 1。这就是导数的积分。
右边,我从0到t的积分乘以问。所以我把——是的,e - s²q s ds。我介绍了一个积分变量s从0 t。你还记得这种类型的公式吗?输入是不断随着时间的推移,我看结果输出在时间t。因此所有的输入进去。他们都乘以一些因素,综合给出了总结果的输入。
好的。我几乎在这里。我只是想记住我想除以t y。所以我有一个公式好。所以我的公式y。当我除以t t的,不要忘记我。我在这里把它再次。让我提醒自己。我的t e - t方。这是神奇的积分因子。
好的。所以我要除以,这意味着我将乘e t方。这将摧毁我。我把这个等式的另一边,y (0), y为0,它将被乘以e t方。和这个东西将乘以e t方。从0到t的积分e t平方- s²q s ds。这就是我的答案。
好吧,让我们来看看它。我有y (t)。这是来自y为0。你看到生长因子改变了从我们的老e的——这是增长速度常数,利率——e t方。这是我们的增长从一个增加利率。
这里,我看到了结果,输出,从输入q,从所有的输入乘以0,t。每个输入之间既然因素是经济增长不是从0到t。这是增长从0到t。s t的增长,因为输入进去时,它有较短的时间,t - s,成长。
这就是答案的公式。如果你给我的任何特定问,我只是做积分,微分方程的解。所以,积分因子使得事情的工作。
也许我应该说什么积分因子一般。让我花点时间看——这是一个例子。这是一个例子的t等于2 t。一般的积分因子是什么?所以我们总是希望积分因子。我们建设的规则是,它应该给我们,导数应该- t的时候我自己。这就是我们选择了e - t方。然后2 t (t)。
现在我想给一般规则。积分因子的一般规则是,方程的解。这个方程的解决方案是给我们的e t方的例子。这是例子。
但是现在我想要一个公式来关闭整个案件不同的利率。我想找到,方程的解。这是——这是积分因子。e -因为,负号。现在我想下来当我求导。所以我把,t的积分的dt,说,从0到t。
现在,让我再做这个例子看看。我有e - 2 t的积分,这是e - t方。这就是我得到t方为正确的选择我们的例子。和一般规则。积分因子。
最后,最后,如果是一个常数,这是最常见的情况下,唯一的情况下,我们已经到这个视频,如果是一个常数,然后从0到t的积分是一个* t。所以第一个例子,数字0例,将e -。这将是正确的积分因子如果我们有常数。
我将创建一些例子,一些问题,只是经历的步骤,最重要的是在恒定的积分因子。但是现在我们可以解决不同的利率。好。谢谢你!
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