微分方程和线性代数gydF4y2Ba

1.1:微分方程的概述gydF4y2Ba线性方程包括gydF4y2Bady / dtgydF4y2Ba=gydF4y2Bay, dy / dtgydF4y2Ba= -gydF4y2Bay, dy / dtgydF4y2Ba=gydF4y2Ba2泰gydF4y2Ba。这个方程gydF4y2Bady / dtgydF4y2Ba=gydF4y2BaygydF4y2Ba*gydF4y2BaygydF4y2Ba是非线性的。gydF4y2Ba

1.2:你所需要的微积分gydF4y2Ba求和规则,产品规则、链式法则产生新的衍生品的衍生品gydF4y2BaxgydF4y2Ba^ngydF4y2Ba罪(gydF4y2BaxgydF4y2Ba),gydF4y2BaegydF4y2Ba^xgydF4y2Ba。微积分基本定理说颠倒导数的积分。gydF4y2Ba

1.4 b:响应指数输入,exp (s * t)gydF4y2Ba指数输入,gydF4y2BaegydF4y2Ba^圣gydF4y2Ba从外面,指数增长,gydF4y2BaegydF4y2Ba^在gydF4y2Ba从内部,解决方案,y (t)是两个指数的组合。gydF4y2Ba

1.4 c:响应振动输入,因为(w * t)gydF4y2Ba一个振荡输入cos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba)产生一个振荡输出相同的频率ω(和相移)。gydF4y2Ba

1.4 d:解决任何输入q (t)gydF4y2Ba解一个线性一阶方程,将每个输入gydF4y2Ba问(s)gydF4y2Ba的生长因子和集成这些输出gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

1.4 e:阶跃函数和δ函数gydF4y2Ba单位阶跃函数从0到1。其斜率是δ函数:零除无限跳。gydF4y2Ba

1.5:应对复指数,exp(我* w * t) = cos (w * t) + i * sin (w * t)gydF4y2Ba线性方程组的解gydF4y2Baf =gydF4y2Bacos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba)是真正的解决方案的一部分gydF4y2Baf = egydF4y2Ba^{iωtgydF4y2Ba}。复杂的解决方案gydF4y2BaGgydF4y2Ba(获得)。gydF4y2Ba

1.6:恒定速率的积分因子gydF4y2Ba积分因子gydF4y2BaegydF4y2Ba^{——gydF4y2Ba}繁殖的微分方程y ' = ay + q,给的导数gydF4y2BaegydF4y2Ba^{——gydF4y2Ba}y:准备集成。gydF4y2Ba

1.6 b:积分因子变化的速度,(t)gydF4y2Ba的积分不同利率提供了指数增长的解决方案(银行资产)。gydF4y2Ba

1.7:逻辑斯蒂方程gydF4y2Ba当gydF4y2Ba——gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba减慢经济增长,使非线性方程,解趋于一个稳定的状态gydF4y2Bay (gydF4y2Ba∞gydF4y2Ba)= a / b。gydF4y2Ba

1.7 c:稳定的稳定和不稳定状态gydF4y2Ba可以稳定或不稳定的稳态解决金宝搏官方网站方案——一个简单的测试来决定。gydF4y2Ba

1.8:可分离变量方程gydF4y2Ba可分离变量方程可以由两个单独的集成,解决了一个gydF4y2BatgydF4y2Ba和其他gydF4y2BaygydF4y2Ba。最简单的是gydF4y2Bady / dt = ygydF4y2Ba,当gydF4y2Bady / ygydF4y2Ba=gydF4y2BadtgydF4y2Ba。然后ln (gydF4y2BaygydF4y2Ba)=gydF4y2Bat + CgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

2.1:二阶方程gydF4y2Ba与无阻尼振动方程,没有强迫,所有解决方案共享相同的固有频率。金宝搏官方网站gydF4y2Ba

2.1 b:强迫简谐运动gydF4y2Ba与强迫gydF4y2BafgydF4y2Ba= cos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba),特殊的解决方案gydF4y2BaYgydF4y2Ba* cos(ωgydF4y2BatgydF4y2Ba)。但如果迫使频率等于固有频率共振。gydF4y2Ba

2.3:非受迫性阻尼运动gydF4y2Ba与常系数微分方程,是指数的基本解决方案金宝搏官方网站gydF4y2BaegydF4y2Ba^圣gydF4y2Ba。指数gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba解决一个简单的方程等gydF4y2Ba作为gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+ b + C = 0gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

2.3 c:脉冲响应和阶跃响应gydF4y2Ba脉冲响应gydF4y2BaggydF4y2Ba力是一个脉冲时的解决方案(δ函数)。这也解决了零方程(没有任何力量)和一个非零初始条件。gydF4y2Ba

2.4:指数——可能的共振响应gydF4y2Ba共振发生在固有频率匹配迫使频率——平等指数从内部和外部。gydF4y2Ba

2.4 b:与阻尼二阶方程gydF4y2Ba一个阻尼强迫方程特解gydF4y2Bay = GgydF4y2Bacos(ωgydF4y2Bat -gydF4y2Baα)。阻尼比提供了洞察零的解决方案。金宝搏官方网站gydF4y2Ba

2.5:电气网络:电压和电流gydF4y2Ba电流在一个RLC循环解决线性方程系数gydF4y2BalgydF4y2Ba(电感),gydF4y2BaRgydF4y2Ba(电阻),gydF4y2Ba1 / CgydF4y2Ba(gydF4y2BaCgydF4y2Ba=电容)。gydF4y2Ba

2.6:待定系数的方法gydF4y2Ba常系数和特殊强制条款(的力量gydF4y2BatgydF4y2Ba正弦、余弦/指数),一个特定的解决方案相同的形式。gydF4y2Ba

2.6 b:待定系数法的一个例子gydF4y2Ba该方法也为部队和成功的解决方案等金宝搏官方网站gydF4y2Ba(在gydF4y2Ba^2gydF4y2Bae + bt + c)gydF4y2Ba^圣gydF4y2Ba:代入方程gydF4y2Baa, b, cgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

2.6 c:变化的参数gydF4y2Ba把空的解决方案金宝搏官方网站gydF4y2BaygydF4y2Ba_1gydF4y2Ba和gydF4y2BaygydF4y2Ba_2gydF4y2Ba与系数gydF4y2BacgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba和gydF4y2BacgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba找到任何一个特定的解决方案gydF4y2Baf (t)。gydF4y2Ba

2.7:拉普拉斯变换:一阶方程gydF4y2Ba变换线性微分方程中的每一项创建一个代数问题。然后您可以变换代数解回ODE的解决方案,gydF4y2Bay (t)gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

2.7 b:拉普拉斯变换:二阶方程gydF4y2Ba二阶导数变换gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba^2gydF4y2BaYgydF4y2Ba涉及到传递函数和代数问题gydF4y2Ba1 / (gydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+ b + C)。gydF4y2Ba

2.7 c:拉普拉斯变换和卷积gydF4y2Ba力是一个脉冲δgydF4y2Ba(t)gydF4y2Ba脉冲响应gydF4y2Bag (t)gydF4y2Ba。当力gydF4y2Baf (t)gydF4y2Ba,响应“卷积”gydF4y2BafgydF4y2Ba和gydF4y2Bag。gydF4y2Ba

3.1:图片的解决方案金宝搏官方网站gydF4y2Ba的方向场gydF4y2Bady / dt = f (t, y)gydF4y2Ba有一个箭头和斜坡吗gydF4y2BafgydF4y2Ba每一点gydF4y2Bat、ygydF4y2Ba。沿着等斜线箭头相同的斜率谎言。gydF4y2Ba

3.2:相平面图片:来源、鞍gydF4y2Ba金宝搏官方网站解决方案二阶方程可以趋近无穷大或零。鞍点包含一个积极的和消极的指数或特征值。gydF4y2Ba

3.2 b:相平面图片:螺旋和中心gydF4y2Ba虚指数与纯振荡提供一个“中心”在相平面。这一点gydF4y2Ba(y, dy / dt)gydF4y2Ba旅行永远围绕着一个椭圆。gydF4y2Ba

3.2度:一分之二阶方程:稳定gydF4y2Ba一阶方程的二阶方程给出了一分之二gydF4y2BaygydF4y2Ba和gydF4y2Bady / dtgydF4y2Ba。矩阵矩阵成为伴侣。gydF4y2Ba

3.3:线性化在临界点gydF4y2Ba一个临界点是常数的解决方案gydF4y2BaYgydF4y2Ba微分方程gydF4y2Bay ' = f (y)gydF4y2Ba。附近,gydF4y2BaYgydF4y2Ba的标志gydF4y2Badf / dygydF4y2Ba决定稳定或不稳定。gydF4y2Ba

3.3 b:线性化(y = f (y, z)和z = g (y, z)gydF4y2Ba有两个方程,一个临界点gydF4y2Baf (Y, Z)gydF4y2Ba= 0和gydF4y2Bag (Y, Z)gydF4y2Ba= 0。这些常数附近解决方案,两个线性化方程使用金宝搏官方网站2×2的偏导数矩阵gydF4y2BafgydF4y2Ba和gydF4y2BaggydF4y2Ba。gydF4y2Ba

3.3 c:特征值和稳定性:2×2矩阵AgydF4y2Ba两个方程gydF4y2Bay ' =唉gydF4y2Ba是稳定的(解决方案方法零金宝搏官方网站)的痕迹gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是消极和行列式是正的。gydF4y2Ba

3.3 d: 3 d的滚筒gydF4y2Ba一个盒子在空中可以旋转它的最短和最长轴。中间的轴它翻滚。gydF4y2Ba

5.1:一个矩阵的列空间,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba米gydF4y2Ba通过gydF4y2BangydF4y2Ba矩阵gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba有gydF4y2BangydF4y2Ba各列gydF4y2BaRgydF4y2Ba^米gydF4y2Ba。捕捉所有Av列给出了组合列空间的子空间gydF4y2BaRgydF4y2Ba^米gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

5.4:独立、基础和维度gydF4y2Ba向量v 1 - d是一个子空间的一组基,如果他们跨越整个组合子空间是独立的:别人没有基向量的组合。维d =基向量的数量。gydF4y2Ba

5.5:线性代数的大局gydF4y2Ba矩阵列空间产生四子空间,行空间(相同的维度),空间向量的垂直于所有行(零空间),和空间向量的垂直于所有列。gydF4y2Ba

图5.6:gydF4y2Ba一个图gydF4y2BangydF4y2Ba节点连接gydF4y2Ba米gydF4y2Ba边(其他边缘可以失踪)。互联网,这是一个有用的模型大脑,管道系统,等等。gydF4y2Ba

5.6 b:图的关联矩阵gydF4y2Ba的关联矩阵gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba对每条边一行,包含1和+ 1显示两个节点(两列的gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba)连接的边缘。gydF4y2Ba

6.1:特征值和特征向量gydF4y2Ba特征向量gydF4y2BaxgydF4y2Ba保持方向一致时乘以矩阵(gydF4y2Ba一个gydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BaλgydF4y2BaxgydF4y2Ba)。一个gydF4y2BangydF4y2BaxgydF4y2BangydF4y2Ba矩阵gydF4y2BangydF4y2Ba特征值。gydF4y2Ba

6.2:整个一个矩阵gydF4y2Ba如果它有一个矩阵可以对角化gydF4y2BangydF4y2Ba独立的特征向量。对角矩阵Λis特征值矩阵。gydF4y2Ba

6.2 b:权力、^ n和马尔可夫矩阵gydF4y2Ba整个思想gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba=gydF4y2BaVgydF4y2BaΛgydF4y2BaVgydF4y2Ba^1gydF4y2Ba同时斜向移动gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba^ngydF4y2Ba=gydF4y2BaVgydF4y2BaΛgydF4y2Ba^ngydF4y2BaVgydF4y2Ba^1gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

6.3:解决线性系统gydF4y2BadgydF4y2BaygydF4y2Ba/ dt =一个gydF4y2BaygydF4y2Ba包含解决方案金宝搏官方网站gydF4y2BaygydF4y2Ba= egydF4y2Ba^λtgydF4y2BaxgydF4y2Ba在哪里gydF4y2BaλgydF4y2Ba和gydF4y2BaxgydF4y2Ba的特征值和特征向量对吗gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

6.4:矩阵指数,exp (A * t)gydF4y2Ba最短的形式的解决方案使用矩阵指数gydF4y2BaygydF4y2Ba= egydF4y2Ba^在gydF4y2BaygydF4y2Ba(0)gydF4y2Ba。矩阵gydF4y2BaegydF4y2Ba^在gydF4y2Ba有特征值gydF4y2BaegydF4y2Ba^λtgydF4y2Ba的特征向量gydF4y2Ba一个。gydF4y2Ba

6.4 B:矩阵相似,A和B = M ^(1) * *米gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba和gydF4y2BaBgydF4y2Ba”类似“如果吗gydF4y2BaBgydF4y2Ba=gydF4y2Ba米gydF4y2Ba^1gydF4y2Ba我gydF4y2Ba对于一些矩阵gydF4y2Ba米gydF4y2Ba。gydF4y2BaBgydF4y2Ba然后有相同的特征值gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

6.5:对称矩阵,特征值,正交特征向量gydF4y2Ba对称矩阵都gydF4y2BangydF4y2Ba垂直特征向量和gydF4y2BangydF4y2Ba真正的特征值。gydF4y2Ba

6.5 b:二阶系统,y”+ Sy = 0gydF4y2Ba一个振荡方程gydF4y2BadgydF4y2Ba^2gydF4y2Bay / dtgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+ Sy =gydF4y2Ba0的gydF4y2Ba2 ngydF4y2Ba金宝搏官方网站解决方案(正弦和余弦)。金宝搏官方网站解决方案使用的特征向量gydF4y2Ba年代。gydF4y2Ba

7.2:正定矩阵,S =“*gydF4y2Ba正定矩阵S有积极特征值,积极的轴心,积极的因素,正能量vgydF4y2Ba^TgydF4y2Ba为每个向量v . S = SvgydF4y2Ba^TgydF4y2Ba一个总是正定如果有独立的列。gydF4y2Ba

7.2 b:奇异值分解,奇异值分解gydF4y2Ba每个矩阵的奇异值分解因素gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba成一个正交矩阵gydF4y2BaUgydF4y2Ba次对角矩阵Σ(奇异值)乘以另一个正交矩阵VgydF4y2Ba^TgydF4y2Ba:旋转拉伸乘以旋转。gydF4y2Ba

7.3:边界条件代替初始条件gydF4y2Ba一个二阶方程可以改变其初始条件gydF4y2Bay (0)gydF4y2Ba和gydF4y2Bady / dt (0)gydF4y2Ba上边界条件gydF4y2Bay (0)gydF4y2Ba和gydF4y2Bay (1)gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

7.4:拉普拉斯方程gydF4y2Ba∂的偏微分方程gydF4y2Ba^2gydF4y2Bau /gydF4y2Ba∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba+gydF4y2Ba∂gydF4y2Ba^2gydF4y2Bau /gydF4y2Ba∂gydF4y2BaygydF4y2Ba^2gydF4y2Ba= 0gydF4y2Ba描述了温度分布在圆形或正方形或任何平面区域。gydF4y2Ba

8.1:傅里叶级数gydF4y2Ba一个周期函数傅里叶级数分离gydF4y2BaF (x)gydF4y2Ba成一个组合(无限)的基函数cos (gydF4y2Banx)gydF4y2Ba和罪恶(gydF4y2Banx)gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

8.1 b:傅里叶级数的例子gydF4y2Ba偶函数仅使用余弦(gydF4y2BaF (- x) = F (x)gydF4y2Ba)和奇怪的函数只使用正弦。系数gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_ngydF4y2Ba和gydF4y2BabgydF4y2Ba_ngydF4y2Ba来自积分gydF4y2BaF (x)gydF4y2Bacos (gydF4y2BanxgydF4y2Ba),gydF4y2BaF (x)gydF4y2Basin (gydF4y2BanxgydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

8.1 c:傅里叶级数解拉普拉斯方程gydF4y2Ba一个圆内,解决方案gydF4y2BaugydF4y2Ba(gydF4y2BargydF4y2Baθ)结合gydF4y2BargydF4y2Ba^ngydF4y2Bacos (gydF4y2BangydF4y2Baθ),gydF4y2BargydF4y2Ba^ngydF4y2Basin (gydF4y2BangydF4y2Baθ)。边界解决方案结合了傅里叶级数中的所有条目匹配边界条件。gydF4y2Ba

8.3:热方程gydF4y2Ba热方程∂gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BatgydF4y2Ba=∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba从温度分布gydF4y2BaugydF4y2Ba在gydF4y2BatgydF4y2Ba= 0和遵循它gydF4y2BatgydF4y2Ba> 0,因为它很快就会变得光滑。gydF4y2Ba

8.4:波动方程gydF4y2Ba波动方程∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BatgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba=∂gydF4y2Ba^2gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BaxgydF4y2Ba^2gydF4y2Ba展示了波沿着gydF4y2BaxgydF4y2Ba轴,从一波又一波的形状gydF4y2BaugydF4y2Ba∂(0)和它的速度gydF4y2BaugydF4y2Ba/∂gydF4y2BatgydF4y2Ba(0)。gydF4y2Ba