从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,美国麻省理工学院(MIT)
阻尼强迫方程有一个特解y = GCOS(ωt -α)。阻尼比提供了对零解的洞察。金宝搏官方网站
我回来的头号例子,但不是最简单的例子,一个二阶与振荡强迫项,余弦欧米茄吨。我们必须知道这个问题的答案的问题。这是一个有些凌乱,但该方法并不凌乱。该方法是直接的。
因此,让我首先寻找的矩形形状。我把这个长方形的形式。它分离,其幅度余弦和其振幅正弦成两个独立的部分。所以,如果我在寻找这种解决办法,m和n是我想要找的号码,我该如何继续?
这是一个待定系数的例子,M和N,确定它们的方法是把这个代入方程,匹配余弦项,找到M和N,我们找到M和N的方法是,我们需要两个方程来表示两个量,M和N。
想象这里有个代换。我会得到一些余弦。所以一边的余弦值和另一边的余弦值是相等的。同样从导数中,我得到一些sin它们应该匹配0因为在右边没有sin t。
我有两个方程,与正弦和余弦相匹配。然后解这些。两个方程,两个未知数。我把答案写下来。
M包含C -的平方。M来自余弦。我们从这一项和这一项得到余弦。除以某个数D,我写下来。
N等于B除以相同的d,现在我要写下d,那是C减去A的平方的平方加上B的平方。这是从M和N的两个方程中得到的。
我只是解这些方程。这个D是2×2的行列式如果我们考虑两个方程后面的线性代数。就是这样。所以现在的答案是用A C B D表示,这是所有A B C的混合物,这是解。
只有我一直想告诉你一个不同形式的解决方案。在这种情况下,一种更好的方式。因为最重要的物理量的大小。如何大不ÿ得到什么?这样做有什么幅度?
这是一个正弦曲线。我们记得每个正弦函数都可以写成极坐标形式。说y (t)是G的某个振幅,增益,乘以cos (t)有位移,有滞后,有角度。现在我有两个数字。
这就是增益。这是相移的α。这是一个有吸引力的形式,因为它只有一个学期。这两个数字,G和α,得到放进一个长期在这里我们可以看到振荡的幅度。
这是一个什么出来呢?我不会所有的步骤去。我就写下来摹变成什么出来的人。ģ原来be--它来自那里 - 和它的1以上D.井的平方根,G是M的平方根的平方加N的平方。
M的平方根的平方加N的平方。如果我把中号的平方和N的平方,然后我有d超过d的平方。我得到这个问题的答案。这就是增益。
让我写一个字,增益一次。因为你得到了它。这又是。与往常一样,α-的切线为N在M个,这仅仅是乙欧米加对C减去一个的ω的平方。我喜欢极坐标形式。
我觉得我应该举个例子。这集我没有做任何代数运算。但是你知道代数是从哪里来的。它来自于用我们期望的形式替换解。当然,我们期望的形式是我们得到的形式,驱动频率,与N不同。
嗯,没有。我想即使是N也没问题,因为我们有阻尼项。这就是答案。
这样一个例子。为什么不举个例子呢?y ' ' + y ' + 2y = cos (t)这是一个简单的例子。我令为1,你看。这是。然后A是1 B是1 C是2。
我们可以评估的一切。事实上,我认为,M和N是1/2。d,顺便说一下,将是1平方加1的平方。这是2的平方根。抱歉。d为2。1平方加1的平方。
所以我知道什么?我认识的长方形形状?是。矩形形状为1/2。1/2的余弦和正弦两者。的余弦吨加上正弦吨1/2。这是矩形形式。
两个简单的事情,但我必须补充它们。而在我的脑海里,我不一定看到余弦如何增加正弦。但正弦身份,极坐标的形式,把它交给我。那么,什么是它在极坐标形式?
所以G,增益,将是1以上的2的平方根。在最高点时,余弦和正弦是相同的。他们俩都在1 2.平方根我有两个。所以我得到1之上超过4 2余弦吨减去pi的平方根是角度,相位滞后。
当我添加余弦和正弦,我得到的是坐在了圆周率超过4,45度的正弦曲线。因此,那些是两种形式。因此,在一个很好的例子,我们当然有一个很好的答案。我们当然没有。是。
所以这是曲风制定出来的,或多或少的制定,原则,工作out--是解决什么,我想作为最重要的应用程序时,强迫项是余弦。所以,它给了振荡运动。它提供了相移。它给这些公式。
我唯一要补充的是,我需要对更好的符号进行注释。所以我在这些公式A, B, c中使用过,但是它们有质量,阻尼常数,弹簧常数的意义。M B和K。
它是这些的组合。让我利用这个时间说一下更好的符号。或者我应该说工程符号而不是A B C,它们是质量,阻尼,弹簧常数。
嗯,这已经最好有一个含义使用字母。但小但很重要的一点是,A,B,C,M,B的两个组合,K是特别好。一个是固有频率,我们已经看到,在A.的C平方根
的K平方根超过M.所以这为我们提供了A和C中的一个重要的组合,并且另一种是阻尼比。它被称为泽塔。并且阻尼比是B,历经4AC的平方根。
哈!你会问,这是怎么来的?或者我可以用这些字母,B除以4mk的平方根。阻尼比,可以说,是正确的无量纲量。这个比例的维数只是数字。
这两个量具有相同的尺寸。我们可以看到,由于二次公式中comes--你还记得二次公式来说明B平方减去4AC的平方根是多少?现在,如果你看到有b在它的平方减去4AC一个公式,你知道,这些必须具有相同的单位。
否则,减法是一种犯罪行为。所以它们具有相同的比例和相同的单元,因此,比为无量纲的。让我写这个词。量纲。
所以结论。我可以重写答案在这些量的ωn和泽塔的条款。我不会在这里这样做。这可以等待另一个时间。
但是因为我们已经找到了最重要的应用的一个解cos t,因为我们找到了这个解,可以这样说我们可以把答案写成n,固有频率,和z,阻尼比的形式。谢谢你!
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