好了,该讲二阶方程了。一阶方程,我们做得很仔细。二阶方程要难一点。但是它们在自然界中出现,它们出现在每一个应用中,因为它们包括一个加速度,一个二阶导数。
这是一个二阶方程,因为有二阶导数。我经常会有常数a b和c,我们有足够的困难不让它们改变。所以a b c是常数,从零解开始。之后,右边会有一个强迫项。但是今天,在这个视频中,是零解。金宝搏官方网站
重点是,现在,新的是有两个零解。金宝搏官方网站所以y零将是e的组合,它们都是指数。在这里有常系数意味着在解中有指数。e的和的指数次方,另一个的a次方,希望是不同的指数。有时,如果s1等于s2,那是一个特例,我们会有一些变化。但这是典型的。
零解中有两个常数,c和c。金宝搏官方网站我们需要两个初始条件来确定这些常数。
之前,对于一阶方程,已知y (0)现在,当我们有加速度,我们给出初速度,y ' (0)我可以用撇号来代替导数吗?y '(0)等于dydt (0)
所以两个条件,在合适的时间,决定了这两个常数。再说一遍,二阶导数是y ' '这表示,在物理中,它表示加速度,速度的变化,y '的变化,是y ' '
在一个函数的图像中,y ' '在图像的弯曲中出现。因为弯曲是斜率的变化。弯曲是斜率的变化。斜率是y '一阶导数。为了测量y '的变化,它会使曲线弯曲,我的粉笔应该是一条切线。但如果它改变了,就得到y ' '二阶导数。
好了,我准备好了一些例子。第一个例子,物理和工程中最基本的运动方程,我想说,它叫做谐波运动。b = 0,这是关键。b = 0。
这是牛顿定律。所以a就是质量m y ' '二阶导数。b = 0。之后,b是阻尼项,摩擦项,阻力项。但是我们把它设为0。这里是永动机。加上这个力,这就是牛顿定律。ma等于f f等于ma。力是成比例的,带一个负号,所以它在这边是正的,和y成比例,这是方程。
没有y '项。我的二阶导,加上ky等于0。从一个初始位置开始,一个初始速度,它就像一个弹簧上下运动,或者像一个钟摆来回运动。我们会看到,它会是,我们想解这个方程。
我们能找到解决方案吗?金宝搏官方网站如果m和k是1,假设m和k是1。我要求的是二阶导数加上函数值为0。二阶导数是负的。我马上想到了sin t和cos t, sin和cos,因为sin的二阶导数,一阶导数是cos。二阶导数是- sin。这里是负号,这里是正号,0。所以这里的特解是y是,这是零。金宝搏官方网站我要找到零解。记作c1 * acos。
现在我要算出cos是什么?我想让余弦满足,是一个零解,满足我的方程。我把它放进去。如果有√k / mt。
你会发现如果我对余弦函数求导两次,就会得到-我想要的余弦函数。正因为如此,链式反应会把这个平方根提出来两次。所以它会提出因子k / m对于y ' '这个因子,k / m, m消掉了k和k匹配,这是一个解。
另一个解也一样。这是正弦。sin(√k / m) t,这值得画一个方框。这就是我所说的自由简谐运动。有些东西在振动。在旋转问题中,一个物体以恒定的速度绕着一个圆旋转。
注意,这两个是不一样的。余弦与指数有关,但并不相同。所以我可以这样写,用余弦和正弦。或者你会看到,我可以用复指数来写同样的公式,复指数。大家都记得这里允许复数的大公式是欧拉公式,it的指数是cos加上i乘以sin t,我再写一遍。
这就是解决方案。它有两个零解。金宝搏官方网站他们是独立的。它们是不同的。我们有两个常数。因为我们的方程是线性的,我们可以放心地乘以任何常数,然后加上解,它们仍然是解因为我们有一个线性方程,右边是0。金宝搏官方网站好。
当然,我们不能永远写这个√k / m。我来介绍一下。这是ω自然。这里的n代表固有频率,时钟运行的频率。也就是√k / m。
所以我们的方程,我们可以重写这个方程。我重写一下这个方程。除以m,没问题,除以m,然后有y ' '加上k / m,也就是n的平方,固有频率的平方。y = 0。我们把这个框起来,因为你不能再好了。
常数a是1。常数b是0。常数c是已知的n的平方,取决于钟摆本身。那么解,我复制这个解。金宝搏官方网站y零是c1cos nt,当然,n是这个平方根。还有c2 sin nt。
哦,等一下。我可以从初始条件得到c1和c2,对吧?初始条件,如果我代入t = 0,那么我想要得到y (0)已知的初始条件,钟摆开始摆动的地方,弹簧的位置,你把弹簧拉到y等于0。你放手。
在t = 0时,我代入t = 0,在t = 0时,这是0。忘记正弦。这是1。我发现c1 = y (0)简单。c1 = y (0)因为它给出了正确的答案,在t = 0时。
那c2呢?我能算出c2吗?这就涉及到了初速度,t = 0时的导数。因为sin的导数是cos,它在t = 0时等于1,它的导数是sin,也就是0。所以当我看y '时,它的导数,在t = 0时。我想要y ' (0)
但我不只是想要y ' (0)你看到它在t = 0时没有正确的导数了吗?因为当我求导数时n,这个常数,你们还记得这个常数吧,它的导数会产生一个n,所以我最好在下面写一个n来抵消它。现在我明白了。
这告诉了我运动,永远永远。能源是恒定的。势能加上动能,我可以说能量。但我不会。这个运动永远持续下去,自由谐波运动。好吧,继续。好的。同样,我可以把它写成复指数的形式。但我对这种形式很满意。这种形式很难被超越。
这里还可以做什么。首先,我们会有一段时间有cos t。我最好画出这个简单熟悉的函数的图像。这是cos t的图像,这是t,这是cos。这里是0。这是2,我看看得到什么。
我画的是cos t, cos t是我画的,不是cos t, cos t是从0到2。但是我有cos t,所以cos t是我要画的。它从1开始,然后回来。它下降,上升,回到1。但是这个t是什么?周期,这个t是振荡的周期。这是秋千上下摆动所需要的时间。这是什么?这将是——我要画出cos t的图像,这就是我要画的。
t从0开始,这里t是0。它上升到,我想要t,当我到这里时,这个t应该是2。对吧?然后我完成了余弦,绕圆旋转一圈,钟摆来回移动一圈,就在这幅图里。t等于2,对吧?正确的。
周期是t,我认为是圆频率。单位是弧度每秒。的单位。单位是非常重要的。,这是,弧度每秒,当我乘以周期,t以秒为单位,我得到2弧度。
现在,在工程师和日常使用中,有另一个频率叫f,可能是频率。你们应该知道f,它的频率是赫兹。f的单位是赫兹,H-E-R-T-Z,以这个家伙命名。不是番茄酱那家伙,但是——哦,那是亨氏。很抱歉。
赫兹,不是汽车,这是我想说的,而是德国人,他很早就参与了这个项目。那么f是多少?f乘以t等于1。而不是2,计算弧度,1只计算完整的循环,完整的振荡。所以f比已知的小2倍。所以f乘以t等于1。f等于1 / t,等于2 / t,把它们放在一起,我要说的是,等于2乘以f。
当我们说我们有60个循环时,这就是我要测量的tf。f的单位是周期,是周期每秒。一个循环,2弧度。这不是又大又重的数学问题。但这比很多数学运算更重要,只是把这些字母弄清楚。
这是大写的T,周期,和两个频率。一个是弧度/秒,另一个是f /秒。一个等于2乘以另一个。好。好的。我们有这个。好的。
我想我们已经得到了关键的思想,对于非强迫运动,纯振荡永远进行。我把刚才提到的写下来。另一种表示yn的方法是用小写的c, e的i nt次方和c2 e的- i nt次方。
我想说的是,指数函数的这种形式,完全等价于余弦和正弦函数的形式。这种形式允许有两个常数,大写的c和c。这种形式允许有两个常数,1和c2。从那里,我得到了这个。从这里,我得到了这个。所以这里确实有指数。关键信息是对于纯振荡,这些指数是纯虚数指数,i nt。
好的,这是最好的例子,最简单的例子,第一个例子。谢谢。
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