所以今天开始特征值和特征向量。原因我们想要的,需要的是解决线性方程组。系统意义不止一个方程,n方程。n等于2的例子。
特征值是一个数字,特征向量是一个矢量。他们都躲在矩阵。一旦我们找到它们,我们可以使用它们。让我告诉你原因特征值出现,发明,发现是解微分方程,这是我们的目的。
为什么现在是一个向量,所以这是一个方程组。我会做一个例子。一个是一个矩阵。所以我们有n个方程,n y组件。是一个n×n矩阵,n行,n列。好。
现在我可以马上告诉你,特征值和特征向量回报。他们进入解决方案。这样的我们寻找解决方案。金宝搏官方网站当我们有一个方程,我们寻找解决方案只是e圣,我们发现数量。现在我们有t——我们改金宝搏官方网站变了s e的λλ,没问题,但乘以一个向量,因为我们的未知是一个矢量。这是一个向量,但不依赖于时间。这是它的美。所有的时间依赖性指数,一如既往。和x是倍数的指数,你会看到。
所以我寻找解决方案。金宝搏官方网站我代入微分方程,会发生什么?这是我的方程。我插入e的λtx,这是y, y。现在,y的导数,导数,带来了λ。让我包括λ的导数。
所以你看到这个漂亮的符号代入方程只是这是真的。更改我的方程形式。我现在取消λt,就像我总是取消e圣所以我取消e的λt从不因为它是零。我有大的方程Ax,矩阵乘以特征向量,等于λx,数量,特征值,乘以特征向量。不是线性的,请注意。增加两个未知数。一个数字,λ乘以一个向量x。
所以我寻找什么?我在找向量x,乘以一个特征向量,所以——ax给数量乘以x。当x方向相同只是长度改变。如果λ是1,我就Ax = x。这是允许的。
如果λ= 0,我会Ax = 0。没关系。我不希望x是0。这是无用的。没有帮助知道0是一个解决方案。所以x应该不是0。λ可以是任何数。它可以是真实的,它可能是复数,正如您将看到的。即使矩阵是真实的,λ可能是复杂的。总之,Ax =λx。这是一个巨大的方程。 It got a box around it.
现在我准备做一个例子。在这个例子中,首先,我要现货没有系统的特征值和特征向量,就去2×2例。所以我会给一个2×2的矩阵a。我们会找到lambdas和x,然后我们会有微分方程组的解。好。
有系统。有第一个方程y₁, '意思导数,d, dt,时间导数,是线性的,一个常系数。第二个,线性常系数3和3。这些数字5,1,3,3,进入矩阵。那么问题就是y ',向量,向量的导数,等于y。那是我的问题。
现在,特征值和特征向量将解决它。所以我看看矩阵。矩阵的问题。什么是特征值,特征向量的矩阵是什么?记住,我希望Ax =λx。
我发现第一特征向量。1、1。我们可以检查它的工作。如果我用一个特征向量,1,1,你看看会发生什么当我乘以1 ?这给了我一个6。这给了我一个6。所以A乘以向量是6,6。这是6 * 1,1。好了。发现了第一个特征值。 If I multiply A by x, I get 6 by x. I get the vector 6, 6.
现在,第二个。我提前工作,产生这一特征向量,我认为这是1 - 3。所以我们第二特征向量乘以a .尝试。我应该打电话给第一个也许x1和λ1。我应该叫这个x2和λ2。我们可以找出λ2是,一旦我发现课程的特征向量。我只是做一个识别λ乘以x,特征值。
5、1 *这是5 - 3是一个2。这是一个2。这里我有一个2。从3 3 3 - 9 - 6。这就是我的斧头。x。当我做乘法,Ax出来是2 - 6。好。
输出是输入的两倍。特征值是2。对吧?我在寻找输入特征向量,所以输出是一个数字乘以特征向量,这号码是λ,特征值。所以我现在已经找到了两个。和我预计的两个2×2的矩阵。你很快就会明白为什么我希望两个特征值,和每个特征值应该有一个特征向量。
这里的这个矩阵。所以我现在已经有了答案。y (t),代表y1和y2 t。这是——这是e的λtx。记住,这是我们正在寻找的图片。
第一个是e的6 t乘以x,这是1,1。如果我把进入方程,解方程。同时,我还有一个。e的λ2 2 t。e的λt乘以它的特征向量,1 - 3。这是一个解决方案。一个解决方案,另一个解决方案。
与线性方程组和我做什么?我带的组合。任何数量的c1 +任意数量的c2仍然是一个解决方案。这是叠加,增加解决线性方程。金宝搏官方网站这些都是零方程。没有力量在这些方程。我不处理力项。我在寻找零解,方程本身的解决方案。金宝搏官方网站
我有两个解决方案,两个系数的选择。金宝搏官方网站我如何选择呢?当然,我与初始条件,所以在t = 0。在t = 0。在t = 0时,我就会y为0。这是我给定的初始条件,y1和y2。
所以我设置t = 0,当然这是一个。当t = 0,这是一个。所以我只有c1 * 1, 1。和c2——这是一个在t = o * 1 - 3。这就是决定c1和c2。c1和c2来自初始条件,就像他们总是做的。
所以我解决一分之二阶常系数线性方程,均匀,这意味着没有任何力量。得到一个空与常量选择解决方案,与往常一样,这些常量来自匹配的初始条件。所以这里的初始条件是一个向量。例如,如果y(0)是2 - 2,那么我希望其中的一个,其中的一个。好的。
我使用解决线性系统特征值和特征向量,首先和主要目的。好的。但是我怎么找到这些特征值和特征向量?其他属性呢?特征值和特征向量是怎么回事?我可以开始在这几分钟特征值和特征向量呢?基本事实,然后我会来接下来的视频如何找到他们。好的,基本事实。
基本的事实。所以从Ax =λx。假设我们发现这些。你能告诉我的特征值和特征向量的平方?我想知道一个平方的特征值和特征向量是什么。他们与这些吗?假设我知道x和λ为A的平方呢?
好事是,特征向量是相同的平方。让我告诉你。我说同样的x,这是相同的x,相同的向量,相同的特征向量。特征值是不同的,当然,对于一个平方,但特征向量是相同的。方,让我们看看会发生什么。
这是一个乘以Ax,对吧?一个,另一个斧头。但Axλx。你是好吗?这只是一个斧头。这是好的。现在λ是一个数。我喜欢把它前面我能看到它的地方。所以我什么也没做。这个数字λ乘以一切,所以我把它放在前面。
现在斧子。我有,斧头。再次,λx,因为我看着相同的同一x, x。所以我得到同样的λ。这是一个λx,另一个λ。我有λ的平方。这就是我想要的。一个平方是λ的平方。
结论。特征向量保持不变,λλ的平方。特征值的平方。
如果我的例子——哦,让我发现矩阵。假设我有相同的矩阵和我感兴趣的是一个平方,然后特征值将36和4,方块。我想我在看第n个矩阵的力量。你可能会说为什么看第n个权力?但有许多例子来看看第n个矩阵,的一千次方。
让我们写下结论。同样的推理,第n个x =λ。x是一样的。每次我乘,我乘以λ。所以我得到λn次。这是方便的规则。
这告诉我们什么是特征值为好。特征值是好事情在时间。微分方程,这的确是在时间。n等于1,这是第一次或n = 0开始。采取一个步骤n等于1,n等于2再一步。继续。每个时间步带来乘以λ。
这是一个非常有用的规则。另一个方便的规则是加上身份呢?假设我的原始矩阵添加单位矩阵。特征值会发生什么变化?特征向量会发生什么变化?基本的问题。或者我可以乘以一个常数乘以单位,2倍的身份,身份的7倍。
我想知道它的特征向量。答案是一样的,相同的x。x。我搞清楚这里的显示。这是Ax,λx。这是c乘以单位乘以x。身份并不做任何事这就是残雪。
我现在什么?我看过的特征值λ+ c。这是特征值。我想这是由多个身份的转变。转移,增加5倍的身份。如果我加5乘以单位矩阵,矩阵的特征值增加了5。和特征向量保持不变。
只要我继续工作一个矩阵a的权力,增加倍数的身份,后来指数,无论我做什么我保持相同的特征向量,一切都是容易的。
如果我有两个矩阵,A和B,与不同的特征向量,然后我不知道A + B的特征向量。我不知道这些。我不能告诉的特征向量乘以B,因为有自己的小特征向量和B有其特征向量。除非他们是相同的,我不会轻易把A和b,但我一如既往地保持一个和其权力和步骤,没有问题。
好的。我先停止在那里看特征值和特征向量。
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