从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,美国麻省理工学院(MIT)
矩阵产生4子空间 - 列空间,行空间(相同尺寸),矢量的垂直于所有行(零空间)的空间,和载体的垂直于所有列的空间。
我希望你能看到线性代数的大图。我们不这样做,在这组视频,线性代数的全部课程。这已经对开放式课程1806现在我专注于微分方程,但你必须看到线性代数这样。
这意味着子空间。在大的图片中有四个。我们——之前的视频描述了列空间和零空间。现在,我们有两个,变成四个。让我看看这个矩阵——它是子空间的——然后把它们放到全局中。
因此,第一个空间,我会看是行空间。现在,行空间具有这些rows--具有矢量1,2,3和4向量,5,6,两个向量存在,及其所有组合。这是线性代数,线性组合核心理念。所以1,2,3是在三维空间中的矢量。4,5,6是另一个。
现在,如果我把所有的组合,你想象,如果我有两个向量和我加他们,我得到另一个向量在同一平面?或者,如果我减去他们,我仍然在那架飞机。或者,如果我需要一个和三个的另一个有五个,我仍然在那架飞机。而我填的是飞机上的时候我把所有的组合。因此,该行space--我可以试着在这里画一幅画?
这是一个平面。这是该行的空间。我只是把一行。并且在该平面是矢量1,2,3和4的载体,5,6,这两个行。与平面填满我们的组合。好吧,我不能在此MIT黑板上画上午无限平面。但你的想法。这是一个平面。我们正坐在三个维度。
现在,other--所以还有更多。我们只有one--飞机在这里,平坦的部分,如桌面,延伸到无穷大,但不填充3D,因为我们已经得到了另一个方向。而在其他的方向是零空间。那是很好的事情。
所以,我想知道,矩阵的零空间。我想解决这样的零空间,A--我解决大道的N等于全0。因此,这些三列的某种组合会给我0柱上。让我写它作为一个0柱上。
还有什么比v为?什么组合列,该列,并且该列的给0,0?现在,我知道有一些有趣的组合,因为我 - 只相当于两个方程三个未知数,V1,V2,V3。我想乘上V1,通过V2,由V3。所以,我有三个未知数,但我只有两个0拿到,只有两个方程。
如果有三个未知数和两个方程,就会有很多解。金宝搏官方网站我能看到一个。看到了吗,如果我把这个和那个相加,就得到,这是一样的,和2乘以。
换句话说,我相信v equal--如果我拿了第1和1的第三,如果我减去第二column--的2所以平均给我的第一列1,1第三列的,并减去第二列的2都会给我0,0。因此,这里是我的零空间。关在这个方向我零空间的头,在1方向,减去2,1。
但是,当然,我用任何数乘以v获得更多的解决方案。金宝搏官方网站10倍矢量仍然会给我0和仍处于零空间。所以我真的have--零空间是向量的整条生产线。它是矢量和矢量的任意多个。所以这是一个整体的无限线,这是一个维子空间,零空间。
所以我画的图中的零空间,这是零空间。它不是很厚,因为它只是一条线。记作N (A)这条线。你看,我在画一个三维空间。这条线是双向的。但是它垂直于这个平面。这是最精彩的部分。这是美妙的。
这条线,零空间,垂直于这个平面,行空间。你想知道为什么吗?你想看吗?因为如果我用A乘以v,那就是1 2 3乘以v 1 2 3是垂直于它的。如何检查两个向量的垂直度?1 2 3点积。点积是1 * 1 - 2 * 2,就是4,加上3 * 1,就是3。1 - 4 + 3等于0。类似地,4 - 10 + 6 = 0。
因此,这是这里的直角。这是一个直角,那两个子空间之间的90度。再次,在这个例子中,一个空间是二维的,平面。另一个空间是一维的,垂直线。我可以用我的双手展示,但我不能借鉴这种扁平黑板。我有飞机吗无限远,我也行,在0矢量打算与其垂直和会议,当然,在0--。
它是Av = 0的解,它也是一个组合,是行0的组合。这是整体的一半,行空间和零空间。
现在,我已经准备好了的另一半,这是大局的other--右手侧的第二侧首先包含列空间。那么,什么是该矩阵的列空间?
因此,一个矩阵的列空间,我们把这些三列的所有组合。这将填补了空间。现在,我have--所以我把矢量1,4,我把矢量2,5,也许有。然后,我会还采取了矢量3,6,好了,我有三列。所以我数出了3个,至多6.良好。
取这些向量的组合,得到什么?这是二维空间中的一幅图因为这些列是在二维空间中,1,4;2、5;3、6。当我取1 4和2 5的组合时,它们在不同的方向上。这些组合已经给出了所有的二维空间,所以列空间就是整个空间,包括因为我可以取0(1)加上0(另一个向量)
而这第三列不能贡献任何新的东西。它坐在列空间。这是这两种的组合。但前两个是独立的。他们的组合给整个平面。所以列空间是整架飞机。列空间。
没有太多的空间,我们的第四部分空间。但第四部分空间,在这个例子中,是相当小的。让我告诉你关于第四子空间即可。因此,我们知道零空间,A N和我们知道的列空间,C A的零空间是在这张照片。列空间是那张照片。
现在,大约在......什么是该行的名称空间?好吧,如果我转置矩阵,行空间轮流入列的空间。转置行插入的矩阵A的转置的列。因此,通过转置矩阵,原来这两排为两列。这就是我在这里。
该行的空间是曲风,这是转置矩阵的列空间。我喜欢。我不想介绍该行空间的新信件。我就像只列空间和零空间。所以,我 - 我很确定,去转。现在,那是什么第四家伙?
哦,仅仅是美,这是优雅的一般原则。如果我有列空间和A的零空间,如果我有A转置的列空间,第四项就是A转置的零空间。抱歉,我写的太小了,太小了。但是我把这个写大了一点。
A转置的零空间,所有解这个方程的w。A ' w = 0。A转置的零空间就是所有解这个方程的w。这个方程是什么样的?哈!这个方程,A '有两列。所以A转置,这是第一列的w1。1 2 3,当我转置的时候。第二列的w2 4 5 6等于0,0,0。
好了,现在我已经得到了,对于这个空space--因为我的矩阵这里是2 3,对于这个第四部分空间,我有三个方程只有两个未知数,W1和W2。而且,事实上,唯一的解决方案是W1等于0,W2金宝搏官方网站等于0,因为这是我能得到combination--这是向量的唯一的组合,让我0是采取的是零0的唯一途径和载体这一点。
你看见那个曲风在这个例子中,转置的零空间是A的just--零空间transpose--正是我所说的0子空间。仅具有一个在它微不足道向量,0向量的子空间。但是没关系。它遵循子空间的规则。它完成四个子空间的图片。
在其他例子中,我们可以有四个子空间为零。但是,我们将有两个在这里,它们一起完成了全面的N维空间。而在这里,我们有两个一起完成完整的中号维空间。而在这里,这个矩阵中,M为2,因此,这是完成了。列空间是所有R2在这种情况下。
所有的二维空间是柱状空间,而且没有留下任何余地左零空间,转置的零空间。所以,你看到那张照片?让我们可以用干净的板只是勾画它一次。
所以,我有行空间。让我画它也许会这样,行空间。并垂直于为零空间。这是in--我们在这里的N尺寸,并且是垂直的,这些空间。
然后,在这里,我有柱空间。并垂直于为左零空间。而且我们这里的M个维度。这些都是我们的四个子空间。和它们have--它们的N维空间中,其中的两个,以M维空间中的两个人,垂直坐。我可以告诉你一些关于它们的尺寸。
因此,该行的空间,在这个例子中,是二维的。这是一个平面。一般来说,尺寸equals--假设R.这是一个重要的数字,A哦军衔,这是一个关键的数字。也许,我最好约矩阵的秩分别发言。但我会在这里完成的想法。
因此,该行空间的尺寸是独立的行数。我打这个电话河和美妙之处在于这种具有相同的尺寸。这个尺寸也是排名R.我能说的一句话是一件神奇的事情?列空间,行空间具有相同的尺寸。
独立行数等于独立列数。这对于一个巨大的矩阵来说简直是个奇迹,比如57×212,可能有40行。然后,会有40个独立的列。然后零空间和左零空间有剩下的维数。所以零空间的维数是N - R,因为,总的来说,它们的维数是N。
而这种具有尺寸M减去[R,因为他们共同的尺寸M.这就是用图片的尺寸投入,而且让我说多一点有关在一个单独的视频尺寸的想法。谢谢。
您还可以选择从下面的列表中的网站:
选择最佳的网站性能的中国网站(在中国或英文)。其他MathWorks的国家网站都没有从您的位置访问进行了优化。