从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
可分离方程可以由两个独立的积分来解,一个在t另一个在y。最简单的是dy / dt = y,当dy / y=dt。然后ln (y)=t + C。
好的。今天我们讲可分离变量方程。原则上,这些问题是最容易解决的。它们包括非线性方程,但它们有一个特殊的特征,使它们很容易,使它们很容易接近。这个特殊的性质是方程的右边分成t的函数,除以或乘以y的函数。
t和y在右边分开了。例如,dy/dt = y + t是不可分离的。它们很简单,但不可分离。可分离变量意味着我们可以把这两个分开来做一个f的积分和一个g的积分这样就可以了。
好的。的例子。假设f (y) = 1。然后我们得到了最简单的微分方程,dy/dt是t的函数,这就是微积分的目的。y是g的积分。
假设没有t,只有1 / f (y) g (t) = 1。然后把f (y)提出来。我对[?f ?]。
把dt移到这里,我只是对dt积分。所以右手边是t,左手边是我们要做的积分。这是解微分方程的最小工作量。
但问题是,当y和t分开时,我们只需要积分。这里是同时有g (t)和f (y)的情况,我强调一下这里发生了什么。
f (y)随着dy向上移动,dt随着g (t)向上移动。所以ig (t) dt等于f (y) dy,两边积分。
左边是y关于y的积分,右边是关于t的积分或者说哑变量s的积分,从0到t的积分,从y(0)到y (t)的积分。
这就是要做的两个积分。你会得到可分离方程的例子。你要做的是两个积分。
最后还有一个小问题。这是关于y的函数。但我通常希望微分方程的解是y等于某个值。
你会在例子中看到。我需要解出y因为这个式子不只是y,它会给出一些包含y的表达式。
我来举几个例子。让我举几个例子。你知道为什么它是正确的。好的。这里有一些例子。
我们来看看dy/dt = t / y的方程,显然是可分离变量。函数的f (g (t))就是t f (y)就是y,我把它们合并到y dy等于t dt。
我选了一个很简单的例子。现在两边积分从y(0)到y (t)从0到右边的t。
当然这是1/ 2t²。左边是1/ 2y²在这两个极限之间。我得到的积分是1/ 2y²。
上面是1/ 2y (t)²减去下面是1/ 2y(0)²等于右边是1/ 2t²。
所以你看,我们得到一个y的函数等于一个t的函数,方程就解出来了。
微分方程解出来了。但是我还没有找到y (t)等于某个东西的形式。但我能做到。我把这个移到另一边。所以它会带着一个正号跑到另一边。
然后消去1/2。然后开方。所以解y (t)等于根下y(0²+ t²)
这就是微分方程的解。也许我要对这个方程做一点小小的评论。因为开始寻找危险点是很重要的。事情不太对劲的奇异点。
这里的危险点显然是y = 0。如果我从y(0) = 0开始,那么我不确定是什么。如果从y(0) = 0开始,方程的解是什么?
从0 / 0开始。这是一种怎样的生活方式,从0 / 0开始。实际上,这个解仍然是正确的。如果y(0) = 0,就得到√t²。得到t。
所以y(0 = 0)允许解为y = t,这是一个解。如果y等于t,那么dy/dt等于1。右边t / y = t / t = 1。方程就解出来了。但我想说的是,当y(0) = 0时,会有一些奇怪的事情发生。奇怪的是,还有其他的解决方案。金宝搏官方网站
我想,y等于- t,可能更多。但如果y = - t,那么它的导数是- 1。在右边,我又得到了t / (- t - 1)方程就解出来了。这是一个完美的解决方案。这是第二个解。它是一个有多个解的方程。我们必须思考,什么时候才能保证只有一个解,这当然是我们想要的。
好的。我最好再举一个例子。或许逻辑斯蒂方程是一个很好的方程。这是可分的。这有点难。我来做一下。
dy/dt等于y - y²。逻辑斯蒂方程。线性项减去二次项。
这是可分离变量,因为g (t)部分是1。f (y)是多少?记住f (y)我要把它写在y的一边。但是它会出现在分母上。所以dy / (y - y²)= dt。我需要两边积分得到解y。
右边的积分当然很简单。得到t,但是左边的积分,我必须知道,或者查一下,或者算出1 / (y - y²)的积分。
我来简单讲一下积分,因为例子中经常有这个问题。当有一个多项式时对分母进行积分。有不同的方法。我们真正看到这类问题的时间是当我们讨论拉普拉斯变换的时候。
我将保存这个方法的细节。让我给出这个方法的名字。部分分式是一种积分方法。部分分式。
我在这里只讲它的意思。这意味着我想把1 / (y - y²)写成更好的形式。什么/ (y - y)²可以分成两个分数?这些是部分分式。
一个分数是,我将y - y²因式分解成y和1 - y部分分数将是某个数除以y另一个数除以1 - y。
这只是代数运算。部分分式就是代数。这不是微积分。所以我把y - y²分解成这两项。你看,如果我找到一个公分母,如果我把这两个分数放在一起,那么分母就是这个。分子,如果我选对了a和b,就是1。
对这个积分,我可以分别对a / y dy和b / (1 - y)积分,这很简单。部分分式,在你努力找到分式之后,你就可以做单独的积分了。这个积分就是a乘以log y,这可能是b乘以——可能是- b乘以log (1 - y)
所以我们整合。只要记住。对于这个特殊的方程,logistic方程,我们不需要用到部分分式。我们可以把它看成一个可分离变量方程。
但逻辑斯蒂方程的方法很简洁。更快,更好。我们刚刚介绍了z = 1 / y,我们研究了未知的1 / y,称之为z,找到了z的方程,它是线性的。
我们可以写出它的解。所以当我们能做到这一点时,它就赢了。但如果我们不知道怎么做,部分分式是系统的方法。一个分数,另一个分数。整合这些分数。把答案放在一起。然后,最后,这是一个关于y = t的积分。
为了完美地完成这个问题,我需要解出y作为t的函数,这就是1 / ybz的美妙之处。我们得到了一个简单的z的公式然后我们得到了y的公式,这个积分足够简单。然后我们要解出y的表达式。
好的。这是一个更严重的例子。这个例子非常简单。你可以做其它可分离变量方程的例子。y和t分别积分。好。谢谢你!
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