从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院
dy/ dt =一个y包含解决方案金宝搏官方网站y= eλtx在哪里λ和x是一个特征值/特征向量对吗一个。
这是关于解n个常系数线性方程组的关键视频这是关于解n个常系数线性方程组的关键视频。我怎么写这些方程?Y现在是一个向量,一个有n个分量的向量。不是一个标量,而是一个数字y,你要我在y上画个箭头吗?不,我不会再重复了。这是为了强调y是一个向量。它的一阶导数,它是一个一阶系统。系统意味着,对于yn,可以有并且将会有不止一个未知的y1 y2。
那么我们如何解这个方程组呢?然后矩阵乘以y,它们相等。y由这个矩阵耦合在一起。它们是耦合在一起的,我们怎么把它们分开呢?这就是特征值和特征向量的魔力。
特征向量就是以它们自己的方式运动的向量。所以当你有一个特征向量,就像你有一个一个的问题a变成了一个数字,。对于一个一般的向量,所有的东西都是混合在一起的。但是对于一个特征向量,所有东西都是一维的。对于这个特殊的方向,a变成了。
当然,像往常一样,我们需要n个特征向量因为我们想取初始值。就像我们处理幂函数一样,我们现在处理微分方程。我取初始向量,它可能不是一个特征向量。我会使它是特征向量的组合。我没问题因为我假设我有n个独立的特征向量。
现在我跟每个初始值C1 x1--是什么呢?会发生什么,如果我在X 1的方向是,那么A的所有杂乱消失。它的作用就像对矢量X1拉姆达1。这里是你会得到什么。你得到的C1,这只是一个号码,时间e将拉姆达1吨X1。你看那里,而不是权力,这是我们had--,我们不得不拉姆达1至第k电力,当我们在做一个矩阵的力量,现在我们正在解决微分方程。因此,我们收到一封电子邮件,以拉姆达1吨。
当然,接下来的叠加,我可以添加为一个,这是e将拉姆达2吨X2加等等,再加CNE的拉姆达NT XN的解决方案。你可以看到的时候,我可能会问,如果是这样的稳定吗?什么时候解决方案去0?金宝搏官方网站那么,当t变大,这一数字将降至0,提供拉姆达1为负。或提供它的实部为负。我们可以理解一块公式一切从这块。
我举个例子。取矩阵a,在矩阵的幂中——在那个视频中我取了一个马尔可夫矩阵——让我在这里取微分方程的等价项。这就得到了一个马尔可夫微分方程。现在我们来看A。
马尔可夫矩阵加1,但在微分方程形势的列,他们将加入到0。像减1和1,或像减2和2。因此,有1对我们力量的特征值,如特征值0微分方程。因为e将0吨是1。
不管怎样,我们来求它的特征值。第一个特征值是0。这就是我感兴趣的。这一列加0,这一列加0。它告诉我们有一个特征值是0。
它的特征向量是什么?可能是,因为如果我用这个矩阵乘以这个向量,我得到0。所以1是0。第二个特征值,迹是- 3 1 + 2一定是- 3。它的特征向量是——它可能是1 - 1。
所以我做了初步的工作。给定这个矩阵,我们有特征值和特征向量。现在我取u0,我们应该怎么说u0呢?U0——y0,开始是y (0)Y(0)等于某个数c1 * x1 + c2 * x2。是的,没问题,没问题。不管我们有什么,我们取这个——这个向量和这个特征向量的某个组合会得到y (0)
而现在T的Y为Cl e将0t-- e将拉姆达1吨次X1,对不对?你看,我们开始c1x1但时间t之后,它要么在lambda T和这里的C2。e将拉姆达2负3吨X2。这是一个马尔可夫过程的演变,连续马尔可夫过程。相比于矩阵的权力,这是向量的一个连续演变进化。
现在,我感兴趣的稳定状态。稳态是什么情况当t变大。为T变大,这一数字过得很快为0。在我们的马尔可夫矩阵的例子,我们有1/2的电力,并快步走到0。现在我们有一个减3,即变为零的指数。E至所述0吨是1。这e将0吨等于1使1是稳定状态的信号。没有什么变化,没有什么根据时间,只是坐在那里。所以,我有c1x1是稳定状态。
而X1是这样的。所以我在想什么?我在想,无论你如何开始,不管是什么的Y 0是,随着时间的推移,X2部分将会消失。如果你只有在比2的X1部分:1。如此反复,如果我们有Y1 Y2或我们拥有的东西在时间演变之间的运动,稳态is--这是稳定状态。
有一个微分方程的例子,它恰好有一个马尔可夫矩阵。对于马尔可夫矩阵,我们知道我们会有一个特征值在连续情况下和一个负特征值会随着时间的推移而消失。E ^ (- 3t)趋于0。好。
我想我可以在这集视频里再加一点,也就是解释为什么0是一个特征值无论何时——如果列加到0,- 1加1等于0。2 - 2 = 0。它告诉我们0是一个特征值。因为马尔可夫矩阵赋予列加上1和1是一个特征值。
我想我有两个例子。如果所有列加上一些-我该怎么说,对于和,s对于和-那么= s是一个特征值。这是马尔科夫矩阵的要点,s是1。每一列加到1然后= 1是一个特征值。对于这个视频,每一列加到0然后= 0是一个特征值。
还有,这是关于特征值的另一点,很好。a转置的特征值和a的特征值是一样的所以我也可以说如果a的所有行都加到s,那么等于s是一个特征值。我是说一个矩阵的特征值和转置的特征值是相同的。也许你想看看为什么是这样。
如果我想要一个矩阵的特征值,我看一下(I - a)的行列式这就得到了a的特征值如果我想要a转置的特征值,我会看到这个等于0,对吧?这等于0。那个方程会给我a转置的特征值就像这个给我a的特征值一样。
但是为什么它们是一样的呢?因为一个矩阵的行列式和它的转置的行列式是相等的。一个矩阵和它的转置有相同的行列式。我来检查一下A BC d的转置矩阵是A C B d两种情况的行列式都是(AD - BC) (AD - BC)更换不影响。
这个和这个是一样的。和是一样的。因此,我们可以看看加到s中的列或者加到s中的行。
这就解释了为什么这两个表述一起为真因为我可以通过观察行或者列得出这个结论。如果所有列都加到s,为什么,或者说所有行都加到s?我只是——我只是给你们看特征向量。
在这种情况下,A时代的特征向量是所有的人。假设矩阵是4乘4,如果我乘以所有的人,当你乘者的载体的矩阵,那么该行与的点积的总和,是加上加上加上,会是我们秒。这将是因为这里这首row--是A--第一排的增加秒。
这些数加到s,得到s,这些数加到s,又得到s。这些数加到s上,最后这些数加到s上,我有s乘以。
你同意吗?当所有的行加到s,我可以告诉你特征向量是什么,1,1,1,1。特征值,我可以看到,这是和s。所以,对于特殊矩阵,在这种情况下以马尔可夫的名字命名,我们能够对他们的特征值识别重要的事实,这是常见的行和等于1的权力和年代等于0在这个视频,让我降低的情况。
这里,每一列都加到0。没有发生行加到0的情况。我没有要求。我只是说,不管怎样,A或A转置有相同的特征值其中一个是0另一个是跟踪告诉我们的,那个。
当你有一个特定的矩阵你需要知道它的特征值的时候这些关于特征值的有用事实的集合就会出现。好的,谢谢你。
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