好的。这里有一个例子或多或少的乐趣。因为你会看到我试着去做。你可以做得更好。我叫滚动块的问题。只有在这个例子中,在我的演示中,这将是一个翻滚的书。
我将带一本书,神圣的书,把它扔在空中。我会把这三种不同的方式。问题是,是旋转的书稳定或不呢?让我告诉你三种方式,然后给你来自欧拉的三个方程。
这是三个方程。你会发现他们并不是线性的。这是角动量。所以这里有一个小背后的物理方程。但对我们来说,这些都是三个方程。
第一个扔将旋转短轴,只是这本书的厚度,也许一英寸。所以当我把,我现在要做的,你会看到如果我能扔我希望不要太紧张。它的,它是稳定的。这本书回到我摇摆不定。
当然,我的神经会给它一个小摆动,摆动会继续下去。它将只有中立稳定。摆动不消失。但是它不能成长为一个下跌。好的。这是一个轴,短轴。
然后我会把它也在长轴,这样翻。我想这也会是稳定的。最后,在中间的轴,中间长轴。注意的橡皮筋一起拿着这本书。所以不要打开页面。我们会看到,我认为,将不稳定。
同样的,把一个足球扔其他飞盘,无论你把。任何3 d对象有这三个轴:短,中,长轴。方程会告诉我们短和长轴应该给一个稳定的转向。和轴之间是不稳定的。
嗯,我们如何为我们的微分方程决定是否固定的点,一个固定的点,这是一个临界点,一个稳定的状态,我们必须找到这个稳态,然后为每一个稳态线性化。我们发现稳态的衍生品。这给了我们一个常数矩阵稳定状态。然后是特征值决定。
首先,找到关键点。第二,找到临界点的衍生品。第三,对于矩阵的衍生品,发现特征值并决定稳定性。这是一系列步骤。好的。我们第一次做过一个3×3的矩阵。也许是最后一次。好的。
让我,在我开始之前,我找到临界点,注意一些不错的属性。如果我用这个方程乘以x,这个由y,这个由z,并添加,会增加0。当有一个x, y,和z,我得到一个1 - 2和1它们增加0。所以x乘以dx dt。y乘以dy dt。z时间dz dt增加0。
这是一个重要的事实。告诉我事情的导数是0。事情将会是一个常数。所以我看到的导数,整个业务可能将一半的导数。x的平方,因为x²的导数的一半。导数是x dx dt。和y²和z的平方是导数为0。这条线就是这条线的导数。是0。这是一个常数。
毫无疑问,这可能是告诉我的总能量,动能,是恒定的。之后我把那本书悬而未决,我没有碰它。它做的事情。它不会改变能量,因为什么也没有发生。它只是。现在还有其他的——这是一个相当不错的事情。这是一个常数。
现在有另一种方式。如果我这个乘以2 x,我这个乘以y,并添加这两个,取消。所以2 dx dt - 2 x乘以第一个,和y乘以第二个为0。再一次,我看到的东西是恒定的。的导数的东西,这东西是x²+ y²半是一个常数。另外一个很好的事实。另一个量的守恒的。
我在太空飞行,这个量x²+ y²半不会改变。这类,涉及所有的xyz。当然这是一个球体的方程。所以在能量空间中,或在一个xyz的空间,我们的解决方案徘徊是一个球体。这是方程,我想,这是一个椭圆。有一个椭圆的球体,其实呆在椭圆。
事实上还有另一个椭圆,因为我可以乘这个2 z和这个y和补充道。然后这些会取消。xyz - 2 + 2 xyz。所以这也告诉我,它可能将z²+ 1/2 y²=常数。这是另一个椭圆。z²+ 1/2 y的平方。你看到了吗?如果我求导,我有2 z dz dt + y乘以dy dt。添加为0。导数是0。 The thing is a constant.
但是!但是,但是,但是!如果我减去这个这个,把这两个的区别。假设我把这个-这个。1/2 y的平方。所以,告诉我,x平方- z的平方是一个常数。哦,男孩!我还没有解决我的三个方程。但是我发现很多的解决方案。解决方案保持在球面上,里四处走动。 It also at the same time stays on that ellipse. And it stays on that ellipse. But this is not an ellipse, not an ellipse. That's the equation of a hyperbola. And that's why-- which, of course, goes off to infinity. And that's why the-- well, it goes off to infinity, but it has to stay on the sphere. It wanders. This will be responsible for the unstable motion.
教授———谁会做这个比我好得多,他的讲座在1803年,微分方程,正是这个。完整的小时告诉你一切滚筒。所以我要做示范和写下的主要事实和理解稳定,稳定的讨论。我准备继续稳定的讨论。
再次,这是我的三个方程。我们三个方程,所以我们将有一个3×3的矩阵。首先我必须找到临界点,这种运动的稳定状态。我怎么能把它扔,如果我把它完全保持一样扔吗?答案是,在轴。
如果我把这个完美,没有神经,就正如我把它旋转。x, y, z都将常数。现在,当我把它扔在轴。我在找,这是我的右手边。YZ - 2 xz, XY。我写的大写字母,因为那些都是我的稳定状态。现在我在找点,但是什么也没有发生。
如果这三个方程的右手边是0,我不会移动。xyz将保持他们在哪里。所以你能看见这三个方程的解决方金宝搏官方网站案吗?他们很特殊的方程。例如,当我得到一个解决方案,解决方案可能是1,0,0 /金宝搏官方网站
如果两个三个,如果y和z是0。y = 0, z是0,y和z是0,我得到0。当然这是一个稳定状态。x = 1, y, z等于0,0。稳态是绕一个轴旋转。实际上,我也可以一个- 1也会。所以我发现,实际上,两个稳定状态与y和z 0。然后用x和z会有两个0。这可能是,将中间的轴旋转。然后0 0 1或- 1,这将是第三轴旋转,长轴。
这是我的稳定状态。我猜,我想起来了,0,0,0也会是一个稳定状态。我认为我找到了。这些是xy的。这是x, y, z的稳定状态。好的。
现在一旦你知道稳定状态,这通常是有趣,因为它在这里。现在稍微不那么有趣的一步是找到所有的衍生品,发现雅可比矩阵的导数。所以我有三个方程。三个未知数,xyz。三个的右手边。我必须找到,我将有一个3×3的矩阵的衍生品。这雅可比矩阵。所以J的雅可比矩阵,矩阵的一阶导数。
进入矩阵的一阶导数什么?我写雅可比矩阵。这是雅各布的名字命名的。这是矩阵的一阶导数。在第一行第一个函数的导数对x, x = 0的导数。y的导数是z。z的导数是y。这些都是偏导数。他们告诉我第一个未知x多少行动。他们告诉我发生了什么事与临界点无论第一个未知的x。
好的。第二个方程的偏导数是什么?偏导数会进入这一行。所以x - 2 z。y导数为0。z导数是- 2 x。第三个,z导数是0。y导数在x, x导数是y。我发现的3 * 3矩阵九部分的一阶导数。好的。
它是在这些点,矩阵的特征值,决定稳定性。所以我把它写下来。特征值的J临界点x, y, z的我所需要的东西。这就是决定稳定性。
让我把第一个临界点。矩阵是什么?我必须弄清楚这一点的矩阵是什么?我会把1 0 0。1,0,0。如果x是1,所以我得到,这是在点x = 1。y和z是0。如果x是1,那么,这是一个- 2和1。我觉得其他的都是0。
所以它将矩阵的特征值决定稳定1,0,0定点。记住,这是扔在狭窄的轴。这是扔在短轴。好的。
矩阵的特征值呢?好吧,我可以在这里看到实际上是3×3。但实际上,所有这些0,,给了我一个特征值为0。所以我要有一个特征值0。然后我要从矩阵的特征值,两个两个地。所以我将有一个λ= 0。和两个特征值。
我看,我看到了什么?这是一个2×2的问题。我看到跟踪是0。0 + 0。我的特征值是一对+和-因为他们添加为0。他们将给行列式。这个矩阵的行列式是2。这个矩阵的行列式是2。好的。
所以它有一个积极的因素。良好的稳定性。但跟踪只是0。它不是很消极。这不是积极的。它只是在0。这将是一个中立的情况下稳定。将特征值——我有一个零特征值。从这两个两个地将特征值——会有√2次我和- 2的平方根乘以我。我认为这些特征值。
我看到他们都是虚构的。这是一个纯振荡。摆动使摆动。不会变得更糟。不会消失。在这一点上它是中性的稳定。所以中性稳定是我们希望看到的。是的。我认为,如果我打开长轴。好。 Did you see that brilliant throw? It's neutral stability. It came back without doing anything too bad.
我最后要做轴,我们都强烈地等待,中间的轴。和中间的轴是当这本书开始下跌时,它将是一个问题,是否我可以抓住它。我可以试一试吗?然后我可以找到,我期待在中性轴吗?我希望不稳定。实际上,我认为这将是一个鞍点。但会有一个积极的特征值。
将会有一个积极的特征值。负责暴跌,您将看到的狂暴。与点呆在这个奇迹远离双曲线——这是这一个现在我所做的。这个家伙,我把一个盒子,一个双框。这是不稳定的,我要证明。
准备好了吗?好的。哎呦。好的。用两只手抓住它。让我再试一次。关键是它开始暴跌,向四面八方扩散。就像一个足球,一个非常严重的足球。就像一个足球抛出。整个飞行破裂,球是一团糟。 Catching it is ridiculous. And I'm doing it with a book. Yes. You saw that by watching really closely. OK. Better if you do it.
我将结束与特征值。特征值在这一点上,我可以只是抹去我的矩阵吗?这是一个中立的稳定,在稳定的语言中心。这是一个中心,你就绕,圆又圆。但是现在我要把x和z是0和y是1。所以我可以消除矩阵,
如果x和z是0,y = 1,所以我得到1。我得到一个1。而不是其它。其他的都是0。好的。这是我的3×3的矩阵。它的特征是什么?什么是3×3的特殊矩阵的特征值?
这是现在的——这是一阶导数矩阵,雅可比矩阵,在这一点上,对应于中间的轴。好的。再一次,我看到一些0。我将减少2×2的矩阵,这个矩阵。真的,我有一个2×2的矩阵在xz,这个在y。那个家伙怎么样?
你认识我们看这个矩阵。所以矩阵,特征值我可以告诉你。我们可以看到跟踪是0。特征值添加到0。他们用行列式。行列式是- 1。所以这里的特征值是1和- 1。然后这家伙给0。
和它的特征值1的不稳定。的特征值1是不稳定的。好的。所以数学显示了实验显示:一个不稳定的旋转翻滚,中间的轴。谢谢你！
