来自系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特·斯特朗,麻省理工学院(MIT)
求和法则,乘积法则和链式法则会从的导数得到新的导数xn,罪(x) 和ex.微积分基本定理说,积分是导数的倒数。
好吧,这就是开始。我认为我们所知道的是值得思考的。微积分。微分方程是微积分的重要应用,所以看看微积分的哪一部分,微积分的哪些信息和思想,在微分方程中得到了应用是很有趣的。我将向你们展示我所看到的,无论如何,它不是所有的东西,它是一些基本的概念,但不是你们所学到的所有细节。所以我不是说忘记所有这些,而是专注于重要的事情。
好的。微积分就是我的主题。首先,你需要知道基本的导数。x ^ n的导数,sin和cos的导数。最重要的是,e ^ x的导数,也就是e ^ x, e ^ x的导数是e ^ x,这是一个很棒的方程,由e ^ x解出来,Dy / dt = y。
我们必须要做更多的事情。然后与指数相关的逆函数是对数。具有1 / x的特殊衍生物。好的。但你知道那些。其次,在这些特定事实中,您可以使用关键规则创建巨大函数数组的衍生工具。
F加g的衍生物是F加上G的衍生物的衍生物。衍生物是线性操作。产品规则FG Prime Plus GF Prime。商量规则。谁能记住这一点?
最重要的是,链条规则。该函数的衍生物,该函数链,复合功能是F关于G相对于X的G次衍生物的衍生物。这真的 - 它是真正打开功能或我们可以处理的功能的链条。
好的。然后是基本定理。基本定理包括导数和积分。它说一个是另一个的逆运算。函数积分的导数是这样的。
这是y,积分从0到x我不关心那个虚拟变量是什么。我可以 - 我会将这个虚拟变量改为t。任何。我不在乎。显示虚拟变量。
X是集成的限制。我不会讨论这一基本的定理,但它肯定是基本的,我会用它。也许这更好。我会立即使用基本的定理。
记住它是怎么说的。它说的是,如果你对一个函数积分,对它求导,你就会得到这个函数。我能把它应用到微分方程的一个关键例子上吗。让我给你们展示一下我想到的函数。我想要的函数,记作y,是从0到t的积分。
所以它是一个关于t的函数,时间,它是这个的积分,e ^ (t - s)某个函数。对于一个基本微分方程的解来说这是一个很好的公式。
有了这个,方程就解出来了dy / dt = y + q (t)当我看到这个方程的时候我们会再看到它,我们会推导出这个公式,但是现在我想用微积分基本定理来检验这个公式。当我们推导出这个公式时,它不会出错,因为我们的推导是正确的。但是,如果你把它代入微分方程,它就解出来了。
我想对它求导。那是我的工作。这就是我在这里做的原因,因为它使用了所有的规则。为了求导数,我注意到t出现在了通常的位置,它也在积分内。但这是一个简单的函数。
我可以把e ^ t提出来,把e ^ t提出来。e ^ t,我有一个函数t乘以另一个关于t的函数。
我要用乘法法则来证明这个乘积的导数其中一项是y另一项是q我可以把乘法法则应用到这个我从帽子里取出来的函数上吗,你们会再看到的。它是这个乘以这个的乘积。所以dy / dt的导数是,根据乘法法则求导数,这是e的。
另外,第一件事是第二次衍生的衍生物。现在我正在使用产品规则。它只是 - 你必须注意到e到T来到T两次,因为它在那里,它的衍生物是一样的。好的,这是什么衍生的?微积分的基本定理。
我们融合了一些东西,我想采取衍生品,所以我得到了一些东西。我得到e to the t t of t的tq。这是神圣的定理。你擅长吗?
让我们看看我们有什么。第一项正好是y,上面是什么因为当我对第一项求导时,f它没有改变,所以还是y,这里是什么?E ^ t乘以E ^ (- t)等于1。
e ^ t约掉了e ^ - t剩下q (t)就是我想要的。乘法法则中的这两项就是微分方程中的两项。我只是认为,正如你们看到的,需要用基本定理来求方框里的导数,就是括号里的。我只是喜欢基本定理的应用。
我们还需要一个微积分的话题。我们开始吧。它涉及到图像的切线。这个切线与图像相切。
这是一条直线,我们需要的是y的t +δt。采取任何功能,也许你宁愿我称为函数f。t一点一小超越函数,大约是函数在t +修正,因为它——f +δ,对吧?δf。
什么是delta f大约是什么?它大约是T时达到衍生物的衍生物。那个线上有很多符号,但表达了差分微积分的最基本事实。如果我用负符号将t的f放在这一侧,那么我有delta f。如果我划分该ΔT,那么相同的规则会说这是大约df dt。
这是微积分的基本思想,衍生物非常接近。在点t--点t的衍生物接近delta f的delta f。它在短时间内变化。好的,所以这是切线,因为它从这是恒定的术语开始。这是Delta T的函数,这是斜坡。
画一幅图。我在这里画一个图。我来画个图,哦,这是e ^ t的图,开始时斜率是1。我在这里画个斜率。
好的,切线,当然它在下面,不是下面。所以切线就是这条线。
这是切线。这是f的近似值,这里是t = 0。这是t = t,你看,如果我走一大步,我的线离曲线很远。
我们想要更接近。所以要想接近,我们必须考虑到弯曲。曲线在弯曲。关于弯曲,导数告诉我们什么?
也就是t²乘以二阶导数。一个一半。这里有一个1 / 2。所以这一项改变了切线,变成了切线抛物线。它注意到这一点的弯曲。这一点的二阶导数。
它向上弯曲。它并不完全遵循它,但也一样——比另一个好得多。这是直线。这是抛物线。这是函数。真正的一个。
好的。我就不复习这个理论了它引出了1 / 2,但你可以检验一下。最后,如果我们想做得更好呢?我们需要考虑三阶导数,然后第四阶导数等等,如果我们把所有这些衍生品,所有这些意味着,我们将功能因为这是一个很好的功能,e t。我们可以从了解它的高度,重新创建这个函数斜率、弯曲和所有其他的条款。
所以有很多无穷多的项。1 / 2,考虑1 / 2的好方法是,1 / 2的阶乘,2乘以1。因为这是1 / n !乘以t ^ n,非常小,乘以函数的n阶导数。和继续。
这被称为泰勒以泰勒命名的泰勒系列。一开始就是可怕的。这是可怕的,因为它有无数的术语。术语对于大多数函数来说,这些术语更加多重,你真的不想计算第n个衍生品。
对于e ^ t,我不介意计算n阶导数因为它仍然是e ^ t,但通常,这不是很实用。——非常实用。切线抛物线,很实用。高阶项,不太实用。
但是,这是美丽的,因为你看到了这种模式,这真的是数学是关于模式的,你在这里看到了更高,更高的术语模式。它们都适合那种模式,当你加起来所有的术语时,如果你有一个漂亮的功能,那么近似变得完美,你会有平等。
所以要结束这个讲义,所以提供了一个很好的功能。那些是数学的最佳功能,并且指数当然是其中之一。好的,这是微积分。嗯,部分微积分。谢谢你。
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