好的。这是世界上最快的方式解决微分方程。你会喜欢这种方法。首先我们必须了解方程我们能够解决的。线性常系数。我做了所有的系数1,但没有要改变这些问题,B, c,所以漂亮的左手边。
右边,我们还需要一些好。我们想要一个不错的功能。我会告诉你们这是不错的功能。所以我可以马上说,e的指数是不错的函数,当然可以。他们总是在这门课的中心。
举个例子,= e的圣这将是一个不错的功能。好的。关键是,我们正在寻找一个特定的解决方案,因为我们知道如何找到空的解决方案。金宝搏官方网站我们正在寻找这个方程特解。一个函数,函数,解决了这个方程右边e的圣。
关键是,我们知道要寻找什么。我们只是有一些系数。我们会发现,用这个方程。现在,你还记得我们寻找时,右边的是e的圣?然后寻找y等于某个常数乘以e圣,对吧?
当f (t),也许我会把等号。如果f (t)是e的圣,我只是寻找一个多。这是一个系数由把这个代入方程。你还记得结果吗?这是我们的最好的例子。
当我把这个方程,我会带来一个年代,二阶导数求导带来另一个年代。所以我得到s², s和1 * y e圣= e的圣之前我们做过。我们认为这是一个情况待定系数把它插到y。但是,我发现,y = 1 /。
这是一个不错的功能。e圣是一个很好的功能。另一个不错的功能是什么?现在,我移动到其他董事会,董事会,然后问,还有什么其他右手边我们可以解决吗?所以我要保持这个左边等于。所以e圣是1。
t呢?t呢?一个多项式。嗯,那只有一个词。所以一个特解这个方程是什么?所以我真的不得不说,什么是——尝试y特定=——现在,如果我看到一个t,那么我要寻找一个t y,我也会寻找一个常数。所以a + bt会寻找正确的形式。
让我来告诉你这是如何工作的。所以现在有两个待定系数。我们确定他们将进入方程,使其正确。所以尝试yp + bt在这个方程。好的,a + bt的二阶导数为0。的一阶导数是b。所以我得到一个b。和y本身就是一个+ bt。应该给t。
你看,我开始充电。我到这个方程。现在我可以确定匹配t和b。然后b必须是1。我们得到b等于1。所以t = t。但如果b是1,我需要一个b - 1取消。所以一个是- 1。我的回答是t - 1 + 1。t - 1。
如果我把进入方程,它会是正确的。我发现一个特解,这是我的目标,因为我知道如何找到空的解决方案。金宝搏官方网站然后在一起,完整的解决方案。所以我们学会了用多项式尝试什么。与t的权力,我们要包括权力和低权力,一路下来的常数。好的。
与指数,我们只需要包括指数。下一个什么?t正弦或余弦t怎么样?说正弦t。这种情况下工作。现在我们想尝试y ' ' + y ' + y =, sin t。好的。我们假设的形式做什么?
好吧,我可以告诉你很快。我们假设一个正弦t。我们还需要承担一个余弦t。规则是,我们尝试的事情,所以我会y y是什么我们总是发现。一些c1 cos t,和c2 sin (t。这样做。
事实上,如果我代入,我比赛双方,我确定c1和c2,金。我来评论,而不是做每一步。再一次,只是替代的步骤,使方程正确选择一个好的c1和c2。
我注意到,你还记得欧拉公式,余弦函数的组合e和e -它。所以在某种程度上,我们使用原来的例子。我们使用的这个例子中,e圣,有两个s, e, e -。我们有两个指数余弦。所以我不惊讶,有两个常量。
现在,最后,我不得不说,这是很好的函数的结束吗?很好功能包括指数多项式。这些都是指数,复指数。不,还有一个可能性,我们可以以一种简单的方式处理。
这可能是一个产品,现在我将向您展示如何如果是t乘以sin t。假设我们有右边,f (t),强迫项,是t t乘以sin。假设的形式是什么?这就是你所要知道的是什么形式承担?好的。
现在,t,所以我们有一个产品,一个多项式次正弦或余弦或指数。我可以做t e的圣。但是我要做什么当t出现吗?然后我必须尝试更多的东西,t。现在我有一个多项式乘以sin,余弦或指数。
我试着在加上——或者说,a + bt。我尝试产品。* cos t和c + dt * sin t。这是一样坏的情况我们将会看到。但它仍然是相当愉快的。我看到什么?
由于t,我需要承担多项式相同程度1。+ bt。不得不这样做,就像我当时t。但现在它乘以sin t。所以我必须允许正弦t和余弦t。
模式是,真的,我们完成了不错的功能列表。指数函数、多项式、指数多项式次。这就是一个很好的功能。一个多项式乘以一个指数。或者我们可以和那些家伙。我们可以有两个或三个多项式次指数,如有和另一个。这仍然是一个不错的功能。
真正的好功能的关键是什么?关键的一点是,为什么这群功能好吗?因为,如果我把它的导数,我得到相同的函数形式。如果我求导,右边,我用乘法法则,你看我这时间的导数。所以我有看一个正弦。我得到这个时间的导数,这只是一个b。
所以,它符合相同的形式,多项式* cos,正弦多项式次。这里我有一个情况我已经四个系数。但是他们会代入方程时脱落。你只是比赛条款和你的黄金。这真的是一个简单的方法。简单。
所以关于好的函数的关键是他们不错的拉普拉斯变换,他们好每一步。但良好的功能是一样的,我们发现作为我们最好的例子。不错的功能的关键在于——这是一个不错的功能的一种形式,因为它的导数具有相同的形式。这个函数的导数符合这一模式。然后二阶导数。所有的衍生品。当我们把它们放在方程,一切都符合。
,总是在最后一分钟的演讲,有一个特殊情况。有一个特殊情况。让我们记住那是什么。特殊情况时我们必须改变形式。为什么我们要这么做?
让我做y ' ' - y,说,是e t,特别之处是什么?特别的是,这个右边,这个f函数,解决了这个方程。如果我试着e t,它就会失败。尝试y = y e t。你看到的失败?
如果我把进入方程,二阶导数将取消y,我左边有0。失败,因为这样叫共振。这是一个共振的情况下,当右边的形式是一个空的解决方案在同一时间。它不能是一个特定的解决方案。它不会起作用,因为它也是一个空的解决方案。
你还记得如何逃脱共振吗?如何处理共振?共振会发生什么?解决方案是有点复杂,但它符合这里的一切。我们必须假设允许t。我们必须允许t。
所以多,这件事,我们必须允许——我假设——我需要,我需要一个t。哦,不。实际上,我不喜欢。我只是需要一个会做。t。
共振的时候,你通常会假设和t乘以额外因素。然后,我代入微分方程时,会发现Y很安全。我会找到Y完全安全。所以我这样做。这就是共振情况下,特殊情况的e t解决了这个。
所以我们需要一些新的东西。我们得到正确的新事物是有t。所以当我代入,我的二阶导数,减去本身,匹配e t。这将告诉我数量。
也许这是1/2或1。我不会这样做。也许我会离开,作为练习。把方程,确定资本y . OK。让我把它在一起。所以我们有一定的功能,我们将会看到,因为他们好了。每个方法适用于这些函数。
和这些函数是指数函数、多项式或指数多项式时间。我在指数,包括正弦和余弦。这些功能,我们知道表单。我们把它插到方程。我们让它匹配。我们选择这些待定系数。我们确定他们,使他们解决方程。然后我们有一个特定的解决方案。
所以这是最好的方程来解决找到特定的解决方案。金宝搏官方网站只要知道正确的形式和找到常数,它的特定的方程。好的。好,谢谢。
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