好的。这个视频是关于使用矩阵的特征向量和特征值的权力,我会告诉你为什么我们想要的一个矩阵。然后下一节将使用解微分方程的特征值和特征向量。两个大的应用程序。
这是第一个应用程序。让我记住的主要事实。如果,如果。这是一个重要的点。并不是每一个矩阵有n个独立的特征向量,将进入矩阵诉你记得V是特征向量矩阵,和我需要独立特征向量n V逆,公式正确。这就是关键公式使用特征值和特征向量。
和特征向量的情况我们可能不足时也许有一特征值是重复。两个特征值,也许只有一个特征向量。每个特征值至少有一个特征向量。但我们不可能有两个特征值时重复或我们可能。所以在某些情况下,这个公式并不适用。因为我必须能够把V逆,我需要n独立列。好的。
但是当它的工作原理,它确实有效。所以第n个权力,只是记忆,是Vλ逆,Vλ逆,n次。但每次我V逆和身份。所以我搬家。我λλλ,n,和V逆最后。这是第n个好结果的矩阵。
现在我要向您展示如何使用这个公式,如何使用特征值和特征向量。好的。我们知道我们可以采取的一个矩阵。首先,什么样的方程?有一个方程。这叫做一个差分方程。从k步一步k + 1 k + 2步。步骤一次一个,每次乘以a k步骤之后,我乘一个k乘以从原来的情况。
而不是一个微分方程,它是一个一步差分方程与情况。有解决方案。这是最快的解决方案的形式。的k次方,这就是我们想要的。只是写一个k,如果我们有一个大的矩阵,它的一百次方是荒谬的。但由于特征值和特征向量,我们有这个公式。
好的。但现在我想。让我试着把这个公式变成的东西你就自然明白了。我们知道发生了什么。如果情况是一个特征向量,如果情况是一个特征向量,这可能不会发生,因为只有n特征向量的方向。但如果它是一个特征向量,然后我们乘以λ,每一步,我们就有答案,λk乘以。
但是我们做什么也许不是一个特征向量的初始向量情况?我怎么继续?我怎么我最初开始时使用特征向量向量不是一个特征向量?答案是,这将是一个特征向量的组合。
因此这个公式真正开始。所以我把情况写成的组合特征向量。我可以做它,因为如果我有n个独立的特征向量,这将是一个基础。每个向量都可以写的基础。所以我想在特征向量的组合。
现在关键是我采取这些步骤u1, u1会什么?u1将澳元。所以我乘以A。所以当我乘以一个,会发生什么?这是重点。c1,λ1 x1 x1。这是一个特征向量。c2告诉我多少的第二特征向量。当我乘上一个,乘以λ2,等等,cnλn xn。这就是。每个特征向量走自己的路,我将它们添加在一起。
好的。和k次方呢?现在,英国会给我。如果我做这个k次时,又会发生什么呢?你见过我后做一次。如果我做k乘以,λ1 k乘以会发生繁殖其特征向量。
所以我要λ1的k次方。你看到了吗?每一步带来λ1的另一个因素。每一步带来λ2的另一个因素。让每一步——这就是答案。这就是答案,这个答案必须相同。我会做一个例子。
现在,我刚刚连续公式。我有最快的公式,但它不会帮助我很多。我有使用特征向量和特征值的公式。这里我有它,实际上,它是同样的事情写出来作为特征向量的组合。这是我的回答。这是我的答案,这是我的解决方案。就是这样。所以必须相同。
你想只是觉得一分钟为什么这个答案是一样的,答案?我们需要知道c是什么?c是来自情况。如果我写方程为c的——你明白我为c的一个方程吗?情况这是特征向量的组合。
这是一个矩阵乘法。的特征向量矩阵乘以向量系数c,对吧?这就是一个矩阵乘以一个向量。列,x,用数字c1, c2, cn。在这里。这是一样的。所以情况是Vc。所以c V逆情况。哦,那很好。告诉我们什么是系数,是什么数字,每个特征向量的存在情况。 This is the equation.
但是看起来,你看到V逆情况,这是第一部分的公式。我想将这个公式与那个。我采取一步认识到这部分的公式就是c。你可能想要考虑。再次运行这个视频看看。
现在我们怎么做?我们有λ。所以我照顾c,你可以说。现在我需要λ的k次方-λ1 k,λ2 k, kλn。这正是在这里。这样的因素是生产λ的k次方。
最后,这个因素,每个人的记忆。V是特征向量矩阵x1, x2, xn。当我乘V,这是一个矩阵乘以一个向量。这是一个矩阵。这是一个向量。我得到结合,加起来。我重构解决方案。
首先我情况分解成x。我λ相乘,然后把它们放在一起。我重建英国。我希望你喜欢。这个公式,它就像常识公式,正是代数公式,矩阵公式,说。
好的。我要做一个例子。让我完成一个例子。好的。这是一个矩阵的例子。一个=——这将是一个特殊的矩阵。我要做第一列加起来等于1,和我要做第二列加起来等于1。和我用正数。他们增加1。这就叫做一个马尔可夫矩阵。 So it's nice to know that name-- Markov matrix.
线性代数的美景之一是各种矩阵,正交矩阵,对称矩阵。我们将会看到越来越多的类型的矩阵。有时他们名字命名的人明白他们是重要的,发现他们的特殊属性。所以一个马尔可夫矩阵是一个矩阵的列加起来,也没有负数,负数。好的。这只是顺便。
但它告诉我们一些关于这里的特征值。我们可以发现这两个特征值。我们可以做行列式。你还记得如何找到特征值。行列式λ我- A将一些东西。很容易算出来。总有一个λ的平方,因为这是两个两个地,-跟踪。0.8和0.7是1.5λ,加上行列式。0.56 - 0.06是0.50、0.5。你设置为0。
得到结果的特征值——这是因素之一在λ- 1,λ- 1/2。酷的事实马尔可夫矩阵是λ= 1总是一个特征值。所以λ= 1是一个特征值。我们称之为λ1。和λ2是一个特征值,这取决于这些数字,这是1/2,0.5,0.5。这些特征值。(1 + 1/2是1.5。跟踪是0.8 + 0.7,1.5。我们对这两个特征值吗?是的。
然后我们找到的特征向量。我认为这特征向量是0.6,0.4。我可以检查。如果我乘,得到0.48 + 0.12 = 0.60,0.6是一样的。这与特征值1。我认为这个特征向量是1 - 1。也许这总是一个二阶马尔可夫矩阵。也许这就是总是第二特征向量。我认为这可能是好的。正确的。 OK. Yeah.
好吧。现在该做什么?现在该做什么?我想使用特征值和特征向量,,现在我要写出英国。如果我申请k乘以情况,我得到英国。和c1 1 k——这个λ1是1——0.6乘以它的特征向量,0.4 + c2,然而大部分的第二特征向量,乘以它的特征值,特征向量的1/2的k次方倍,第二特征向量,1 - 1。
这是一个公式。c1λ1的k次方x1 + c2λ2 k次方x2。和c1和c2将由情况决定的,我没有选择情况。我可以。但我可以,因为我想要适用于每一个情况,每一个的例子。这是问题的关键。k变大的话,会发生什么?如果马尔可夫矩阵乘法他一遍又一遍,这是发生在一个马尔可夫过程,一个马尔可夫过程吗?
这就像——实际上,整个谷歌网页排名算法是基于一个马尔可夫矩阵。这就像一个数十亿美元的公司,基于马尔可夫矩阵的性质。和你重复重复它。这就意味着谷歌是遍历网络,如果它经常看到一个网站,排名上升。
如果它从来没有看到我的网站,那么,搜索一些特殊的主题时,它永远不会来到你的网站,我的,我们没有获得排名。好的。这就为0。1/2的,快到0,迅速为0。所以,0。当然,完全保持它在哪里。这是一个稳定状态。
如果网页排名只有两个网站排名,如果谷歌排名只是两个网站吗?那么它的初始排名,他们不知道它是什么。但通过重复马尔可夫矩阵和0,这一部分权利,趋于0因为1/2的k次方,有排名,0.6,0.4。这就是谷歌,这第一个网站排名高于第二个。
好的。这一过程的一个例子是重复和重复,所以一个马尔可夫矩阵。这个业务加起来1意味着没有丢失。没有创建。你只是感动。在每一步,取一个马尔可夫的步骤。问题是,你在哪里?好吧,你继续前进,但这个向量告诉你多少时间你花的两种可能的位置。这个趋于0。
好的。权力的一个矩阵,一个马尔可夫矩阵。谢谢你!
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