积分是结合无限小数据点的数学度量。积分在所有工程学科中都有广泛的应用。
类型的积分
一般来说,积分可以是明确的或不确定的。定积分表示有上限和下限的函数,而不定积分表示无极限的函数。
下面的例子显示了不定积分:
$ $ I = \ int3x ^ 2 dx = x ^ 3 + c $ $
其中' c '是常数。
同一个方程的定积分必须有定义的极限。例如,对上式取极限[- 2,2]积分如下:
$ $ I = \ int_ {2} ^ 2 3 x ^ 2 dx = (2 ^ 3 + c) - (2 ^ 3 + c) = 16 $ $
您可以使用MATLAB®和符号数学工具箱™计算积分数值和象征性地。
积分应用实例
- 曲线下的面积:
你可以用积分来计算两条曲线下的面积。例如,我们定义两条曲线,
x1 = y ^ 2 - 1 $ $ $ $
$ $ x2 = 1 - y ^ 2 $ $
并计算曲线下面积:
$ $ =∫(x2-x1) dy = \压裂{y (y ^ 2 - 3) (2)} {3} $ $
曲线A下的面积是y的函数,因为我们没有指定极限。如果将极限定义为\([- 1,1]\),则整型返回值为:
$ $ = 8/3。$ $
- 物体的体积:
你可以用积分来计算物体的体积。例如,你可以从一个函数开始推导球体的体积:
$ $ f (x) =√(r ^ 2 x ^ 2) $ $
它描绘了一个半径为r的半圆。“将这个半圆绕x轴旋转会产生一个球体。
半圆的面积是
$ $ =πf (x) ^ 2 $ $
对这个区域进行极限积分[-r, +r]就能得到球面的体积:
∫_{-r}^{+r} dx=∫_{(4πr^3)}{3}$$
- 运动物体的速度:
你可以通过求物体加速度对时间的定积分来求物体的速度,因为加速度被简单地定义为速度随时间的变化率。
$ $∆韦尔=∫Acc \;dt $ $
计算积分的技巧
你可以用以下方法计算积分:
- 辛普森交
- Lobatto交
- Gauss-Kronrod交
有关积分的数字和符号计算的更多信息,请参阅MATLAB®和符号数学工具箱™。