关于被动性和被动性指标

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在过程控制、远程操作、人机界面和系统网络等应用中，被动控制通常是安全要求的一部分。一个系统是<年代pan class="emphasis">被动如果它不能自己产生能量，只能消耗最初储存在它里面的能量。更一般地说，如果I/O映射平均增加了输出，那么它就是被动的<年代pan class="emphasis">y需要增加投入<年代pan class="emphasis">u．

例如，PID控制器是被动的，因为控制信号(输出)与错误信号(输入)的方向相同。但是带有延迟的PID控制器并不是被动的，因为控制信号可以从误差的相反方向移动，这是不稳定的潜在原因。

大多数物理系统是被动的。无源性定理认为两个严格无源系统的负反馈互联是无源且稳定的。因此，对无源系统加强控制器的无源性是可取的，或者是<年代pan class="emphasis">使钝化被动系统的操作者，如汽车的驾驶员

在实践中，无源性很容易被传感器、执行器和通信延迟带来的相位滞后破坏。这些问题导致了对无源性定理的扩展，该定理考虑了无源性的过度或不足，无源性的频率依赖测量，以及无源性和小增益特性的混合。

被动系统

一个线性系统<年代pan class="inlineequation"> $G （年代）$ 如果所有输入/输出轨迹都是被动的<年代pan class="inlineequation"> $y （ t ）＝ G u （ t ）$ 满足:

$\int_{0}^{T} y^{T} （ t ） u （ t ） d t > 0 ， \forall T > 0 ，$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $y^{T} （ t ）$ 表示的转置<年代pan class="inlineequation"> $y （ t ）$ ．对于物理系统，积分通常表示进入系统的能量。因此，被动系统是只消耗或耗散能量的系统。因此，无源系统本质上是稳定的。

在频域，无源性等价于“正实”条件:

$G （ j ω ） + G^{H} （ j ω ） > 0 ， \forall ω \in R ．$

对于SISO系统，这是说<年代pan class="inlineequation"> $R e （ G （ j ω ）） > 0$ 所以整个奈奎斯特图都在右半平面上。

Nyquist (tf([1 3 5]，[5 6 1]))

图中包含一个轴对象。axis对象包含一个类型为line的对象。这个对象表示untitled1。

无源系统奈奎斯特图

被动系统具有以下控制目的的重要特性:

无源系统的逆系统是无源的。
无源系统的平行互连是无源的(见无源系统的并联互连)．
无源系统的反馈互连是无源的(见无源系统的反馈互连)．

因此，在控制具有未知或可变特性的无源系统时，需要采用无源反馈律来保证闭环稳定性。考虑到延迟和显著的相位滞后破坏了无源性，这一任务可能变得困难。

定向被动指数

对于稳定性而言，知道一个系统是否是被动的并不能说明全部情况。我们常常希望知道它在多大程度上是被动的，或在多大程度上不是被动的。此外，在装置中无源性的不足可以通过控制器中无源性的过剩来补偿，反之亦然。因此，衡量被动性的过剩或不足是很重要的，这就是被动性指数发挥作用的地方。

不同的应用程序有不同类型的索引。一类指标度量输入/输出空间某一特定方向上的被动性的过剩或不足。例如，输入无源性指数被定义为最大<年代pan class="inlineequation"> $ν$ 这样:

$\int_{0}^{T} y^{T} （ t ） u （ t ） d t > ν \int_{0}^{T} u^{T} （ t ） u （ t ） d t ，$

为所有的轨迹<年代pan class="inlineequation"> $y （ t ）＝ G u （ t ）$ 和<年代pan class="inlineequation"> $T > 0$ ．系统G是<年代pan class="emphasis">严格无源输入(ISP)当<年代pan class="inlineequation"> $ν > 0$ 而缺乏被动的时候<年代pan class="inlineequation"> $ν < 0$ ．输入无源性指数也称为输入前馈无源性(IFP)指数，因为它对应于使系统无源所需要的最小静态前馈动作。

在频域，输入无源性指数的特征为:

$ν ＝ \frac{1}{2} \underset{ω}{最小值} λ_{最小值} （ G （ j ω ） + G^{H} （ j ω ）），$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $λ_{最小值}$ 为最小特征值。在SISO案例中，<年代pan class="inlineequation"> $ν$ 为奈奎斯特曲线最左侧点的横坐标。

类似地，输出无源性指数被定义为最大<年代pan class="inlineequation"> $ρ$ 这样:

$\int_{0}^{T} y^{T} （ t ） u （ t ） d t > ρ \int_{0}^{T} y^{T} （ t ） y （ t ） d t ，$

为所有的轨迹<年代pan class="inlineequation"> $y （ t ）＝ G u （ t ）$ 和<年代pan class="inlineequation"> $T > 0$ ．系统G是<年代pan class="emphasis">输出严格被动(OSP)<年代pan class="inlineequation"> $ρ > 0$ 而缺乏被动的时候<年代pan class="inlineequation"> $ρ < 0$ ．输出无源性指标也称为输出反馈无源性(OFP)指标，因为它对应于使系统无源所需要的最小静态反馈动作。

在频域，a的输出无源性指数<年代pan class="emphasis">最小相位系统<年代pan class="inlineequation"> $G （年代）$ 是由:

$ρ ＝ \frac{1}{2} \underset{ω}{最小值} λ_{最小值} （ G^{- 1} （ j ω ） + G^{- H} （ j ω ））．$

在SISO案例中，<年代pan class="inlineequation"> $ρ$ 的Nyquist曲线的最左边点的横坐标是<年代pan class="inlineequation"> $G^{- 1} （年代）$ ．

将这两个概念结合起来就得到了最大的I/O无源性指数<年代pan class="inlineequation"> $τ$ 这样:

$\int_{0}^{T} y^{T} （ t ） u （ t ） d t > τ \int_{0}^{T} （ u^{T} （ t ） u （ t ） + y^{T} （ t ） y （ t ）） d t ．$

一个系统<年代pan class="inlineequation"> $τ > 0$ 是<年代pan class="emphasis">非常严格的被动．更一般地，我们可以在方向上定义指标<年代pan class="inlineequation"> $δ 问$ 作为最大的<年代pan class="inlineequation"> $τ$ 这样:

$\int_{0}^{T} y^{T} （ t ） u （ t ） d t > τ \int_{0}^{T} {（ \begin{array}{c} y （ t ） \\ u （ t ） \end{array} ）}^{T} δ 问（ \begin{array}{c} y （ t ） \\ u （ t ） \end{array} ） d t ．$

输入、输出和I/O无源性指数都对应于的特殊选择<年代pan class="inlineequation"> $δ 问$ 被统称为<年代pan class="emphasis">定向被动指数．您可以使用getPassiveIndex为线性系统以参数或FRD形式计算这些指标。你也可以用passiveplot绘制输入、输出或I/O无源性指数作为频率的函数。这个图提供了对哪个频带具有较弱或较强无源性的洞察。

有许多结果量化输入和输出无源性指数如何通过并联、串联或反馈互连传播。也有量化的结果，输入或输出无源性的过剩需要补偿一个给定的无源性不足的反馈环路。更多细节,请参阅:

相对被动指标

的<年代pan class="emphasis">积极的现实被动的条件:

$G （ j ω ） + G^{H} （ j ω ） > 0 \forall ω \in R ，$

等价于小增益条件:

$| | （我 - G （ j ω ））（我 + G （ j ω ））^{- 1} | | < 1 \forall ω \in R ．$

因此，我们可以利用的峰值增益<年代pan class="inlineequation"> $（我 - G ）（我 + G ）^{- 1}$ 作为被动性的衡量标准。具体地说,让

$R ：＝ {为（我 - G ）（我 + G ）^{- 1} 为}_{\infty} ．$

然后<年代pan class="inlineequation"> $G$ 被动是否当且仅当<年代pan class="inlineequation"> $R < 1$ ,<年代pan class="inlineequation"> $R > 1$ 表示缺乏被动。请注意,<年代pan class="inlineequation"> $R$ 有限是否当且仅当<年代pan class="inlineequation"> $我 + G$ 是最小相位。我们将<年代pan class="inlineequation"> $R$ 随着<年代pan class="emphasis">相对被动指标,或r指标。在时域中，r指数最小<年代pan class="inlineequation"> $r > 0$ 这样:

$\int_{0}^{T} | | y - u | |^{2} d t < r^{2} \int_{0}^{T} | | y + u | |^{2} d t ，$

为所有的轨迹<年代pan class="inlineequation"> $y （ t ）＝ G u （ t ）$ 和<年代pan class="inlineequation"> $T > 0$ ．当<年代pan class="inlineequation"> $我 + G$ 是最小阶段，你可以使用吗passiveplot绘制…的主要收益<年代pan class="inlineequation"> $（我 - G （ j ω ））（我 + G （ j ω ））^{- 1}$ ．这个图完全类似于奇异值图(见σ)，并显示了被动程度如何随频率和方向变化。

下面的结果类似于反馈回路的小增益定理。给出了一个简单的r指标条件，用以补偿一个系统的无源性不足而使另一个系统的无源性过剩。

小r定理:让<年代pan class="inlineequation"> $G_{1} （年代）$ 和<年代pan class="inlineequation"> $G_{2} （年代）$ 是两个具有无源r指标的线性系统<年代pan class="inlineequation"> $R_{1}$ 和<年代pan class="inlineequation"> $R_{2}$ ,分别。如果<年代pan class="inlineequation"> $R_{1} R_{2} < 1$ ，然后是负反馈的相互联系<年代pan class="inlineequation"> $G_{1}$ 和<年代pan class="inlineequation"> $G_{2}$ 是稳定的。

另请参阅

isPassive|<年代pan itemscope itemtype="//www.tatmou.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">getPassiveIndex|<年代pan itemscope itemtype="//www.tatmou.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">passiveplot

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