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关于行业界限和行业指数

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圆锥的行业

在最简单的形式中，圆锥扇形是由两条线分隔的二维区域，<年代pan class="inlineequation"> $y ＝一个 u$ 和<年代pan class="inlineequation"> $y ＝ b u$ ．

阴影区域以不等式为特征<年代pan class="inlineequation"> $（ y - 一个 u ）（ y - b u ） < 0$ ．更一般地，任何这样的扇区都可以参数化为:

${（ \begin{array}{c} y \\ u \end{array} ）}^{T} 问（ \begin{array}{c} y \\ u \end{array} ） < 0 ，$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $问$ 为2x2对称不定矩阵(<年代pan class="inlineequation"> $问$ 有一个正特征值和一个负特征值）。我们叫<年代pan class="inlineequation"> $问$ 的<年代pan class="emphasis">部门矩阵．这个概念可推广到高维。在n维空间中，圆锥扇形是一个集合:

$年代＝｛ z \in R^{N} ： z^{T} 问 z < 0 ｝，$

在哪里<年代pan class="inlineequation"> $问$ 又是一个对称不定矩阵。

部门界限

扇区边界是对系统行为的约束。增益约束和无源性约束是扇区边界的特例。如果适用于所有非零输入轨迹<年代pan class="inlineequation"> $u （ t ）$ ，输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $z （ t ）＝（ H u ）（ t ）$ 线性系统的<年代pan class="inlineequation"> $H （年代）$ 满足：

$\int_{0}^{T} z^{T} （ t ）问 z （ t ） d t < 0 ， \forall T > 0 ，$

然后给出了系统的输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $H$ 位于带有矩阵的圆锥扇区<年代pan class="inlineequation"> $问$ ．选择不同的<年代pan class="inlineequation"> $问$ 矩阵对系统的响应施加不同的条件。例如，考虑轨迹<年代pan class="inlineequation"> $y （ t ）＝（ G u ）（ t ）$ 和以下值:

$H （年代）＝（ \begin{array}{c} G （年代） \\ 我 \end{array} ），问＝（ \begin{array}{cc} 0 & - 我 \\ - 我 & 0 \end{array} ）．$

这些值对应于扇区边界:

$\int_{0}^{T} {（ \begin{array}{c} y （ t ） \\ u （ t ） \end{array} ）}^{T} （ \begin{array}{cc} 0 & - 我 \\ - 我 & 0 \end{array} ）（ \begin{array}{c} y （ t ） \\ u （ t ） \end{array} ） d t < 0 ， \forall T > 0 ．$

这个扇区边界等价于的被动条件<年代pan class="inlineequation"> $G （年代）$ ：

$\int_{0}^{T} y^{T} （ t ） u （ t ） d t > 0 ， \forall T > 0 ．$

换言之，无源性是系统上的一个特定扇区，其定义如下：

$H ＝（ \begin{array}{c} G \\ 我 \end{array} ）．$

频域条件

因为时域条件必须对所有条件都成立<年代pan class="inlineequation"> $T > 0$ ，推导等效的频域界限需要一点谨慎，而且并非总是可能的。让我们来看看以下几点：

$问＝ W_{1}^{T} W_{1} - W_{2}^{T} W_{2}$

不定矩阵的（任意）分解<年代pan class="inlineequation"> $问$ 分为正反两部分。什么时候<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H （年代）$ 为平方且相位最小(无不稳定零点)，则时域条件为:

$\int_{0}^{T} （ H u ）（ t ）^{T} 问（ H u ）（ t ） d t < 0 ， \forall T > 0$

等价于频域条件:

$H （ j ω ）^{H} 问 H （ j ω ） < 0 \forall ω \in R ．$

因此，检查实际频率的扇区不平等性就足够了。利用<年代pan class="inlineequation"> $问$ ，这也相当于：

${为（ W_{1}^{T} H ）（ W_{2}^{T} H ）^{- 1} 为}_{\infty} < 1 ．$

请注意,<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H$ 是广场<年代pan class="inlineequation"> $问$ 具有与中的输入通道一样多的负特征值<年代pan class="inlineequation"> $H （年代）$ ．如果不满足这个条件，(一般情况下)仅仅看真实频率是不够的。还要注意，如果<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H （年代）$ 为正方形，则它必须是该扇区必须保持的最小相位。

这个频域特性是<一个href="//www.tatmou.com/ch/help/control/ref/lti.sectorplot.html" class="a">扇形地块. 明确地扇形地块绘制的奇异值<年代pan class="inlineequation"> $（ W_{1}^{T} H （ j ω ））（ W_{2}^{T} H （ j ω ））^{- 1}$ 作为频率的函数。当且仅当最大奇异值小于1时，扇区边界满足。此外，该图还包含有关满足或违反扇区界限的频带的有用信息，以及满足或违反扇区界限的程度。

例如，检查一个特定扇区的2-输出2-输入系统的扇区图。

rng（4，<年代pan style="color:#A020F0">“旋风”); H=rss（3,4,2）；Q=[-5.12 2.16-2.04 2.17 2.16-1.22-0.28-1.11-2.04-0.28-3.35 0.00 2.17-1.11 0.00 0.18]；地段（H，Q）

图中包含一个坐标轴。轴线包含2个线型对象。这个对象表示H。

由图可知。的最大奇异值<年代pan class="inlineequation"> $（ W_{1}^{T} H （ j ω ））（ W_{2}^{T} H （ j ω ））^{- 1}$ 在约0.5 rad/s以下超过1，且在约3 rad/s的窄带内。因此，H不满足所代表的扇区界限问．

相对行业指数

我们可以将相对无源性指数的概念推广到任意扇区。让<年代pan class="inlineequation"> $H （年代）$ 成为LTI系统，并让：

$问＝ W_{1}^{T} W_{1} - W_{2}^{T} W_{2} ， W_{1}^{T} W_{2} ＝ 0$

是的正交分解<年代pan class="inlineequation"> $问$ 分为其正、负两部分，这一点很容易从舒尔分解得到<年代pan class="inlineequation"> $问$ 这个<年代pan class="emphasis">相对行业指数 $R$ ，或R指数，定义为最小值<年代pan class="inlineequation"> $r > 0$ 这样，对于所有输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $z （ t ）＝（ H u ）（ t ）$ ：

$\int_{0}^{T} z^{T} （ t ）（ W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2} ） z （ t ） d t < 0 ， \forall T > 0 ．$

因为增加<年代pan class="inlineequation"> $r$ 使<年代pan class="inlineequation"> $W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}$ 更消极的是，不平等通常被满足<年代pan class="inlineequation"> $r$ 足够大。但是，也有无法满足的情况，在这种情况下，r指数为<年代pan class="inlineequation"> $R ＝ + \infty$ . 显然，当且仅当<年代pan class="inlineequation"> $R \leq 1$ ．

为了理解r指数的几何解释，考虑带矩阵的锥族<年代pan class="inlineequation"> $问（ r ）＝ W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2}$ .在2D中，圆锥体的倾斜角度<年代pan class="inlineequation"> $θ$ 与<年代pan class="inlineequation"> $r$ 通过

$棕褐色的（ θ ）＝ r \frac{为 W_{2} 为}{为 W_{1} 为}$

（见下图）。更一般地说，<年代pan class="inlineequation"> $棕褐色的（ θ ）$ 与…成比例<年代pan class="inlineequation"> $R$ ．因此，给定一个带矩阵的圆锥扇形<年代pan class="inlineequation"> $问$ ，一个R-索引值<年代pan class="inlineequation"> $R < 1$ 意味着我们可以减少<年代pan class="inlineequation"> $棕褐色的（ θ ）$ （缩小圆锥体）一倍<年代pan class="inlineequation"> $R$ 在一些输出轨迹之前<年代pan class="inlineequation"> $H$ 离开圆锥扇形。类似地，一个值<年代pan class="inlineequation"> $R > 1$ 意味着我们必须增加<年代pan class="inlineequation"> $棕褐色的（ θ ）$ （加宽圆锥体）一倍<年代pan class="inlineequation"> $R$ 要包括的所有输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $H$ 。这显然使R指数成为一个相对的指标，用来衡量<年代pan class="inlineequation"> $H$ 适合于特定的圆锥扇形。

在图中,

$d_{1} \frac{| W_{1}^{T} z |}{为 W_{1} 为} ， d_{2} \frac{| W_{2}^{T} z |}{为 W_{2} 为} ， R ＝ \frac{| W_{1}^{T} z |}{| W_{2}^{T} z |} ，$

和

$棕褐色的（ θ ）＝ \frac{d_{1}}{d_{2}} ＝ R \frac{为 W_{2} 为}{为 W_{1} 为} ．$

什么时候<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H （年代）$ 为平方，相位最小，则r指数在频域中也可表示为最小<年代pan class="inlineequation"> $r > 0$ 以便：

$H （ j ω ）^{H} （ W_{1}^{T} W_{1} - r^{2} W_{2}^{T} W_{2} ） H （ j ω ） < 0 \forall ω \in R ．$

使用初等代数，这将导致：

$R ＝ \underset{ω}{最大值} 为（ W_{1}^{T} H （ j ω ））（ W_{2}^{T} H （ j ω ））^{- 1} 为．$

换句话说，r指数是(稳定的)传递函数的峰值增益<年代pan class="inlineequation"> $Φ （年代）：＝（ W_{1}^{T} H （年代））（ W_{2}^{T} H （年代））^{- 1}$ ，以及<年代pan class="inlineequation"> $Φ （ j w ）$ 可以看作是每个频率的“主要”r指标。这也解释了为什么绘制R-index和频率看起来像一个奇异值图(参见<一个href="//www.tatmou.com/ch/help/control/ref/lti.sectorplot.html" class="a">扇形地块).相对行业指数和系统收益之间有着完全的相似性。然而，请注意，这种类比只适用于以下情况：<年代pan class="inlineequation"> $W_{2}^{T} H （年代）$ 是平方和最小相位。

定向扇区指数

同样，我们可以将方向无源性指数的概念推广到任意扇区。给定一个带矩阵的圆锥扇区<年代pan class="inlineequation"> $问$ ，和一个方向<年代pan class="inlineequation"> $δ 问$ ，定向扇区指数最大<年代pan class="inlineequation"> $τ$ 这样，对于所有输出轨迹<年代pan class="inlineequation"> $z （ t ）＝（ H u ）（ t ）$ ：

$\int_{0}^{T} z^{T} （ t ）（问 + τ δ 问） z （ t ） d t < 0 ， \forall T > 0 ．$

系统的方向无源性指标<年代pan class="inlineequation"> $G （年代）$ 对应于：

$H （年代）＝（ \begin{array}{c} G （年代） \\ 我 \end{array} ），问＝（ \begin{array}{cc} 0 & - 我 \\ - 我 & 0 \end{array} ）．$

方向性行业指数衡量的是我们需要在多大程度上让行业朝着这个方向发展<年代pan class="inlineequation"> $δ 问$ 使其紧密地围绕<年代pan class="inlineequation"> $H$ .当且仅当方向指数为正时，满足扇区界限。

共同部门

有许多方法可以指定扇区边界。接下来我们回顾常见的表达式并给出相应的系统<年代pan class="inlineequation"> $H$ 和扇区矩阵<年代pan class="inlineequation"> $问$ 用于的标准格式getSectorIndex和扇形地块：

$\int_{0}^{T} （ H u ）（ t ）^{T} 问（ H u ）（ t ） d t < 0 ， \forall T > 0 ．$

为了简单起见，这些描述使用以下符号:

$为 x 为_{T} ＝ \int_{0}^{T} 为 x （ t ）为^{2} d t ，$

省略<年代pan class="inlineequation"> $\forall T > 0$ 要求

被动性

另请参阅
getSectorCrossover|<年代pan itemscope itemtype="//www.tatmou.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">getSectorIndex|<年代pan itemscope itemtype="//www.tatmou.com/help/schema/MathWorksDocPage/SeeAlso" itemprop="seealso">扇形地块

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