数学公式gydF4y2Ba

质量的位置gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$是gydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$，以横坐标表示gydF4y2Ba $${\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{1gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$和垂直坐标gydF4y2Ba $${\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$。质量gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$由重力引起的势能是gydF4y2Ba $$\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$。弹簧的势能gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$是gydF4y2Ba $$\mathrm{kgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba（gydF4y2Ba\mathrm{dgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{）gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}/gydF4y2Ba\mathrm{2gydF4y2Ba}$$,在那里gydF4y2Ba $$\mathrm{dgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$是质量之间的弹簧长度吗gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$和质量gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$$。以锚点1为质量0的位置，锚点2为质量的位置gydF4y2Ba $$\mathrm{ngydF4y2Ba}+gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}$$。前面的能量计算表明弹簧的势能gydF4y2Ba $$\mathrm{我gydF4y2Ba}$$是gydF4y2Ba

$$\mathrm{EgydF4y2Ba}\mathrm{ngydF4y2Ba}\mathrm{egydF4y2Ba}\mathrm{rgydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{ygydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba＝gydF4y2Ba\frac{\mathrm{kgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba（gydF4y2Ba为gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba为gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{）gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}}{\mathrm{2gydF4y2Ba}}$$。gydF4y2Ba

将这个势能问题重新表述为二阶锥规划问题需要引入一些新的变量，如Lobo中所述gydF4y2Ba［1］gydF4y2Ba。创建变量gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$等于这一项的平方根gydF4y2Ba $$\mathrm{EgydF4y2Ba}\mathrm{ngydF4y2Ba}\mathrm{egydF4y2Ba}\mathrm{rgydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{ygydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $$\mathrm{egydF4y2Ba}$$为单位列向量gydF4y2Ba $$(gydF4y2Ba\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{0gydF4y2Ba}}{\mathrm{1gydF4y2Ba}}］gydF4y2Ba$$。然后gydF4y2Ba $${\mathrm{xgydF4y2Ba}}_{\mathrm{2gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba＝gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{TgydF4y2Ba}}\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$。这个问题变得gydF4y2Ba

$$\underset{\mathrm{xgydF4y2Ba}，gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}}{\mathrm{最小值gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\underset{\mathrm{我gydF4y2Ba}}{\sum gydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{TgydF4y2Ba}}\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba+gydF4y2Ba为gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}{为gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}）gydF4y2Ba。gydF4y2Ba$$（1）gydF4y2Ba

现在考虑gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}$$作为一个自由向量变量，不由前面的方程给出gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$。结合两者的关系gydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$和gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$在新的圆锥约束集中gydF4y2Ba

$$为gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba为gydF4y2Ba-gydF4y2Ba\mathrm{lgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba\le gydF4y2Ba\sqrt{\frac{\mathrm{2gydF4y2Ba}}{\mathrm{kgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba}}\mathrm{tgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba。gydF4y2Ba$$(2）gydF4y2Ba

目标函数的变量还不是线性的，正如所要求的gydF4y2BaconeproggydF4y2Ba。引入一个新的标量变量gydF4y2Ba $$\mathrm{ygydF4y2Ba}$$。注意这个不等式gydF4y2Ba $$为gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}{为gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}\le gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}$$等于不等式吗gydF4y2Ba

$$为gydF4y2Ba(gydF4y2Ba\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{2gydF4y2Ba}\mathrm{tgydF4y2Ba}}{\mathrm{1gydF4y2Ba}-gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}}］gydF4y2Ba为gydF4y2Ba\le gydF4y2Ba\mathrm{1gydF4y2Ba}+gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}$$。（3)gydF4y2Ba

现在的问题是最小化gydF4y2Ba

$$\underset{\mathrm{xgydF4y2Ba}，gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}，gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}}{\mathrm{最小值gydF4y2Ba}}（gydF4y2Ba\underset{\mathrm{我gydF4y2Ba}}{\sum gydF4y2Ba}\mathrm{ggydF4y2Ba}\mathrm{米gydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba{\mathrm{egydF4y2Ba}}^{\mathrm{TgydF4y2Ba}}\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba+gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$（4）gydF4y2Ba

受圆锥约束的gydF4y2Ba $$\mathrm{xgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$和gydF4y2Ba $$\mathrm{tgydF4y2Ba}（gydF4y2Ba\mathrm{我gydF4y2Ba}）gydF4y2Ba$$(2)和附加的圆锥约束(3)。圆锥约束(3)确保gydF4y2Ba $$为gydF4y2Ba\mathrm{tgydF4y2Ba}{为gydF4y2Ba}^{\mathrm{2gydF4y2Ba}}\le gydF4y2Ba\mathrm{ygydF4y2Ba}$$。因此，问题(4)等价于问题(1)。gydF4y2Ba

问题(4)中的目标函数和锥约束适用于gydF4y2BaconeproggydF4y2Ba。gydF4y2Ba

MATLAB®配方gydF4y2Ba

定义六个弹簧常数gydF4y2Ba $$\mathrm{kgydF4y2Ba}$$，六个长度常数gydF4y2Ba $$\mathrm{lgydF4y2Ba}$$，五个质量gydF4y2Ba $$\mathrm{米gydF4y2Ba}$$。gydF4y2Ba

k = 40 * (1:6);L = [1 1/2 1 2 1/2];M = [2 1 3 2 1];g = 9.807;gydF4y2Ba

定义数学问题变量对应的优化变量。为简便起见，设锚点为两个虚质量点gydF4y2Bax (1:)gydF4y2Ba和gydF4y2Bax(最终,:)gydF4y2Ba。这个公式允许每个弹簧在两个物体之间伸展。gydF4y2Ba

Nmass = length(m) + 2;gydF4y2Ba% k和l有nmass-1元素gydF4y2Ba% m有nmass - 2个元素gydF4y2Bax = optimvar (gydF4y2Ba“x”gydF4y2Ba[nmass 2]);t = optimvar (gydF4y2Ba“t”gydF4y2Banmass-1,gydF4y2Ba下界的gydF4y2Ba, 0);y = optimvar (gydF4y2Ba“y”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba下界的gydF4y2Ba, 0);gydF4y2Ba

创建一个优化问题，并将目标函数设为(4)中的表达式。gydF4y2Ba

概率= optimproblem;Obj = dot(x(2:(end-1)，2)，m)*g + y;概率。目标= obj;gydF4y2Ba

创建表达式(2)对应的锥约束。gydF4y2Ba

Conecons = optimmineq (nmass - 1);gydF4y2Ba为gydF4y2Ba2 = 1:(nmass-1) conecons (ii) =规范(x (2 + 1,:) - x (ii,:)) - l (ii) < =√6 (2 / k (ii)) * t (2);gydF4y2Ba结束gydF4y2Baprob.Constraints.conecons = conecons;gydF4y2Ba

指定锚点gydF4y2Baanchor0gydF4y2Ba和gydF4y2BaanchorngydF4y2Ba。创建等式约束，指定两个虚拟端质量位于锚点。gydF4y2Ba

Anchor0 = [0 5];Anchorn = [5 4];anchorcons = optimeq (2, 2);锚定(1，:)= x(1，:) =锚碇(2，:)= x(end，:) ==锚碇;prob.Constraints.anchorcons = anchorcons;gydF4y2Ba

创建表达式(3)对应的锥约束。gydF4y2Ba

Ycone = norm([2*t;(1-y)]) <= 1 + y;prob.Constraints.ycone = ycone;gydF4y2Ba

解决问题gydF4y2Ba

问题的表述已经完成了。通过打电话来解决问题gydF4y2Ba解决gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

[溶胶,fval eflag、输出]=解决(问题);gydF4y2Ba

用coneprog解决问题。找到最优解。gydF4y2Ba

画出解决点和锚点。gydF4y2Ba

情节(sol.x (2: (nmass-1), 1), sol.x (2: (nmass-1), 2),gydF4y2Ba“罗”gydF4y2Ba)举行gydF4y2Ba在gydF4y2Ba情节([sol.x (1, 1), sol.x(, 1)]、[sol.x(1、2),sol.x (, 2)),gydF4y2Ba“ks”gydF4y2Ba)情节(sol.x (: 1) sol.x (:, 2),gydF4y2Ba“b——”gydF4y2Ba)传说(gydF4y2Ba“计算点”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“锚点”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“泉”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“位置”gydF4y2Ba，gydF4y2Ba“最佳”gydF4y2Ba) xlim ([sol.x (1,1) -0.5, sol.x(结束,1)+ 0.5])ylim ([min (sol.x(:, 2)) -0.5,马克斯(sol.x (:, 2)) + 0.5])gydF4y2Ba从gydF4y2Ba

您可以更改参数的值gydF4y2Ba米gydF4y2Ba，gydF4y2BalgydF4y2Ba,gydF4y2BakgydF4y2Ba看看它们如何影响解决方案。你也可以改变质量的数量;代码从您提供的数据中获取质量的数量。gydF4y2Ba

参考文献gydF4y2Ba

[1] Lobo, Miguel Sousa, Lieven Vandenberghe, Stephen Boyd, Hervé Lebret。“二阶锥规划的应用”。gydF4y2Ba线性代数及其应用gydF4y2Ba284年,没有。1-3(1998年11月):193-228。gydF4y2Bahttps://doi.org/10.1016/s0024 - 3795 (98) 10032 - 0gydF4y2Ba。gydF4y2Ba