微分方程和线性代数,1.4 c:响应振动输入,因为(w * t)
从系列:微分方程和线性代数
吉尔伯特-斯特朗,麻省理工学院(MIT)
一个振荡输入cos(ωt)产生一个振荡输出相同的频率ω(和相移)。
好的。这是一个一阶微分方程的下一步。我们,而不是一个指数,现在我们有一个振荡。指数,前面的讲座,增长或衰退,现在我们有一个振荡。我们有交流,交流在这个问题上,而不是真正的指数,我们有振动,振动,所有的应用程序包括圆周运动,与不是成倍增长。
好的。这是问题的关键。我寻找一个特定的解决方案。特定的解决方案——就好了如果我们可以说特解只是cos的倍数。但这是行不通的。所以这个问题一步比指数。
我们需要让迹象。因为,如果我找一个余弦,只要我试着这部分,我可以匹配。我有一个* cos, cos。但一个余弦是正弦函数的导数。所以会得到迹象,我们必须允许他们进入解决方案。
好的。这是正确的假设。实际上会有,你会发现,三种不同的方式写这个问题的答案。这是第一类最简单,但在长远来说不是最好的。
好的。简单的一个,我要代入方程,找到M和n,这是我的工作。找到这些数字。所以把这个方程。
左边我希望导数,这样我们将ω正弦余弦函数的导数是-ωmωt。导数拿出这个因素ω。正弦余弦函数的导数。
现在的导数带来ω-ωN倍cosωt。这应该等于y, y,所以我只是乘以一个——M cosωt,和N正弦ωt。是的一部分。现在我源项+ cosωt。这是真的。
现在我需要方程。我做什么?我在找两件事,M和n .我要找两个方程。
所以我与余弦匹配条件。我与这个词,余弦项,和源项。所以他们都用余弦ωt。所以我希望ωn,所以我把这个另一方面——- m +ωn =——这里我只有一个cos = 1。ω- M + N = 1。
现在我要与正弦条件相匹配。正弦条件,我有一个ω- M, sinωt。我必须把这个另一方面,这将是一个N -正弦ωt。没有正弦ωt的来源。
这是我的两个方程。那些是我的两个方程M和n .所以我解决这两个方程和我有我寻找的特解。
所以,这两个方程两个未知数。这是线性代数的基本问题。我倾向于直接写出答案,我提前准备。结果- a /ω的平方+一个平方。和N有同样的ω的平方+一个平方,以上是ω。
如果你检查这个方程,例如,ω乘以M将给我一个ω-,-。然后乘以N也将有一个ω。和相同的ω的平方加上一个平方,他们取消给0。这个方程也解决了。
一个更重要的问题解决了。嗯,我们发现特定的解决方案。我没有说,我没有初始条件相匹配。
现在在很多情况下,这一特定利益的解决方案。这里,我把一个盒子在我们的解决方案,我们代替微分方程。我们发现m .我们发现n .我们有这个特殊的解决方案。
这就是不断的振荡。如果我们听收音机或如果我们有交流,这是我们所看到的,零的解决方案。的无源项。
通常是负的,消失了。这叫做瞬态项。所以零的解决方案将有ae一如既往。但我不太感兴趣,因为它就消失了。你不会听到后一分钟。这是你的解决方案——这就是你的耳朵的听力。
好的。所以我们有一种答案。现在,这是一个很好的形式,但是它不是完美的。我不能清楚地看到——这可以简化的很好的方式。所以当我们使用正弦和余弦,下一步,很重要。
我相信同样的yp t可以作为什么也用不同的方式——另一种形式,一种不同的,我应该说,另一种形式相同的t y。另一种形式将相同的t y。你看到我不喜欢的是有一个余弦和正弦因为这些阶段,他们结合了,我想要找出他们的结合。它真的很不错。它们结合成一个单一的余弦,但不仅仅是ωt,有滞后,一个阶段的转变。通常被称为阶段涉及的角。
所以两个正弦和余弦,结合相移和振幅,也许我会称之为G,收获。或者经常会被称为R只是——因为这是你所看到的是极坐标。所以我想匹配,G和α-极坐标是正确的方法。G和α,大小和一个角度。我想比赛,我已经有了。
所以我将使用一个小三角来记住这等于,我有一个g .你还记得的余弦公式- b ?余弦的区别是cosωt, cosα,加上——这是一个在这里,因为它是一个减号,sinωt sinα。所以我刚刚在连任两届的形式写出来,我这么做,这样我就可以匹配我已经连任两届形式。
所以我可以匹配吗?余弦ωt、G M必须cosα。他们必须G N sinα。
所以我现在有两个方程。M和N,我仍然记得那些是什么。我想这些了。
但是现在我想把M N Gα形式形式,这就是我要做的。这是通常的极坐标。怎么走,我怎么发现有什么G,α是什么?关键是——一个基本身份当你看到余弦和正弦——记住,余弦平方加上正弦平方是1。我要使用,必须使用它。
所以我将双方广场。我要M²,我会添加。所以我要M²+ N的平方是G平方余弦平方α。G的平方乘以余弦平方α——当我广场——正弦平方α当我广场。再一次,关键是这是一个。这就是G的平方。
我学会了什么?G是它的平方根。G M²+ N的平方根的平方。和我总是自由插件我发现的M和N。
好啊,α呢?这是角度。所以我必须再次,我想这里三角。我要如何得到α?我想从这个公式中得到G现在,只关注α。以前我有α和G。
现在的办法是比。如果我取的比率,一个整数除以,G的将取消。所以我要的比例,得到G sinα除以G cosα然后N / m G的取消,我想要的。
现在我有一个方程α。或者更准确地说,我有一个方程tanα。正弦/余弦是tanα是N / M。
这叫做,你可以称它为正弦的身份。这个词正弦信号是什么?正弦信号词的正弦和余弦的混合物,混合物的正弦和余弦相同的ωt。
所以正弦身份说我可以改写成这个解决方案的解决方案。我真的看到数字在整个事情的关键是,大小。多么响亮的车站来自如果我们调优一个收音机。所以再一次,这是反应的继续,因为永远余弦震荡。也会有一些来自我们希望消亡的初始条件。
所以我一开始提到的,有三种形式的这个余弦的答案输入,和我给你两个。我给你们的M和N形式。你可以说直角坐标系——余弦和正弦。我给你们的极坐标形式,这是一个增益,大小和阶段。第三个涉及复数。我要做一个独立的讲座,甚至两个。
所以复数,在哪里他们进来吗?这是一个完全真实的方程。如果我想我所做的这一切,都是完全真实的,但有一个链接,对复数的关键事实,欧拉公式将给我一个联系ωt余弦和正弦ωt e Iωt。所以在价格复数的引入,虚数,或j电气工程师,我们回到指数。我们回到指数。所以下节课再来。
这是一个不错的源函数的一个例子。也许我可以说,功能最好的来源是什么?这是源函数和很高兴。指数甚至更好。常数是最好的。
我想,另一个我要介绍的是δ函数。这就是——δ函数是一个脉冲,在瞬间发生。这是一个有趣的,非常有趣和非常重要的可能性。
好的。谢谢你!
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