好的。最后，我要解这个一阶线性微分方程它的公式适用于任何源项。我们已经解出了具体的，漂亮的，特殊的源项，我稍后会记住。但是现在我们想要一个方程的解的公式，句号。我们想要理解这个公式。现在，把公式写下来，然后看看为什么它是对的。当然，我们可以把它代入方程并确认它是对的。
公式将会是，这是一个大的公式，对于一阶线性方程。所以是y (t)首先是这个量的结果，我把它看成余额。银行里的钱之所以会以这个速度增长，是因为利息的增加。它以这个速度增长是因为新增存款。哦，也许我应该说这些存款，我不是说一年一次，一个月一次，甚至一分钟一次。存款不断。我们在讨论微分方程。时间在流逝——时钟总是在走。所以理论上，至少你一直在以每秒这么多的速度存钱。
好的。首先，y(0)这是一生一次的存款。我们知道，它以利率为指数增长。问题是，这是符合初始条件的零解。没有解，因为这里没有存款。这解了方程的这部分，零部分。但现在我想加入一个特解，它将是与存款相匹配的特解。
我想要理解这个公式。这就是公式。我将-存款每笔存款在时间T存入，在某个时间存入，然后增长。一旦你存了钱，它就会呈指数增长。，它会在剩余的时间里增长。这就是公式。你在s = 0到s = t之间的任何时间都有存款。
s是运行的时钟。T是，我们看一下账户，看看里面有什么。这笔存款是在s时期存入的，然后它在剩余的时间里增长，从s到t，它以e ^ a (t - s)的倍数增长，这是关键。现在我们把所有的存款和增长量加起来。连续时间加法就是积分。这就是积分的意义，就是连续相加。
这就是我的公式，希望你们会喜欢。初始条件下的无解。从源项q衍生出来的特解，当然我一直都在用q (t)这里我称它为q (s)我必须引入一个积分变量s，它从这些沉积物开始到现在，像这样增长。这就是公式。我可以用一个大盒子把它围起来。让我开始一个盒子。我可以检查它是否正确。但我希望你能明白为什么这是对的。
让我对没有这个公式的q的例子做一些评论。我们直接去做了。一开始，这些是特殊的。你可以说，特别好。Q (t)等于一个常数。这是第一个视频。然后我们让q (t)等于一个指数。这是第二个。然后我们求出了指数响应。
然后是振荡。cos，我把它放在这里，cos (t)或者加上sin (t)你们记得，这两个是要结合在一起的。我们不能只用余弦，因为这里的余弦的导数会给我们一个符号，所以符号就出现了。所以我们找到了它的公式，这需要更多的工作。实际上我们用了实法和复法。
微积分中还有其他好的函数吗?下个视频，我会再讲两个我认为很好的函数。阶跃函数。所以存款——在一段时间之前我们不会存入任何存款，然后我们开始，然后我们变成常数。阶跃函数是0，然后是常数。这是一个特别有趣的函数。
函数是什么?当然，它并不总是出现在基本微分方程中，但它属于那里。因为在现实模型中，函数就像高尔夫球杆击打高尔夫球。刹那间发生了一件事。或者用棒球棒打棒球。它给了它一个瞬时速度。这是一种冲动。
阶跃函数就像一个开关，关了再开。函数是一个瞬间，一个脉冲，你会看到的。然后这些是，哦，也许我可以包括，让我看看，如果我有一个常数，也许应该包括t t²，等等。t的幂还不错。我们可以得到——
对于所有这些特殊的函数，我称之为好函数。对于所有这些，我们可以用t乘以e ^ st，这仍然很好。我们可以得到一个简单的公式。它们本身就能给出简单、直接、有趣的答案。这个给出了一般的答案。
如果我把q代入这个通式中的任意一个，我就会得到一个特殊的。你可以看到，如果我在这里放一个常数，这就是我们在最开始发现的常数的响应。正确的。这就是一般表达式。我觉得我应该多说一点。
我想我应该说，关于这个一般公式我还想补充两点。一个是，我应该检查它是否正确。但我希望你看到了，它必须是正确的。输入进去，它增长，一切都是线性的。所以我可以把单独的增长，单独的结果相加，求出最终时刻t的余额是多少。
但我还是可以检查一下。我可以推导它。这一步通常是通过积分因子来完成的。会有一个简短的视频告诉你们积分因子是如何得到这个公式的。在这个视频中，我只是说我是根据常识得出这个结论的。但我可以检查它是否正确。我来检查一下是否正确。
好的。这部分我看是对的。我想用这个来证明它是微分方程的特解。我可以这样做吗?我想证明这个，我现在看这个y，我提出e ^ at，因为它不依赖于s，它不参与积分。所以这是在∫e ^ (- as)从s = 0到s = t，里面有个s。Q (s, ds)这些都取决于存款的时间，时间s，以及我们看余额的时间，后面的时间t。
好的。这是一项乘以另一项的乘积。当我把它代入微分方程时，我要用乘法定则。这个乘积的导数有两项由乘法法则得出。如果一切顺利的话，这两项将是微分方程中的两项。那么我可以用乘法法则对它求导吗?对第一项求导，现在用普通微积分计算dy dt。它的导数是at乘以第二项。
就是ay。这是a乘以我们之前的y。因为e ^ at的导数，根据链式法则，得到了a。但现在乘法法则还说，我必须用这一项乘以这一项的导数。这样看起来更乱了。这个函数的导数是什么?它是t的函数，但它是一个积分。它是t的函数，它的时间导数是什么?这是乘积法则的最后一条。
嗯，看看这是什么。它是某个函数的积分，直到t。微积分基本定理说积分的导数是原函数，对吧?所以这个积分的导数是我们在t时刻积分的原函数，所以它是e ^ (- at³t)这是乘法法则的第二项。
好的，这就是正确的答案。这是什么?E ^ (at)和E ^ (- at)相抵消，这是源项q (t)所以我有ay + q (t)微分方程右边的式子。所以这个公式，让我再把它写下来，是这集视频开始部分的高潮来学习一阶线性微分方程。
接下来是阶跃函数和函数。我想谈谈这些。这分别需要几分钟的时间。然后另一个步骤是允许利率变化。问题很简单，因为利率不变。我会让利率变化。之后是非线性方程的真正步骤。
函数，可变利率，然后是非线性方程。然后是二阶方程和其他微分方程理论。很好。谢谢你！
