好吧,这视频是关于两个简洁的功能——阶跃函数及其导数δ函数。如果我可以给你介绍这些功能和告诉你,他们很自然的输入一个微分方程。他们在现实生活中经常发生。所以我们需要了解如何计算这些公式和计算。
好吧,第一个是阶跃函数和它——我叫h后发明家是一个工程师,名叫亥维赛,开始与一个h和阶跃函数,我写的公式。h (t = 0 t - 1 t大于或等于0。好的。这就是阶跃函数。它有两个值和跳。你也可以说跳跃函数。跳跃函数、阶跃函数。好吧。
注意,我还画了阶跃函数。所发生的任何函数包括这个如果我改变从t,跳跃在0 h t - t ?如果我把t - t一些固定数量的变量,然后跳发生。所以跳后会发生这是0。步功能跳的0。0 t等于t。因此,虚线。所以移位的阶跃函数只会转向。完成效果的改变从t t - t,只是将整个资本t . OK。所以你让你的关注标准的阶跃函数,跳跃在t = 0。它跳的1。 And take its derivative.
阶跃函数的导数是什么?函数是0在那里,所以导数为0。函数是常数在这里,所以再次导数是0。只是这个时候发生的一切。现在这是δ函数。δ函数运行在0,继续在0,但是在t(0),整个爆炸。导数是无限的。你看到一个无限的斜率。关键是无穷并不是一个足够精确的词告诉你到底发生了什么。
所以我们没有真的,这个图表的δ函数并不完全令人满意。它适合所有的无趣无聊的部分。但在关键时刻,当事情发生在瞬间,我们需要说更多。我们需要说更多,而不只是其无限的。再一次,如果转移,然后无限边坡发生在t =资本t .无穷只是转移了。这是δ函数。这是我将使用的。
如果这是我的微分方程的源项,这意味着什么?如果这是q t的微分方程反映输入在不同的时间,这个函数会说没有输入除了在一个时刻,一个瞬间,资本t在那一瞬间的时候,你把1,在瞬间。记住,否则q t已经连续输入。在每年1.00美元在整个一年。这个将在1.00美元。当然,你看,这就是我们做的。所以,你看,这是一个函数,我们需要做的事情。
我花了一个高尔夫俱乐部打高尔夫球的例子,它不是0。但它是如此接近于零,两个连接。然后球起飞。所以一个简单的模型,一个可行的模型是它发生在0和δ函数。所以我真的很想用δ函数。和他们不是很难使用。他们只是不太适合微积分因为阶跃函数的导数是不合法的在跳。
好的。但是你能做什么,微积分,正常工作是集成的一部分。集成往往使事情更顺利。δ函数——抱歉,δ函数的阶跃函数积分。对吧?我们将在相反的方向。求导,得到疯狂。如果我们把积分从三角洲——所以三角洲是阶跃函数的积分。这就是你如何知道δ函数。的数学方法来描述比这更确切的箭头,就火灾δ函数在做什么。
所以δ函数的关键属性是知道它的积分是什么。δ函数的积分是总存款,比方说,它开始——甚至已经开始在负无穷,它可以永远持续下去正无穷大。这是存款总额,总输入来自源项δt的,答案是什么呢?嗯,三角洲应该是阶跃函数的积分。阶跃函数在无穷是1。在负无穷是0。你明白我说的吗?
这将是h t的评价t等于负无穷到正无穷,因为这些都是集成的极限。我得到了什么?在正无穷大阶跃函数是1。这是0。所以我得到1。每个人都抓住这个关键事实的总积分δ函数是1。再一次,你只会使存款在一个时刻,但完整的美元存款。,所有存款加起来是1.00美元。
这是δ函数的积分。实际上,用δ函数我需要给你一个记号罢了。正如我说的,δ函数是已知的,我们不喜欢把他们的导数。δ函数的导数是一个真正疯狂的函数。它拍摄到正无穷,然后拍摄负无穷,箭头的斜率。但它是积分,我们想要的。
现在让我从负无穷到正无穷积分δ函数乘以任何其他函数,说f (t dt。这是我们需要计算。正确的积分是什么?δ是尽在t = 0的时刻。在那一刻t = 0,那一刻当t = 0,这是唯一的地方发生的任何行动,f (t f (0。它的任何值t = 0。这就是答案。f (0。
如果f t是常数函数1,然后我们回到我们的积分。如果是1,我整合δt。函数是1,我得到1。但如果这个函数,假设函数sin t。的积分是δt乘以sin t dt ?正弦t发生在消失的时候δ函数准备打开在t = 0。所以δt的正弦t的积分是sin (0 = 0。你有一个词,但另一项完全关闭,所以什么也没发生。
而δt e t的积分——是的,告诉我。的积分δt e t dt - e t是做各种各样的事情。但δ函数是0,所有的时间,除了在t = 0。所以,δt e t dt的积分将是1,因为在那一刻,t = 0,唯一重要的时刻将e t函数e 0,这是1。
让我问你的另一个例子。的积分负无穷到正无穷——我使用了δe t dt。你可以计算这个积分。好了,时间是0几乎所有的函数。唯一一次脉冲,脉冲冲击的时刻t =资本t .那一刻,这等于e t .这是最重要的。好的。
现在,让我用δ函数微分方程中的源项。所以我们看到最后一次一个,我还是叫它一个不错的功能,即使它是不合法的函数,三角洲。但我解方程dy / dt等于ay +δ函数打开首都t,让我从0开始。所以我不做一个初始存入我的帐户。我不做任何存款,除了在一个时刻t =资本t,在那一刻,我存款1.00美元,因为——这是单位δ。如果我是沉淀10美元,我会让它10三角洲。
好的。我们知道什么是解决方案从1.00美元的存款,t等于资本的解决方案是什么?y (t),我们有0到t等于t .不管有什么都没有发生。在T时间T,是1.00美元,它生长。它生长,生长在资本剩余时间e t - t .这是t比t t大于或等于我可以说。当t, t是相等的,这是e的0。这是我们的1.00美元就消失了。
当t - t是一年之后,我们的美元价值e。当t - t,当它在那里呆了一年的时间,这1.00美元增加了——好吧,如果利率是100%,你可能感觉。你会幸运的获得。但假设你做。在100%的利息,一年以后,你可能会说,好吧,我的钱就等于原翻了一倍,因为我有兴趣。所以我有两次。但不是真的因为这些钱进去——增长。兴趣被添加,加剧通过整整一年,一年以后,从1开始,e是100%。
哦,好吧。我的公式并不是错误的,因为我有一个,它属于这里。让我解决这个问题。e的t - t的生长因子。生长因子的时间t从早些时候的时间资本t .所以你看到,我们只是写下的解微分方程即使它是全新的或不同的或非标准的输入。
阶跃函数的输入,所以我们发现这里的脉冲响应。这是一个非常重要的概念在工程、脉冲响应,响应一个脉冲。二阶微分方程,这就是——它真的是一个至关重要的功能。这是一个脉冲的响应。从我们的标准一阶脉冲响应方程,我们已经处理了。
现在我们只记住一个步骤仍然是线性将允许利率变化。这是一个演讲,下一个。然后我们得到非线性方程。这就是即将发生的事。但这是δ函数第一次,而不是最后一次。谢谢你！
